辽宁省2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷04

**基本信息** 聚焦高三开学复习，融合选择性必修第三册与三角函数核心内容，通过摩天轮实际情境、函数零点探究等设计，考查数学眼光、思维与语言，适配一轮复习初期能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件、三角函数定义|基础巩固，如第3题结合终边点求三角函数值| |多选|3/18|函数性质、数列应用、不等式|综合辨析，如第9题融合函数恒成立与定义域| |填空|3/15|三角函数对称、数列递推、导数最值|创新应用，如第12题结合单位圆对称求角| |解答|5/77|集合运算、数列求和、三角函数模型、导数应用|分层设计，17题摩天轮情境构建三角函数模型，19题导数零点问题考查逻辑推理|

辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建漳州·期末）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中为污染物初始含量，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（    ） （参考数据：） A．2h B．3h C．4h D．5h 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D． 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若对都成立，则实数k的取值范围是 B．函数 （且）恒过定点 C．已知函数的定义域为，则的定义域为 D．若，，且，则的最小值为 10．（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 11．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 13．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项数列满足，，则________． 14．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 18．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且函数有2个零点，求的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故. 2．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系、诱导公式结合求出的三角函数值，再结合充分条件、必要条件的定义、特殊值法判断即可. 【详解】由可得，整理可得， 解得或， 当时，，即“”时满足“”； 若，不妨取，则， 即“”时不能得到“”. 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时的前项和为. 所以. 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 由得，则函数在区间上的零点为共6个. 6．（25-26高二下·福建漳州·期末）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中为污染物初始含量，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（    ） （参考数据：） A．2h B．3h C．4h D．5h 【答案】B 【分析】先根据1小时过滤污染物的条件求出的值，再令剩余污染物为初始值的一半，将指数式转化为对数式，结合对数运算性质计算时间的近似值. 【详解】由题意，当时，剩余污染物为初始含量的， 代入得： ， 因为，所以. 当过滤掉一半污染物时，剩余污染物为，代入公式得 ， 因为，得. 所以， 又，所以 ，即所得值最接近. 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期，求出，再代入点的坐标，结合的范围，即可得到函数解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，所以， 又的图象经过点， 所以，则或， 又，所以， 所以， 令， 则， 所以的单调递增区间是. 故选：D 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以将问题分为和两部分来考虑，再将变量分离，对新得到的函数进行单调性分析，最后综合考虑求解. 【详解】当时，，令，得， 设，对求导，可得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值， 当，，则， 当，增长速度远慢于的增长速度，则； 当时，，令，得， 设，对求导，可得， 则在上单调递增， 当，增长速度远快于的增长速度，则， 当，增长速度远快于的增长速度，则； 因此我们大致可以得到以下图像： 因此我们把问题有3个根，转变成了与的图象共有三个交点， 观察图象知，当时上述条件成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若对都成立，则实数k的取值范围是 B．函数 （且）恒过定点 C．已知函数的定义域为，则的定义域为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A，分与二次函数恒成立求参数范围；对于B，令对数真数为求定点；对于C，由内层函数值域求抽象函数定义域；对于D，条件式构造“”，用均值不等式求最小值，筛选正确选项． 【详解】对于A，根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立， 若，则，符合条件， 若，则， 解得，综上，A错误； 对于B，函数（且）， 令，解得，，所以恒过定点为，B正确； 对于C，已知函数的定义域为，即，即， 所以的定义域为，C错误； 对于D，，，且，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，D正确. 10．（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 【答案】ACD 【分析】利用已知关系和等比数列的公式法得到数列和的通项可得A；由裂项相消法可得BC，结合数列的单调性从初始值代入验证可判断D. 【详解】当时，，解得：； 当时，，， ，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ，， 对于A，，正确； 对于B，，所以前2026项和为，错误； 对于C，， 所以的前2026项和为，正确； 对于D，令，由于指数模型增长速度远高于一次型， 且当时，单调递减，且，可考虑从初始值代入验证最值进行判断： 当时，由，， 因，显然不成立； 当时，由，， 则有， 满足，符合题意； 如此验证当时，求出值后代入后均不成立.故D正确. 11．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，令即可判断A；令即可判断B；先令求出，再分别令和令即可判断C；由可判断的周期是，求出一个周期的和即可求解. 【详解】已知定义在上的函数满足，且， 对于A，令，则，即，由于，解得，故A错误； 对于B，已知，令，则，化简得，即， 对任意，都可以令，则，故B正确； 对于C，已知，，令，则，化简得，解得， 再令，则，化简得，变形得， 再令，则，化简得，所以是一个偶函数， 结合，可得，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，已知，进一步可得，所以的周期是， 已知，，，， 所以每个周期内和为， 前项可拆分为个完整周期加剩余项， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 【答案】 【详解】因为，，所以. 由题意可得，所以. 13．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项数列满足，，则________． 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 14．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 【答案】/0.5 【分析】根据两点间的距离公式将看成点与点距离的平方，再由条件得，点在曲线上，点恒在直线上，进而问题转化为求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方，由直线的斜率及导数的几何意义可求切点坐标，从而可求最小距离及所求值. 【详解】因为的几何意义是点与点距离的平方： 由条件得， 即点在曲线上，点恒在直线上. 因此问题转化为：求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方. 设曲线上一点， ， 因为直线的斜率为，令，，即. 令，则， 因为函数在上单调递增且，所以，得. 将代入，得，所以切点为. 所以切点到直线（即）的距离为，. 因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． （2）因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 16．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【答案】(1)； (2)（i）次，；（ii） 【分析】（1）求出3min旋转的圆心角，利用三角形面积公式进行求解； （2）（i）求出甲的座舱高度关于时间的函数，从而得到方程，求出，，根据求出，进而得到答案； （ii）在（i）的基础上，得到不等式，求出答案 【详解】（1）转一周需要，故3min旋转的圆心角为， 转盘半径为40m，的面积为； （2）（i）设甲的座舱高度关于时间的函数为， 则， 当甲乙两人距离地面的高度相等时，， 即，即， 故，，故，， 令，得， 又，故，所以运行一周的过程中，两人距离地面的高度相等的次数为2次， 当时，，即首次距离地面的高度相等的时间； （ii）因为，所以， 令，即， 故，解得， 故甲处于“震撼时段”的时间段为. 18．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 19．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）通过求导，确定函数单调性即可求解； （2）将问题转换成方程有2个实数解，通过研究函数的单调性进而可求解. 【详解】（1）当时，则，于是， 令，即，解得 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 故有极小值为，无极大值 （2）当，有2个零点，即方程有2个实数解， 设，，令，得 当时，，则在单调递减，且时， 当时，，则在单调递增，且时，，的最小值为， 所以要使函数有2个零点，则需， 故的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $