第二章 一元二次方程（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第二章一元二次方程单元复习培优卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，全面覆盖单元核心知识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义（1）、配方法（3）、根的判别式（4）、增长率问题（6）|结合新定义运算（10），考查抽象能力与创新意识| |填空题|6/18|韦达定理（13）、双循环赛制（14）、根的性质辨析（16）|设置开放性问题（11），培养数学表达与探究能力| |解答题|9/72|方程求解（17）、动态几何（23、25）、材料阅读（24）、实际应用（21销售、22车棚面积）|融合校园情境（14）与生活问题（21），通过分层设问（25分两问）发展推理意识与模型观念|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 8．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 10．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 12．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 13．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 16．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．（6分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 19．（8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 21．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 22．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 23．（9分）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 24．（9分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 8．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 10．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 12．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 13．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 16．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号）   三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．(6分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 19．（8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 21．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 22．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 23．（9分）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 24．（9分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C D C A A B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12．7 13．24 14．8 15．或 16．②③④ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【解析】（1）解： ， （3分） （2）解： ， （6分） 18．（6分） 【解析】(1) 证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根；（3分） （2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. （6分） 19．（8分） 【解析】(1) 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （4分） （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或， 解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或．（8分） 20．（8分） 【解析】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （4分） （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ．（4分） 21．（8分） 【解析】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2分） （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元．（8分） 22．（8分） 【解析】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米．（8分） 23．（9分） 【解析】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，；（2分） （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于；（5分） （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于（9分） 24．（9分） 【解析】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ；（2分） （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ．（5分） （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2．（9分） 25．（10分） 【解析】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于；（3分） ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （6分） （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 8．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 10．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 12．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 13．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，由判别式可得k的取值范围，再由k是正整数可得k的值，再把k的值代入原方程求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 16．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号）   【答案】②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 18．(6分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 【答案】(1) 证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式（判断方程根的个数）及一元二次方程的解（已知根求参数），解题的关键是熟练掌握判别式的计算公式及“方程的根满足方程等式”的性质． （1）计算方程的判别式，将其化简为关于的代数式，证明该代数式恒大于等于； （2）将根代入原方程，解关于的一元一次方程，再将的值代入原方程，求解另一个根． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 19．（8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1) 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或， 解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 21．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 22．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】 这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【分析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为80平方米列方程，求解即可． 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 23．（9分）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】 (1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 24．（9分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】 (1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】 (1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $