四川省彭州中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年彭州中学高二上期末数学试卷，覆盖向量、直线与圆、圆锥曲线、立体几何等核心知识，以蒙日圆文化情境、轨迹方程建模等实例，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二学段期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影、空间向量定理、双曲线焦点弦|基础概念辨析，如第2题空间向量共面判断| |多选题|3/18|空间向量数量积、椭圆几何性质|多维度能力考查，如第11题椭圆焦点三角形综合| |填空题|3/15|直线与双曲线位置关系、抛物线中点弦|动态问题探究，如第14题抛物线四边形面积计算| |解答题|5/77|轨迹方程证明、椭圆与抛物线综合|分层设计，如第18题轨迹方程与面积最值，第19题跨曲线中点问题，体现数学建模与逻辑推理|

绝密·启用前 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期末考试 数学试卷 命题人：黄宇静 审题人：蔡乐达 *祝愿你们考试顺利！* 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 2.已知空间向量，，，下列命题中正确的是(    ) A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为的实数，，使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，使得 3.已知直线：，：，若，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 4.过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有    ． A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 5.已知直线与椭圆交于，两点，且线段中点为，若直线为坐标原点的倾斜角为，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，且与轴相交于点，若，，，则  (    ) A. B. C. D. 7.已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.已知，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 10.已知直线与椭圆，则． A. 若与至少有一个公共点，则 B. 若与有两个公共点，则 C. 若，则上到的距离为的点有且仅有个 D. 若，则上到的距离为的点有个 11.设为椭圆上一动点，，为左右焦点，则下列结论正确的是(    ) A. 过的直线交于、两点，则的周长为 B. 的最大值为 C. 存在点，使得为直角 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.空间中任意四个点，，，，则          ． 13.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为          ． 14.如图，已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点若四边形的面积等于，则的值为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆：外有一点，过点作直线． 当直线与圆相切时，求直线的方程； 当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长． 16.本小题分 如图，已知，，，，，，为的中点． 证明：平面．求点到平面的距离． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是棱的中点，是棱上一点． 证明：．若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18.本小题分 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线． 求的方程，并说明是什么曲线； 过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． 证明：是直角三角形； 求面积的最大值． 19.本小题分 如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于． 若，求抛物线的焦点坐标； 若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值． 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期末考试 数学试卷参考答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】 解：，， 则，， 故向量在向量上的投影向量为． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的基本定理，考查学生的推理能力，属于中档题． 利用向量的线性运算，空间向量的基本定理，共面向量基本定理，即可判断正误． 【解答】 解：与共线，与所在的直线也可能重合，故A不正确； 根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 实数，，不全为，不妨设， 则，由共面向量定理知一定共面，故C正确； 只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选： 4.【答案】  【解析】 过右焦点且垂直于实轴的弦长为，因为，所以当直线与双曲线的两交点都在右支上时，这样的直线只有一条．又实轴长为，，所以当直线与双曲线的两交点分别在左、右两支上时，这样的直线应该有两条，所以满足条件的直线共有三条．故选 C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 设，，线段的中点利用平方差法，利用中点坐标公式、斜率计算公式，即可得出，关系，再利用离心率计算公式即可得出． 【解答】 解：设，，线段的中点 ，， 相减可得：， 即， 因为，，直线， ，， 代入可得， 解得． ． 故选：． 6.【答案】  【解析】过点，分别作抛物线准线的垂线，，垂足分别为，，且，与轴分别相交于，，则∽，得由抛物线的定义知，，则，解得． 7.【答案】  【解析】设，  则，  所以   ，  因为恒成立，  所以 恒成立，  所以恒成立，  当时，显然恒成立，  当时，恒成立，  所以，则，  又，所以，  即实数的取值范围为 8.【答案】  【解析】解：由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离，   所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了共线与共面向量定理及应用，空间向量的数量积及运算律和投影向量空间向量，属于中档题． 利用空间向量的数量积，结合共线向量定理对与进行判断，利用共线向量定理对进行判断，再利用投影向量空间向量对进行判断，从而得结论． 【解答】 解：对于因为，， 而， 所以不成立，故A错误 对于因为，， 所以，因此，故B正确 对于因为，， 而，且与不共线， 所以为锐角，故C错误 对于 因为，， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 故选BD． 10.【答案】  【解析】联立方程得得，则令，则，A错误 令，得，B正确 若与相切，则，即，直线与直线间的距离，C正确 如图，直线与直线和直线间的距离均为，因此上到的距离为的点有个，D正确故选BCD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆的焦点三角形和椭圆的几何性质，属于拔高题． 根据已知条件逐项分析求解即可． 【解答】 解：由题可知，，． 对于，周长为，故A正确． 对于，面积最大为，故B错误． 对于，当为上下顶点时，，此时，故不存在，故C错误． 对于，当为左顶点时，当为右顶点时， 故取值范围为，故D正确． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】或，答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题． 联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解． 【解答】 解：联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意． 故答案为：或，答案不唯一． 14.【答案】  【解析】解：易知，直线的方程为，，则四边形为梯形， 设，，， 则，所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为，所以为等腰直角三角形，故， 所以，， 所以四边形的面积为， 解得． 故答案为：． 15.【答案】解：由题知，圆心坐标为，半径为， 当斜率不存在时，直线的方程为； 当斜率存在时，设直线的方程为， 则，解得， 直线的方程为， 综上，直线的方程为或； 当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所求弦长为．  【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题． 当斜率不存在时，直线的方程为；当斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得，则直线方程可求； 由直线的倾斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直线被圆所截得的弦长． 16.【答案】由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 取的中点，连接，图略， 因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又， 所以是等腰三角形， 同理，是等边三角形， 可得，，，． 又，所以， 故故，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系图略， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，所以． 故点到平面的距离．   【解析】略 17.【答案】在正方形中，有，又底面，平面，所以． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 因为，是棱的中点，所以． 又平面平面，所以平面． 又平面，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 所以，，，，设点， 所以，， 设平面的一个法向量为，则即令，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值， 化简可得，即，所以或舍去． 故， 因为，所以点到平面的距离．   【解析】略 18.【答案】解：由题意得， 整理得曲线的方程：， 曲线是焦点在轴上不含长轴端点的椭圆； 设，则， ，， 直线的方程为：， 与联立消去， 得， ， ， ， ， 把代入上式， 得， ， ，故为直角三角形； 令，则， 利用“对勾”函数在的单调性可知， 时取等号， 此时， 故面积的最大值为．  【解析】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，计算难度大． 利用直接法不难得到方程； 设，则，，利用直线的方程与椭圆方程联立求得点坐标，进而证得，斜率之积为； 利用，代入已得数据，并对换元，利用“对勾”函数可得最值． 19.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标， 当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意， 由题意可设直线：，点， 将直线的方程代入椭圆：得 ， 为线段的中点， 点的纵坐标， 将直线的方程代入抛物线：得 ， ，可得， 因此， 由，可得， 即，得，当且仅当，时，等号成立， 的最大值为．  【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题． 根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标； 由题意可设直线：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $