精品解析：四川自贡市田家炳中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二上期期中考试数学试题 满分150分 时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 2. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. 45° C. 90° D. 180° 4. 设，，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 7. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 10. 不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ） A. B. C. D. 事件A与相互独立 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，不存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 13. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______. 14. 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 16. 如图，正四棱锥中，，．点在上，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； 17. 已知分别为三个内角的对边，，且， （1）求； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）判定平面与平面的位置关系． 19. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上期期中考试数学试题 满分150分 时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，且，结合向量的数量积公式可知，解得其向量的夹角为1200，故选C. 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题． 2. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. 45° C. 90° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与轴垂直得出倾斜角. 【详解】因为直线与轴垂直，所以其倾斜角为， 故选：C. 4. 设，，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案. 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 5. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误的两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 7. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 8. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用子集的含义和必然事件、不确定事件和不可能事件的定义逐一分析选项，即可得解. 【详解】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确； 对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误； 对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确； 对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题的关键是掌握“”的含义，即存在而，考查学生的分析能力，属于基础题. 10. 不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ） A. B. C. D. 事件A与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解. 【详解】对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，则， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以事件A与不独立，故D错误； 故选：AC． 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中，不存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为 D. 当时，的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断A，连接，证明平面，则即为与平面所成角的平面角，即可判断B，由三棱锥体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角判断C，再由侧面展开图及余弦定理可判断D. 【详解】对于A，当平面与平面垂直时， ，平面与平面的交线为，平面, 平面，又平面， ，，故A错误； 对于B，连接， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 则即为与平面所成角的平面角， 在中，，则， ， 所以， 即与平面所成角的正切值为，故B正确； 对于C，当三棱锥体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大， 即平面与平面垂直时， 由A选项可知，平面，故AD与平面ABC成角为， 因为，所以，，， 则， ， 即AD与平面ABC成角的正弦值为，故C正确； 对于D，当时，因为为的中点， 所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以， 所以， 如图将沿旋转，使其与在同一平面内， 则当三点共线时，最小， 即的最小值为， 在中，， 则， 所以， 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 13. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人 考点：分层抽样 14. 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计众数和中位数. （2）根据分层抽样的方法，确定样本中人员的构成，再列出人选2人的所有可能，利用古典概型的公式求相应的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 故中位数位于之间，中位数是 【小问2详解】 ∵与的党员人数的比值为， 采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人， 设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，共10个样本点， 这2人中至少有1人成绩低于76分的有： ，，，，，，，共7个样本点， 故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 16. 如图，正四棱锥中，，．点在上，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正四棱锥的几何特征计算边长，应用余弦定理得出，进而得出，同理得出，最后应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用二面角定义结合（1）得出二面角的平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为四棱锥是正四棱锥，且， 则底面，则， 又，所以， 所以， 又因为点在上，，所以， 在中，， 在中，， 所以，所以， 同理， 平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， 所以二面角的平面角为， 又由（1）知，， 所以在中，， 所以二面角的余弦值. 17. 已知分别为三个内角的对边，，且， （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及化简计算，求得，利用辅助角公式求出；（2）利用正弦定理把边转化为角的正弦，得到，结合，求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意得：， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 因为，所以由正弦定理得：， ， 因为，所以， 所以，的取值范围是 18. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）判定平面与平面的位置关系． 【答案】（1） （2）平面平面 【解析】 【分析】（1）利用数量积运算，求得与夹角的余弦值，即可得异面直线AO与BC所成角余弦值； （2）由向量垂直证明线线垂直，结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得平面平面. 【小问1详解】 中，，，所以. 因为， 所以 . 所以. 所以. 故异面直线AO与BC所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 取的中点，记为点，则，且. 由（1）得因为， 所以. 所以，即. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 19. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可. （2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $