辽宁省2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷05

**基本信息** 聚焦高三开学复习，融合选择性必修三与三角函数内容，精选多地区期末真题改编，构建基础巩固到创新应用的梯度检测，适配一轮复习初期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、数列、函数性质|第2题等差数列前n项和比，考查运算能力| |选择题（多选）|3/18|命题否定、等比数列、函数零点|第11题函数零点与极值分析，体现逻辑推理| |填空题|3/15|基本不等式、等差数列最值、函数零点|第12题结合正实数条件求最值，落实数学应用| |解答题|5/77|幂函数与指数函数、数列证明、三角函数图像、导数应用|第19题导数极值点证明，考查数学思维；第17题三角函数图像变换，培养数学眼光|

辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）“函数存在零点”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山东济南·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·吉林·期末）已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）下列命题中，真命题是（ ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的必要不充分条件 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）数列的前项和满足，前项的积为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．有最大值 D． 11．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．至少有2个零点 B．若，则的解集为 C．，使得在上有极值点 D．在上恒有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 13．（2026·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 14．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 16．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知数列满足，，记． (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (3)设，为数列的前项和，证明：． 17．（25-26高三上·辽宁本溪·阶段检测）已知函数的一系列对应值如下表： (1)根据表格提供的数据求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)将图像向右平移单位后，将得到图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，再将得到的图像横坐标不变，将得到的图像向下平移一个单位，再纵坐标变为原来的倍后得到，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·天津河西·期末）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 19．（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点，求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，，且，求证. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】对于不等式，对数定义域要求； 不等式变形为，因为是单调递增函数， 因此，即； ，解不等式得，因此， 所以. 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 3．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果； 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）“函数存在零点”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，且. 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0或时，趋近于， 若函数有零点，等价于，即， 显然是的真子集， 所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件. 5．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 7．（25-26高二下·山东济南·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 8．（25-26高二下·吉林·期末）已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数与极值点的关系，结合诱导公式及三角函数性质求解即可.. 【详解】. 令，则，即. 令，当时，， 则问题可转化为在上有两个不同的解，即与在上有两个交点. 易知在上单调递减，在单调递增. 又当时，；当时，， 当时，， 简图如下： 所以. 故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）下列命题中，真命题是（ ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的必要不充分条件 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】BD 【分析】分别利用不等式性质、特称命题否定规则、充分必要条件定义、扇形面积与弧长公式逐一判断四个命题真假，筛选出真命题． 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，B正确； 对于C：当，此时，则充分性成立， 若，则，则必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D，设扇形半径为， 由圆心角为的扇形的面积为，得，解得， 所以扇形的弧长为，D正确． 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）数列的前项和满足，前项的积为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．有最大值 D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出数列 的通项公式，进而判断各选项的正确性. 【详解】已知 ①，当 时， ， 移项可得 ，即 ，所以选项A正确； 当 时， ②， ①②可得：， 所以，移项可得 ，即 , 所以数列 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，所以. 所以 ，则 . 因为 ，且 ， 所以数列 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，选项B正确； 由 ，且随着 的增大， 也增大， 所以 会随着 的增大而增大， 无最大值，选项C错误； 因为 ，所以 ， 则 ， 而 是首项为，公比为的等比数列的前 2026 项和， 根据等比数列求和公式可得： ， 所以 ，选项D正确. 综上，答案是ABD. 11．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．至少有2个零点 B．若，则的解集为 C．，使得在上有极值点 D．在上恒有最大值 【答案】ABD 【分析】对A：计算可知与必为零点；对B：分或、、与讨论即可得；对C：求导后，结合，，可得，即可得解；对D：计算可得当或时，，当时，，即可得解. 【详解】对A：令，则或或， 当或时，有个零点， 当且时，有个零点，故A正确； 对B：若，则， 当或时，； 当时，、，则； 当时，、，则； 当时，、，则； 综上可得，的解集为，故B正确； 对C：， 若，，则，，， 故， 即在上单调递增，故在上无极值点，故C错误； 对D：由，故当时，，，故； 当时，，，故； 当时，，，故， 又在上连续，故必定存在，使得， 故在上恒有最大值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 13．（2026·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 14．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将有四个不同零点转化为直线与的图象有四个交点，分别分析分段函数两段的单调性与值域，数形结合求的取值范围. 【详解】由可得，问题等价于直线与函数的图象共有4个不同交点， 分两段讨论函数性质： 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； 最小值为，端点值， 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 或时仅有1个交点； 时无交点； 当时，， 在上，单调递减，值域为； 在上，单调递增，值域为； 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 时仅有1个交点， 当时无交点； 要使总交点数为4，需两段各有2个交点，取两个范围的交集， 得的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 16．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知数列满足，，记． (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (3)设，为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)； (2)因为 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； (3)由（2）得，则， 可得， 两式相减，可得： ， 则   易知   因为，所以为递增数列，则，所以． 【分析】（1）根据递推关系代入求解即可； （2）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （3）应用错位相减法求和，再结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1），，. （2）因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ， 且也符合上式． 综上， （3）略. 17．（25-26高三上·辽宁本溪·阶段检测）已知函数的一系列对应值如下表： (1)根据表格提供的数据求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)将图像向右平移单位后，将得到图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，再将得到的图像横坐标不变，将得到的图像向下平移一个单位，再纵坐标变为原来的倍后得到，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)递增区间为，对称中心为 (3) 【分析】（1）根据函数在表格中的对应数据，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由（1）知：，结合正弦函数的性质，即可求解； （3）先利用三角函数的图象变换，求得，令，把方程化为，求得方程的解，转化为与的图象有两个公共点，结合图象，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）根据函数在表格中的对应数据， 设的最小正周期为，可得，则， 由，解得，可得， 又由，可得，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知：.　 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 再令，解得， 所以函数的对称中心为. （3）先将图像向右平移单位后，得到， 再将图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到， 最后将图像向下平移一个单位，纵坐标变为原来的倍后，得到， 令，方程，即为， 解得或， 因为，设，可得， 要使方程存在4个不相等的实数根， 当，即在上存在两解， 所以，即有两个根，且， 即与的图象有两个公共点，且， 画出函数与的图象， 结合图象，可得或或， 解得或或， 所以所求的的取值范围是. 18．（25-26高二下·天津河西·期末）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 19．（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点，求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，，且，求证. 【答案】(1) (2) (3)证明：对函数求导，得 ， 令，即 ， 要使有两个不同的极值点，，则 方程有两个不相等的正实数根，， 故，， ， 在上单调递减，在上单调递增， 由可得 ， 由，得， 所以，即， 又在上单调递增， 所以. 【分析】（1）根据导数与切线斜率的关系求解即可； （2）将问题转化为在上恒成立，令，，求导判断单调性即可求出； （3）利用极值点与导数的关系，结合韦达定理和单调性得求解即可. 【详解】（1），故点即点， 对函数求导，得 ， 又曲线在点处的切线过点， 所以，解得. （2）由题意得在上恒成立，， 令，则， 令，则， 故在上单调递增，， ，故在上单调递增，， 故实数a的取值范围为. （3）略 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $