专题04 混合运算与数量关系（二）（解决问题专项讲义）数学苏教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义以混合运算与数量关系为核心，按无括号、含小括号、含中括号及多步计算的运算类型递进构建知识体系，通过框架图梳理各题型基础解题逻辑、进阶技巧及结果预判规律，清晰呈现运算优先级与数量关系的内在联系。 讲义亮点在于情境化练习设计，如“志愿者准备保暖毛毯”“捐书活动”等典例，结合逆向推导、速算技巧培养运算能力与推理意识。分层训练覆盖基础到综合应用，助力不同学生掌握方法，为教师实施精准复习教学提供系统支持。

专题04 混合运算与数量关系（二）（解决问题专项讲义） 题型01 运用无小括号的混合运算解决问题 题型02 运用含小括号的混合运算解决问题 题型03 运用含中括号的混合运算解决问题 题型04 解决多步计算的实际问题 题型01 运用无小括号的混合运算解决问题 一、运用无小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定运算优先级，先算出乘法/除法部分对应的“几个相同量的总结果”或“单份平均量”，再用这个结果加/减剩余的独立数值，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当乘除部分的数字符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算乘除结果，再口算末尾的加减运算，比如4组每组7人的队伍再加3名替补，直接用四七二十八的口诀得出28人，再加3快速得到31人，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 乘加类混合运算的最终结果一定大于乘法部分算出的批量总结果，乘减类混合运算的最终剩余结果一定小于乘法部分算出的初始总结果；除加类结果一定大于除法部分算出的单份平均量，除减类结果一定小于除法部分算出的均分后数值，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒的低级错误。 二、运用无小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“批量相同量的总结果加额外零散量”的场景直接用乘加列式，遇到“批量总结果减去用掉/拿走的部分量”的场景直接用乘减列式；遇到“总数量均分后的单份量加额外增量”的场景直接用除加列式，遇到“总数量均分后的单份量减去减少量”的场景直接用除减列式，先锁定核心的“先乘除后加减”运算模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的分组总数量估算问题，比如数货架上的商品总数量，可先把不满整组的商品补成完整的等重整组，算出完整货架的总数量，再减去空缺部分的数量，比如3层每层放4箱的货架缺2箱，直接用4×3−2快速得出总数量10箱，比拆分零散部分相加更快；遇到总价类问题，先算多件商品的总花费，再直接加减优惠/找零金额，无需分步拆分计算。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托乘除法互逆、加减法互逆关系反推未知的单份数值或份数，适配各类带剩余量的分配、采购、装载题型。比如总预算50元，买7支单价相同的笔后剩余1元，直接用（50−1）÷7快速算出每支笔的单价为7元，反向验证完全符合运算规则。 【典例1】甲、乙两个仓库共存粮480吨，如果从甲仓库运40吨到乙仓库，两个仓库的粮食就同样多，甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？ 【专项训练1】香港大埔火灾后，志愿者为临时安置点准备了750箱矿泉水，准备的方便食品的数量是矿泉水的2倍。准备的保暖毛毯比矿泉水和方便食品的总和多50条，志愿者一共准备了多少条保暖毛毯？ 【专项训练2】爱心捐赠活动中，四年级捐书240本，五年级捐的是四年级的2倍，六年级捐的比四、五年级的总数多58本，六年级捐书多少本？ 【专项训练3】今年端午节食堂买回粽子，其中甜味粽16箱，每箱31千克；咸味粽28箱，每箱重19千克。食堂买回多少千克粽子？ 【专项训练4】重阳节，是中国的传统节日，“九”在《易经》中为阳数，“九九” 两阳数相重，故曰“重阳”；因日与月皆逢九，故又称为“重九”。民间认为“九”为最大数，有长久长寿的含义，寄托着人们对老人健康长寿的祝福。重阳节这天同学们到敬老院帮爷爷奶奶包饺子，5人包了235个饺子。照这样计算，再增加3人，一共能包多少个饺子？ 【专项训练5】四（1）班收集了112个矿泉水瓶，四（2）班和四（3）班收集的矿泉水瓶的总数量是四（1）班的4倍，三个班一共收集了多少个矿泉水瓶？ 【专项训练6】一支篮球队三场比赛平均得分为96分，要想使平均分达到105分，第四场应得多少分？ 【专项训练7】奇奇帮爸爸清理手机内存，他先卸载了一个56MB的不常用软件，又清理了垃圾文件，垃圾文件所占的内存比卸载软件的12倍还多38MB。奇奇一共清理了多少内存？ 题型02 运用含小括号的混合运算解决问题 一、运用含小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定需要优先计算的“分组总量”或“差值部分”，用小括号把需要先算的加减运算括起来，先算出括号内的合并/差值结果，再用这个结果乘/除以份数、单份量，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当括号内的加减结果和外部乘除符合表内运算规则时，可直接先口算括号内的结果，再依托乘法口诀快速算出最终结果，比如4组每套含7支笔和3支笔的文具套装，先口算括号内7+3=10，再直接用4×10快速得到40支笔，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 含小括号的乘加类运算，最终结果一定大于括号外单独乘其中任意一个数的结果；含小括号的乘减类运算，最终剩余结果一定小于被乘数对应的初始总量，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏看小括号、先算括号外运算的低级错误。 二、运用含小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先合并两个部分的量，再算多份总数量”的场景直接用（加+加）×份数列式，遇到“先算出两个量的差值，再算多份总差值”的场景直接用（大-小）×份数列式，先锁定需要优先合并/求差的核心模块，用小括号包裹后再匹配外部乘除条件，不用反复拆分分步算式。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“剩余总量平均分到多组”的分配问题，比如把一批货物减去已运走的部分，剩下的平均分到3辆车上，可直接把“总货物-已运走量”用小括号括起来，再除以车辆数，比如100吨货物运走10吨后，剩下的3辆车运，直接用（100−10）÷3快速得出每车运30吨，比分步先减后除更直观不易错。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托小括号的运算优先级，反推括号内的未知数值，适配各类带分组条件的装载、分配题型。 【典例2】我县举行中小学生“意志伴我行——歌声嘹亮”红色歌曲合唱比赛，共有1800名学生参加，每个参赛学校有4个队伍，每个队伍25人，一共有多少个学校参加了这次合唱比赛？ 【专项训练1】四年级“跳蚤市场”搞促销活动，同款图书“买四送一”。小亮选中了一套15本的图书，每本20元。小亮购买这套图书实际应付多少元？ 【专项训练2】某网店向果农李叔叔订购了60箱樱桃，每箱樱桃同样重。李叔叔第一天摘的樱桃刚好装满28箱，第二天还要摘256千克才能完成这笔订单。该网店共订购了多少千克樱桃？ 【专项训练3】李叔叔带780元钱买某种型号的计算器，买5台用去300元，照这样计算，剩下的钱还可以买多少台？ 【专项训练4】图书室有科技书204本，故事书172本，每天借出科技书23本，故事书19本。那么多少天之后两种图书剩余的本数相同？ 【专项训练5】小军的哥哥今年读大学三年级，他哥哥宿舍一共有4个人，他们4人的平均年龄是21岁。今年小军12岁，如果将小军的哥哥换成小军，那么4个人的平均年龄就变成19岁了。小军的哥哥今年几岁？ 【专项训练6】五年级同学在社会实践活动中参观了人工智能机器人工作区。在参观时，他们了解到工作区的甲型机器人比乙型机器人少320个，乙型机器人的数量是甲型机器人的5倍。两种类型的人工智能机器人分别有多少个？（画图表示题中数量关系，并解答） 【专项训练7】鲜果批发市场运来苹果13箱，梨9箱；运来橘子的箱数是苹果和梨总箱数的3倍；运来桃子132箱。运来桃子的箱数是橘子的几倍？（请列综合算式解答） 题型03 运用含中括号的混合运算解决问题 一、运用含中括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定多层优先计算顺序：先算小括号内的加减/乘除运算，再算中括号内的合并运算，最后计算中括号外的乘除部分，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当小括号、中括号内的运算结果和外部数字符合表内运算规则时，可逐层口算中间结果，依托乘除法口诀快速算出最终结果，比如先口算小括号内7+3=10，再口算中括号内10×4=40，最后直接用120÷40快速得到3，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 含中括号的多层运算，最终结果一定比直接去掉中括号的运算结果更贴合题意逻辑；带中括号的除法类运算，最终商的量级一定小于直接按无括号顺序算出的结果，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏看中括号、运算顺序跳层的低级错误。 二、运用含中括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先算小括号内的差值/和值，再用这个结果乘份数得到中间总量，最后用总数量除以该中间总量”的场景，直接用「总数量÷[（小括号内加减）×份数]」列式，先锁定最内层的优先运算模块，再用中括号包裹第二层运算，最后匹配最外层的总数量运算，不用反复拆分多步分步算式。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“多步分配的剩余量二次均分”的复杂问题，比如把一批物资先减去预留的部分，剩下的先按班组分组，再把每组的物资平均分到个人，可直接把“（总物资-预留量）÷班组数”用中括号包裹，再除以每组人数，比如200份物资留20份备用，剩下的分给6个班组，每个班组再分给3个人，直接用（200−20）÷（6×3）快速算出每人分得10份，比分步逐层计算更高效。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托多层括号的运算优先级，从最外层往内层反推未知数值，适配各类带多层分组条件的装载、分配题型。比如最终每人分得5份物资，已知总物资120份，预留20份后分给5个班组，可反向推导验证每组人数，快速核对题意逻辑是否自洽。 【典例3】“知行书苑”为助力书香社区活动，推出童话书“买五送二”的优惠活动。每本童话书售价15元，学校想给四年级组的同学购买77本童话书，至少需要花多少钱？ 【专项训练1】小宇有10元和5元的纸币各一张，小恒的钱数是小宇的3倍，海海有180元。海海的钱数是小恒的几倍？（列综合算式解答） 【专项训练2】同学们秋游，36人合影留念，照8寸底片印3张，价格是48元，另外加印每张4元。如果每人要1张，每个同学平均要付多少钱？ 【专项训练3】泰兴城市下水管网改造期间，政府部门打算修一条850米长的污水管道，每天修75米，修了几天后，剩下的比已经修的少350米。已经修了多少天？ 【专项训练4】书法爱好者小明，小红和小华练习毛笔字，小明每天写60个毛笔字，小红每天上午写8个毛笔字，下午写7个毛笔字，小华每天写的字数是小红的2倍。小明每天写的字数是小华的几倍？（先写解题思路，再列综合算式解答。） 【专项训练5】铁锚玻璃有限公司将875元奖金颁发给三名工人。第一名工人比第二名工人多得250元，第二名工人比第三名工人多得125元。三名工人各得多少元？ 【专项训练6】航模组有男生8人，女生6人，美术组的人数是航模组的2倍。合唱组有84人，合唱组的人数是美术组的几倍？（列综合算式解答） 【专项训练7】光明小学编程社团有26人，手工社团比编程社团少8人，书法社团的人数是手工社团的3倍。四年级一共有756人，四年级的人数是书法社团人数的多少倍？ 题型04解决多步计算的实际问题 一、解决多步计算实际问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决多步实际问题时先根据题意拆解出独立的数量关系模块，先算出第一步核心中间结果（如“几个相同量的总结果”“单份平均量”），再用这个结果进行第二步的加/减/乘/除运算，逐步推导最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当每一步的运算数字都符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀逐层口算中间结果，再衔接后续运算快速得出最终答案，比如4组每组8人的队伍，走了10人后重新分成6组，直接用四八三十二得出32人，减10得22人，再口算分组结果，不用分步列竖式笔算。 ‌结果预判规律‌ 多步乘加类问题的最终结果一定大于第一步乘法算出的批量总结果，多步乘减类问题的最终剩余结果一定小于初始总数量；带二次均分的多步问题，最终单份结果一定小于第一步除法算出的平均量，解题前先预判结果的大致范围，避免出现步骤跳步、数量关系匹配错误的低级错误。 二、解决多步计算实际问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先算批量总数量，再减去消耗部分，最后二次均分”的场景，直接按“乘减除”的顺序列式；遇到“先算两个部分的差值，再算多份总差值，最后匹配总量做对比”的场景，直接按“减乘加/减”的顺序列式，先锁定第一步核心运算模块，再按题意顺序依次匹配后续运算条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“总量有残缺的多步估算问题”，比如数货架上分层摆放的商品总数量，可先把不满整层的商品补成完整等重整层，算出完整货架的总数量，再减去空缺部分的数量，最后按要求完成后续分配运算，比如4层每层放30箱的货架缺5箱，剩下的货物平均分到7辆小推车上，直接用（4×30−5）÷7快速得出每车放16箱，比拆分零散部分分步相加更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终结果和部分已知条件，可反向依托加减乘除的互逆关系，从最终结果往回逐层反推未知的初始数值，适配各类带隐藏条件的多步装载、分配题型。比如最后每人分到5本笔记本，已知先拿走20本备用，剩下的40本分给8组，每组人数相同，直接反向推导就能快速算出每组有10人，验证所有步骤完全符合题意逻辑。 【典例4】小红看一本《金钥匙》，看了178页，剩下的比看了的一半还多8页，这本书一共有多少页？ 【专项训练1】粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克，每袋大米重多少千克？ 【专项训练2】苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 【专项训练3】跳绳赛场上，参加单人跳绳的有18人，参加多人跳绳的人数是单人跳绳的3倍，参加双人跳绳的同学减少6人就和多人跳绳的人数同样多，参加双人跳绳的同学有多少人？ 【专项训练4】为了改善城市排水系统，工程队重新铺设管道，已经铺设了8天，每天铺设350米，还要再铺多少米才能铺完3千米？ 【专项训练5】某绣品商店新购入一批绣品，其中苏绣绣品有37件，湘绣绣品比苏绣绣品多14件，蜀绣绣品的件数比湘绣绣品的3倍少25.该绣品商店新购入了多少件蜀绣绣品？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 混合运算与数量关系（二）（解决问题专项讲义） 题型01 运用无小括号的混合运算解决问题 题型02 运用含小括号的混合运算解决问题 题型03 运用含中括号的混合运算解决问题 题型04 解决多步计算的实际问题 题型01 运用无小括号的混合运算解决问题 一、运用无小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定运算优先级，先算出乘法/除法部分对应的“几个相同量的总结果”或“单份平均量”，再用这个结果加/减剩余的独立数值，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当乘除部分的数字符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算乘除结果，再口算末尾的加减运算，比如4组每组7人的队伍再加3名替补，直接用四七二十八的口诀得出28人，再加3快速得到31人，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 乘加类混合运算的最终结果一定大于乘法部分算出的批量总结果，乘减类混合运算的最终剩余结果一定小于乘法部分算出的初始总结果；除加类结果一定大于除法部分算出的单份平均量，除减类结果一定小于除法部分算出的均分后数值，解题前先预判结果的大致范围，避免出现运算顺序颠倒的低级错误。 二、运用无小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“批量相同量的总结果加额外零散量”的场景直接用乘加列式，遇到“批量总结果减去用掉/拿走的部分量”的场景直接用乘减列式；遇到“总数量均分后的单份量加额外增量”的场景直接用除加列式，遇到“总数量均分后的单份量减去减少量”的场景直接用除减列式，先锁定核心的“先乘除后加减”运算模块，再匹配对应的加减条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的分组总数量估算问题，比如数货架上的商品总数量，可先把不满整组的商品补成完整的等重整组，算出完整货架的总数量，再减去空缺部分的数量，比如3层每层放4箱的货架缺2箱，直接用4×3−2快速得出总数量10箱，比拆分零散部分相加更快；遇到总价类问题，先算多件商品的总花费，再直接加减优惠/找零金额，无需分步拆分计算。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托乘除法互逆、加减法互逆关系反推未知的单份数值或份数，适配各类带剩余量的分配、采购、装载题型。比如总预算50元，买7支单价相同的笔后剩余1元，直接用（50−1）÷7快速算出每支笔的单价为7元，反向验证完全符合运算规则。 【典例1】甲、乙两个仓库共存粮480吨，如果从甲仓库运40吨到乙仓库，两个仓库的粮食就同样多，甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？ 【答案】280吨；200吨 【分析】两个仓库的存粮总和不变，从甲仓库运40吨到乙仓库后此时每个仓库的存粮是总存粮的一半；甲仓库原来的存粮等于现在的存粮加上运出的40吨，乙仓库原来的存粮等于总存粮减去甲仓库原来的存粮。 【解答】甲仓库：480÷2＋40 ＝240＋40 ＝280（吨） 乙仓库：480－280＝200（吨） 答：甲仓库原来存粮280吨，乙仓库原来存粮200吨。 【专项训练1】香港大埔火灾后，志愿者为临时安置点准备了750箱矿泉水，准备的方便食品的数量是矿泉水的2倍。准备的保暖毛毯比矿泉水和方便食品的总和多50条，志愿者一共准备了多少条保暖毛毯？ 【答案】2300条 【分析】先根据矿泉水的数量和倍数关系，用乘法计算出方便食品的数量；然后将矿泉水和方便食品的数量相加，求出两者的总和；最后用矿泉水和方便食品的数量总和加50得到保暖毛毯的数量。 【解答】750＋750×2＋50 ＝750＋1500＋50 ＝2250＋50 ＝2300（条） 答：志愿者一共准备了2300条保暖毛毯。 【专项训练2】爱心捐赠活动中，四年级捐书240本，五年级捐的是四年级的2倍，六年级捐的比四、五年级的总数多58本，六年级捐书多少本？ 【答案】778本 【分析】根据题意，已知四年级捐书240本，五年级捐的是四年级的2倍，六年级捐的比四、五年级的总数多58本，首先用240乘2，求出五年级捐书的本数；再用四年级捐书的本数加上五年级捐书的本数，再加上58，就是六年级捐书的本数；列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 240＋240×2＋58 ＝240＋480＋58 ＝720＋58 ＝778（本） 答：六年级捐书778本。 【专项训练3】今年端午节食堂买回粽子，其中甜味粽16箱，每箱31千克；咸味粽28箱，每箱重19千克。食堂买回多少千克粽子？ 【答案】1028千克 【分析】根据平均每箱的重量×箱数＝总重量，代入数据分别求出甜味粽和咸味棕的重量，再相加即可求出食堂买回粽子的重量。 【解答】 （千克） 答：食堂买回1028千克粽子。 【专项训练4】重阳节，是中国的传统节日，“九”在《易经》中为阳数，“九九” 两阳数相重，故曰“重阳”；因日与月皆逢九，故又称为“重九”。民间认为“九”为最大数，有长久长寿的含义，寄托着人们对老人健康长寿的祝福。重阳节这天同学们到敬老院帮爷爷奶奶包饺子，5人包了235个饺子。照这样计算，再增加3人，一共能包多少个饺子？ 【答案】376个 【分析】根据题意可知，5人包了235个饺子，235除以5等于一个人包饺子的个数，再乘3即等于增加的3人包饺子的个数，再加上原来5人包的饺子的个数，即等于一共能包饺子的个数，据此即可解答。 【解答】235÷5×3＋235 ＝47×3＋235 ＝141＋235 ＝376（个） 答：一共能包376个饺子。 【专项训练5】四（1）班收集了112个矿泉水瓶，四（2）班和四（3）班收集的矿泉水瓶的总数量是四（1）班的4倍，三个班一共收集了多少个矿泉水瓶？ 【答案】560个 【分析】根据题意，用112个乘4，求出四（2）班和四（3）班收集的矿泉水瓶的总数量，再加上四（1）班收集的112个矿泉水瓶即可。 【解答】112＋112×4 ＝112＋448 ＝560（个） 答：三个班一共收集了560个矿泉水瓶。 【专项训练6】一支篮球队三场比赛平均得分为96分，要想使平均分达到105分，第四场应得多少分？ 【答案】132分 【分析】105乘4等于4场比赛的分数和，96乘3等于3场比赛的分数和，4场比赛的分数和减3场比赛的分数和等于第四场应得的分数，据此即可解答。 【解答】105×4－96×3 ＝420－288 ＝132（分） 答：第四场应得132分。 【专项训练7】奇奇帮爸爸清理手机内存，他先卸载了一个56MB的不常用软件，又清理了垃圾文件，垃圾文件所占的内存比卸载软件的12倍还多38MB。奇奇一共清理了多少内存？ 【答案】766MB 【分析】56乘12，再加38等于垃圾文件所占的内存数，然后加上56即等于一共清理的内存数。 【解答】56×12＋38＋56 ＝672＋38＋56 ＝710＋56 ＝766（MB） 答：奇奇一共清理了766MB内存 【点睛】熟练掌握倍的相关知识是解答本题的关键。 题型02 运用含小括号的混合运算解决问题 一、运用含小括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定需要优先计算的“分组总量”或“差值部分”，用小括号把需要先算的加减运算括起来，先算出括号内的合并/差值结果，再用这个结果乘/除以份数、单份量，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当括号内的加减结果和外部乘除符合表内运算规则时，可直接先口算括号内的结果，再依托乘法口诀快速算出最终结果，比如4组每套含7支笔和3支笔的文具套装，先口算括号内7+3=10，再直接用4×10快速得到40支笔，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 含小括号的乘加类运算，最终结果一定大于括号外单独乘其中任意一个数的结果；含小括号的乘减类运算，最终剩余结果一定小于被乘数对应的初始总量，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏看小括号、先算括号外运算的低级错误。 二、运用含小括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先合并两个部分的量，再算多份总数量”的场景直接用（加+加）×份数列式，遇到“先算出两个量的差值，再算多份总差值”的场景直接用（大-小）×份数列式，先锁定需要优先合并/求差的核心模块，用小括号包裹后再匹配外部乘除条件，不用反复拆分分步算式。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“剩余总量平均分到多组”的分配问题，比如把一批货物减去已运走的部分，剩下的平均分到3辆车上，可直接把“总货物-已运走量”用小括号括起来，再除以车辆数，比如100吨货物运走10吨后，剩下的3辆车运，直接用（100−10）÷3快速得出每车运30吨，比分步先减后除更直观不易错。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托小括号的运算优先级，反推括号内的未知数值，适配各类带分组条件的装载、分配题型。 【典例2】我县举行中小学生“意志伴我行——歌声嘹亮”红色歌曲合唱比赛，共有1800名学生参加，每个参赛学校有4个队伍，每个队伍25人，一共有多少个学校参加了这次合唱比赛？ 【答案】18个 【分析】先算出1个学校参赛人数，用队伍数量乘每队人数，再用总人数除以1个学校的参赛人数，求出学校数量。 【解答】1800÷（4×25） ＝1800÷100 ＝18（个） 答：一共有18个学校参加了这次合唱比赛。 【专项训练1】四年级“跳蚤市场”搞促销活动，同款图书“买四送一”。小亮选中了一套15本的图书，每本20元。小亮购买这套图书实际应付多少元？ 【答案】240元 【分析】“买四送一”即付4本的钱可以得到5本图书，先求出15本中包含几组5本，就能得到实际需要付费的图书本数，再用单价乘付费本数算出总费用。 【解答】 ＝15÷5×4 ＝12（本） 12×20＝240（元） 答：小亮购买这套图书实际应付240元。 【专项训练2】某网店向果农李叔叔订购了60箱樱桃，每箱樱桃同样重。李叔叔第一天摘的樱桃刚好装满28箱，第二天还要摘256千克才能完成这笔订单。该网店共订购了多少千克樱桃？ 【答案】480千克 【分析】先算出第二天需要装的樱桃箱数，结合第二天要摘的重量求出每箱樱桃的重量，再用每箱重量乘总订购箱数，得到总重量。 【解答】256÷（60－28） ＝256÷32 ＝8（千克） （千克） 答：该网店共订购了480千克樱桃。 【专项训练3】李叔叔带780元钱买某种型号的计算器，买5台用去300元，照这样计算，剩下的钱还可以买多少台？ 【答案】8台 【分析】先根据5台计算器的总价算出每台的单价，再算出买完5台后剩余的钱数，最后用剩余钱数除以单价，得到还能购买的台数。 【解答】分步计算： （元） （元） （台） 综合式计算： （台） 答：剩下的钱还可以买8台。 【专项训练4】图书室有科技书204本，故事书172本，每天借出科技书23本，故事书19本。那么多少天之后两种图书剩余的本数相同？ 【答案】8天 【分析】科技书初始数量比故事书多，每天借出的科技书也比故事书多，两者剩余的数量差会每天缩小，当差为0时剩余本数相同，因此用初始数量差除以每天缩小的差，就能得到所需天数。 【解答】204－172＝32（本） 32÷（23－19） ＝32÷4 ＝8（天） 答：8天之后两种图书剩余的本数相同。 【专项训练5】小军的哥哥今年读大学三年级，他哥哥宿舍一共有4个人，他们4人的平均年龄是21岁。今年小军12岁，如果将小军的哥哥换成小军，那么4个人的平均年龄就变成19岁了。小军的哥哥今年几岁？ 【答案】20岁 【分析】根据题意，用哥哥宿舍4人的平均年龄乘4，求出换人之前4人的年龄和，用换成小军后4个人的平均年龄乘4，求出换人之后4人的年龄和，再用换人之前4人的年龄和减去换人之后4人的年龄和，求出换人前后年龄和的差值，也就是哥哥比小军大的岁数，最后用哥哥比小军大的岁数加上小军今年的岁数，即可求出小军的哥哥今年几岁。 【解答】（21×4）－（19×4）＋12 ＝84－（19×4）＋12 ＝84－76＋12 ＝8＋12 ＝20（岁） 答：小军的哥哥今年20岁。 【专项训练6】五年级同学在社会实践活动中参观了人工智能机器人工作区。在参观时，他们了解到工作区的甲型机器人比乙型机器人少320个，乙型机器人的数量是甲型机器人的5倍。两种类型的人工智能机器人分别有多少个？（画图表示题中数量关系，并解答） 【答案】 甲型机器人有80个，乙型机器人有400个。 【分析】将甲型机器人数量看作1份，乙型机器人数量为5份，用数量差除以份数差得到1份的数量，也就是甲型的数量，再乘5得到乙型的数量。 【解答】图略 320÷（5－1） ＝320÷4 ＝80（个） 80×5＝400（个） 答：甲型机器人有80个，乙型机器人有400个。 【专项训练7】鲜果批发市场运来苹果13箱，梨9箱；运来橘子的箱数是苹果和梨总箱数的3倍；运来桃子132箱。运来桃子的箱数是橘子的几倍？（请列综合算式解答） 【答案】2倍 【分析】要求运来桃子的箱数是橘子的几倍，需要用桃子的箱数除以橘子的箱数。已知桃子有箱，橘子的箱数未知，但已知橘子的箱数是苹果和梨总箱数的倍。因此，解题思路是先求出苹果和梨的总箱数，再求出橘子的箱数，最后用桃子的箱数除以橘子的箱数。列综合算式时，需要注意运算顺序，先算加法，再算乘法，最后算除法，所以要使用小括号和中括号来改变运算顺序。 【解答】 答：运来桃子的箱数是橘子的倍。 题型03 运用含中括号的混合运算解决问题 一、运用含中括号的混合运算解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意确定多层优先计算顺序：先算小括号内的加减/乘除运算，再算中括号内的合并运算，最后计算中括号外的乘除部分，最终得到最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当小括号、中括号内的运算结果和外部数字符合表内运算规则时，可逐层口算中间结果，依托乘除法口诀快速算出最终结果，比如先口算小括号内7+3=10，再口算中括号内10×4=40，最后直接用120÷40快速得到3，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 含中括号的多层运算，最终结果一定比直接去掉中括号的运算结果更贴合题意逻辑；带中括号的除法类运算，最终商的量级一定小于直接按无括号顺序算出的结果，解题前先预判结果的大致范围，避免出现漏看中括号、运算顺序跳层的低级错误。 二、运用含中括号的混合运算解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先算小括号内的差值/和值，再用这个结果乘份数得到中间总量，最后用总数量除以该中间总量”的场景，直接用「总数量÷[（小括号内加减）×份数]」列式，先锁定最内层的优先运算模块，再用中括号包裹第二层运算，最后匹配最外层的总数量运算，不用反复拆分多步分步算式。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“多步分配的剩余量二次均分”的复杂问题，比如把一批物资先减去预留的部分，剩下的先按班组分组，再把每组的物资平均分到个人，可直接把“（总物资-预留量）÷班组数”用中括号包裹，再除以每组人数，比如200份物资留20份备用，剩下的分给6个班组，每个班组再分给3个人，直接用（200−20）÷（6×3）快速算出每人分得10份，比分步逐层计算更高效。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终总结果和部分已知条件，可反向依托多层括号的运算优先级，从最外层往内层反推未知数值，适配各类带多层分组条件的装载、分配题型。比如最终每人分得5份物资，已知总物资120份，预留20份后分给5个班组，可反向推导验证每组人数，快速核对题意逻辑是否自洽。 【典例3】“知行书苑”为助力书香社区活动，推出童话书“买五送二”的优惠活动。每本童话书售价15元，学校想给四年级组的同学购买77本童话书，至少需要花多少钱？ 【答案】825元 【分析】“买五送二”的优惠，即每购买本实际上可以得到7本，这本为一组，每组只需付本的钱。先计算本里面包含多少个本，确定需要购买的组数，再求出实际需要付款的本数，最后根据总价单价数量计算总费用。 【解答】15×[77÷（5＋2）×5] ＝15×[77÷7×5] ＝15×[11×5] ＝15×55 ＝825（元） 答：至少需要花825元。 【专项训练1】小宇有10元和5元的纸币各一张，小恒的钱数是小宇的3倍，海海有180元。海海的钱数是小恒的几倍？（列综合算式解答） 【答案】4 【分析】小宇有10元和5元的纸币各一张，则小宇一共有元，小恒的钱数是小宇的3倍，根据求一个数的几倍用乘法，可以求出小恒的钱数；海海有180元，用海海的钱数除以小恒的钱数，即可求出海海的钱数是小恒的几倍，据此列综合算式进行解答。 【解答】 答：海海的钱数是小恒的4倍。 【专项训练2】同学们秋游，36人合影留念，照8寸底片印3张，价格是48元，另外加印每张4元。如果每人要1张，每个同学平均要付多少钱？ 【答案】5元 【分析】根据题意，利用合影的总人数减去包含的3张照片，计算出需要加洗多少张照片； 再用加洗照片的单价乘以加洗照片的数量，计算出加洗一共需要多少钱，加上合影的48元求出所付总钱数，再用一共要付的钱数除以合影的总人数，即可得到每个同学平均要付的钱数。 【解答】[（36－3）×4＋48]÷36 ＝[33×4＋48]÷36 ＝[132＋48]÷36 ＝180÷36 ＝5（元） 答：每个同学平均要付5元。 【专项训练3】泰兴城市下水管网改造期间，政府部门打算修一条850米长的污水管道，每天修75米，修了几天后，剩下的比已经修的少350米。已经修了多少天？ 【答案】8天 【分析】结合题意，用总长度850米减去350米，再除以2，就可以求出剩下的工作量，再加上350米，求出已经修的工作量，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答修了多少天。 【解答】[（850－350）÷2＋350]÷75 ＝[500÷2＋350] ÷75 ＝[250＋350]÷75 ＝600÷75 ＝8（天） 答：已经修了8天。 【专项训练4】书法爱好者小明，小红和小华练习毛笔字，小明每天写60个毛笔字，小红每天上午写8个毛笔字，下午写7个毛笔字，小华每天写的字数是小红的2倍。小明每天写的字数是小华的几倍？（先写解题思路，再列综合算式解答。） 【答案】思路见详解过程；2倍 【分析】先用8加7算出小红每天写毛笔字的个数，然后根据小华每天写的字数是小红的2倍，用小红写的字数乘2，算出小华写的字数，最后用小明写的字数除以小华写的字数，算出小明每天写的字数是小华的几倍即可。 【解答】思路：先用8＋7＝15（个），算出小红写的字数；再用15×2＝30（个），算出小华写的字数；最后用60÷30＝2，算出小明每天写的字数是小华的2倍。 60÷[（8＋7）×2] ＝60÷[15×2] ＝60÷30 ＝2 答：小明每天写的字数是小华的2倍。 【点睛】此题需要学生掌握整数乘除法的计算方法并能灵活的运用。 【专项训练5】铁锚玻璃有限公司将875元奖金颁发给三名工人。第一名工人比第二名工人多得250元，第二名工人比第三名工人多得125元。三名工人各得多少元？ 【答案】第一名工人500元；第二名工人250元；第三名工人125元 【分析】根据题意可知，第一名工人比第三名工人多得了125＋250＝375元，用875减375与125的和，剩下的钱是第三名工人奖金的3倍，再除以3，即等于第三名工人得的奖金。 【解答】125＋250＝375（元） [875－（375＋125）]÷3 ＝[875－500]÷3 ＝375÷3 ＝125（元） 125＋125＝250（元） 250＋250＝500（元） 答：第一名工人得奖金500元，第二名工人得奖金250元，第三名工人得奖金125元。 【点睛】先求第三名工人得的奖金数，再作进一步解答。 【专项训练6】航模组有男生8人，女生6人，美术组的人数是航模组的2倍。合唱组有84人，合唱组的人数是美术组的几倍？（列综合算式解答） 【答案】3倍 【分析】先把航模组的男生人数和女生人数加起来，再乘2，即可算出美术组的人数，再用合唱组的人数除以美术组的人数，即可算出合唱组的人数是美术组的几倍。计算时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。据此解答。 【解答】84÷[（8＋6）×2] ＝84÷[14×2] ＝84÷28 ＝3 答：合唱组的人数是美术组的3倍。 【专项训练7】光明小学编程社团有26人，手工社团比编程社团少8人，书法社团的人数是手工社团的3倍。四年级一共有756人，四年级的人数是书法社团人数的多少倍？ 【答案】14 【分析】根据题意可知，手工社团比编程社团少8人，所以手工社团的有26－8＝18（人）；书法社团的人数是手工社团的3倍，所以书法社团有18×3＝54（人）；四年级有756人，用756除以54即等于四年级的人数是书法社团人数的多少倍，据此即可解答。 【解答】756÷[（26－8）×3] ＝756÷[18×3] ＝756÷54 ＝14 答：四年级的人数是书法社团人数的14倍。 题型04解决多步计算的实际问题 一、解决多步计算实际问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决多步实际问题时先根据题意拆解出独立的数量关系模块，先算出第一步核心中间结果（如“几个相同量的总结果”“单份平均量”），再用这个结果进行第二步的加/减/乘/除运算，逐步推导最终结果。 ‌特殊速算技巧‌ 当每一步的运算数字都符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀逐层口算中间结果，再衔接后续运算快速得出最终答案，比如4组每组8人的队伍，走了10人后重新分成6组，直接用四八三十二得出32人，减10得22人，再口算分组结果，不用分步列竖式笔算。 ‌结果预判规律‌ 多步乘加类问题的最终结果一定大于第一步乘法算出的批量总结果，多步乘减类问题的最终剩余结果一定小于初始总数量；带二次均分的多步问题，最终单份结果一定小于第一步除法算出的平均量，解题前先预判结果的大致范围，避免出现步骤跳步、数量关系匹配错误的低级错误。 二、解决多步计算实际问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“先算批量总数量，再减去消耗部分，最后二次均分”的场景，直接按“乘减除”的顺序列式；遇到“先算两个部分的差值，再算多份总差值，最后匹配总量做对比”的场景，直接按“减乘加/减”的顺序列式，先锁定第一步核心运算模块，再按题意顺序依次匹配后续运算条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“总量有残缺的多步估算问题”，比如数货架上分层摆放的商品总数量，可先把不满整层的商品补成完整等重整层，算出完整货架的总数量，再减去空缺部分的数量，最后按要求完成后续分配运算，比如4层每层放30箱的货架缺5箱，剩下的货物平均分到7辆小推车上，直接用（4×30−5）÷7快速得出每车放16箱，比拆分零散部分分步相加更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最终结果和部分已知条件，可反向依托加减乘除的互逆关系，从最终结果往回逐层反推未知的初始数值，适配各类带隐藏条件的多步装载、分配题型。比如最后每人分到5本笔记本，已知先拿走20本备用，剩下的40本分给8组，每组人数相同，直接反向推导就能快速算出每组有10人，验证所有步骤完全符合题意逻辑。 【典例4】小红看一本《金钥匙》，看了178页，剩下的比看了的一半还多8页，这本书一共有多少页？ 【答案】275页 【分析】根据题意，这本书的总页数由已经看的页数和剩下的页数两部分组成。已知已经看了页，剩下的页数比看了的一半多页。先求出看了页数的一半，再加上页求出剩下的页数，最后将看了的页数与剩下的页数相加，即可求出这本书的总页数。 【解答】 （页） 答：这本书一共有页。 【专项训练1】粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克，每袋大米重多少千克？ 【答案】50千克 【分析】已知2袋大米和3袋面粉共重340千克，分别乘2，得出4袋大米和6袋面粉共重（340×2）千克；与4袋大米和5袋面粉共重600千克进行比较，发现（6－5）袋面粉重（340×2－600）千克，据此求出每袋面粉的重量； 再用每袋面粉的重量乘3，求出3袋面粉的重量；然后用2袋大米和3袋面粉的总重量减去3袋面粉的重量，求出2袋大米的重量，再除以2，求出每袋大米的重量。 【解答】每袋面粉重： （340×2－600）÷（6－5） ＝（680－600）÷1 ＝80÷1 ＝80（千克） 每袋大米重： （340－80×3）÷2 ＝（340－240）÷2 ＝100÷2 ＝50（千克） 答：每袋大米重50千克。 【专项训练2】苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 【答案】16天 【分析】根据题意先求出剩余未制作的绣品数量，再求出平均每天制作的绣品数量，最后用剩余数量除以每天制作的数量，即可得到还需要的天数。据此进行计算。 【解答】 （天） 答：完成这批绣品还要16天。 【专项训练3】跳绳赛场上，参加单人跳绳的有18人，参加多人跳绳的人数是单人跳绳的3倍，参加双人跳绳的同学减少6人就和多人跳绳的人数同样多，参加双人跳绳的同学有多少人？ 【答案】60 人 【分析】先用乘法求出多人跳绳的人数，又因为双人跳绳人数比多人跳绳多 6 人，所以用加法求出双人跳绳的人数。 【解答】 （人） 答：参加双人跳绳的同学有60人。 【专项训练4】为了改善城市排水系统，工程队重新铺设管道，已经铺设了8天，每天铺设350米，还要再铺多少米才能铺完3千米？ 【答案】200米 【分析】根据1千米＝1000米，将3千米换算成米，再求出8天铺设的米数，最后用需要铺设的米数减去8天铺设的米数。 【解答】3千米＝3000米 （米） 答：还要再铺200米才能铺完3千米。 【专项训练5】某绣品商店新购入一批绣品，其中苏绣绣品有37件，湘绣绣品比苏绣绣品多14件，蜀绣绣品的件数比湘绣绣品的3倍少25.该绣品商店新购入了多少件蜀绣绣品？ 【答案】128件 【分析】根据题意，其中苏绣绣品有37件，湘绣绣品比苏绣绣品多14件，用加法可以求出湘绣的绣品件数，蜀绣绣品的件数比湘绣绣品的3倍少25，用湘绣绣品的件数乘3再减25，即可求出蜀绣的绣品件数。 【解答】   （件） 答：该绣品商店新购入了128件蜀绣绣品。 学科网（北京）股份有限公司 $