四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题2

**基本信息** 以空间向量、圆锥曲线等核心知识为载体，融入《九章算术》阳马文化情境，通过抛物线综合应用、轨迹方程证明等大题设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量（第1题）、直线倾斜角（第2题）|基础概念与运算结合，如第5题阳马模型考查空间几何直观| |多选题|3/18|向量命题判断（第9题）、数列性质（第10题）|多维度辨析，如第11题结合双曲线切线与中点关系，考查逻辑推理| |填空题|3/15|等比数列（12题）、椭圆对称点（13题）|动态问题设计，如14题四棱锥体积最大时外接球表面积，体现数学建模| |解答题|5/77|数列求和（15题）、立体几何二面角（17题）、抛物线综合（18题）、轨迹方程（19题）|分层递进，18题（ii）通过斜率关系探究取值范围，19题证明直线过定点，考查数学语言表达与创新应用|

树德中学外国语校区高2024级高二上学期数学试题（期末模拟2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知空间单位向量，，两两垂直，则(     ) A. B. C. D. 2.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为(     ) A. B. C. D. 3.若圆与圆相交，则的取值范围(     ) A. B. C. D. 4.点到直线的距离的最大值为(     ) A. B. C. D. 5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则(     ) A. B. C. D. 6.设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为(     ) A. B. C. D. 7.已知在数列中，，，，则中的最大项是(     ) A. B. C. D. 8.已知抛物线，过点且斜率为正的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，线段的中垂线交轴于，过原点垂直于直线的直线交直线于点，则四边形面积的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.给出下列命题，其中正确的是(     ) A. 向量，若夹角为钝角，则实数的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 已知，则向量在向量上的投影向量是 10.已知数列满足，则下列说法正确的有(     ) A. 数列的前项和为 B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 11.已知双曲线的右顶点为，过点作的一条切线与双曲线交于点且与相切于点，若中点为，且，过点作的另一条切线与双曲线交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是(     ) A. 双曲线的离心率 B. () C. D. 过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若等比数列满足，，则___________． 13.椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是___________． 14.在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分已知数列为等差数列，若，． 求的通项公式； 若数列满足，求数列的前项和． 16.分已知点，圆：． 若过点的直线与圆相切，求直线的方程； 若直线与圆相交于，两点，弦的长为，求的值． 17.分如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，． 证明：平面 在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18.分抛物线的焦点为，上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为． 求抛物线的方程； 已知点，，是抛物线上不同的三点． (ⅰ)若直线过点，且交准线于点，，，求的值； (ⅱ)若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率的取值范围． 19.分已知，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹记为． 求轨迹的方程； 设是线段的从左至右的两个三等分点． 试比较与的大小，并说明理由； 若直线，分别与曲线相交于另一点和，直线与交于另一点，求证：直线经过一定点． 答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 7. 解：记，由题意得，整理可得， 得，即，又，，所以， 则是以为首项，为公差的等差数列，所以， 当时，，即，当时，，即， 所以，故中的最大项为．故选：． 8. 解：设直线， 则，由得， 则， 所以． 又由得中垂线方程为 令得，则， 直线，令得，即，则四边形是平行四边形， 其面积， 令则函数在上单调递增， 于是由得．故选D． 11. 解：设，， 将，代入双曲线方程，得，，得：， 即，由题可知，，，所以， 又因为是中点，所以，，即， 所以，则，故A正确；圆的圆心为，半径为，设切线方程为， 则，即，则，是上述方程的两根， 又根与系数关系可得，故C错误由，则，， 设的中点为，由可得：，即，， 因为，，所以，， 因为，将分别代入，则：， 即，，即， 得：，所以直线过定点，故D正确．故选：． 12. 13. 14. 解：因为，，，，则四边形为直角梯形， 平面，平面，则，，，平面， 平面，则平面， 、平面，，，则， 故， 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 由，可得，化简可得， 即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大， 此时，设三棱锥的球心为， 由，可得，解得 所以，三棱锥的外接球球心为，球的半径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为． 15.． ．  16.或． ．  17.证明：在上找中点，连接，，和分别为和的中点，，且， 底面是直角梯形，，，且即四边形为平行四边形 ，又平面，平面，平面 解：以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱上一点，设，， 设平面的法向量为，由可得 所以，令，则，则，取平面的法向量为， 则二面角的平面角满足：， 故存在满足条件的点，此时．  18.； 设直线的方程为：，设，， 又，联立，消去得， 则，，， 由，得，整理得，同理可得， ； 设直线的方程为：，，，， 联立，得，则，，， ，即，即， 把，代入化简得，即， 从而有，即或，当时，直线， 过点，与已知点，，是抛物线上不同的三点矛盾当时，代入， 可得得，解得或， ，直线的斜率的取值范围为．  19.设，因为直线，的斜率之积是，所以，即化简得，， ，，易知，为的焦点，因为， 所以，当且仅当时取等号，所以； 设，，当斜率存在时，不妨令直线，联立， 化简得，，因为与的另一个交点为， 所以，因为， 所以式可以化为，所以，所以点，同理点，当轴，即时，，， 所以直线过轴上点下证：，，三点共线，因为， 同理，，因为，，三点共线，所以，所以， 即，，三点共线，所以直线经过一定点． 当轴时，即，根据对称性不妨令，所以， 此时，联立，解得所以直线交于， 所以 综上，直线经过定点．  第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $