四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期数学周考4

**基本信息** 聚焦空间想象与逻辑推理，结合数独比赛（国际数学日活动）等现实情境，通过立体几何折叠、椭圆综合题等梯度设计，适配高三周测知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率（围棋取子）、椭圆方程、空间坐标|基础概念辨析，如对称点坐标计算| |多选题|3/18|频率分布直方图、椭圆性质、长方体动点|选项分层，如离心率与斜率乘积综合判断| |填空题|3/15|直线方程、正方体面积、椭圆极线|创新应用，如极线距离定值问题| |解答题|5/77|圆方程、概率应用、椭圆综合、立体几何折叠|情境化与综合性，如数独比赛概率计算、折叠问题面面垂直证明|

高2024届高三上期数学周考04 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 围棋盒子中有多粒黑子和白子.已知取出2粒都是黑子的概率为，取出2粒都是白子的概率是，则任意取出2粒恰好是同一色的概率是（     ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 在平行六面体中，，，则的值为（     ） A． B．3 C．6 D．8 5. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，点在棱AD上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85 C. 估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 10. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 11. 在长方体中，，，为中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为______. 13. 已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 14. 已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 四、解答题（本大题分为5小题，共77分） 15. （本小题13分）已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 16. （本小题15分）为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. （1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； （2）求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 17. （本小题15分） 已知椭圆：长半轴长等于焦距，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围. 18. （本小题17分）如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 19. （本小题17分） 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求直线的斜率； （ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 1.B【详解】设“取出2粒都是黑子”为事件,“取出2粒都是白子”为事件,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件,则事件即事件,且事件与事件互斥,所以,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选:B 2.【答案】D 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 3.【答案】A 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 4. 【答案】D 【详解】，则： 已知 ，夹角均为，代入得： ，故选 D。 5.【答案】B 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 6.【答案】B 【详解】因为，所以. 因为平面，平面， 所以，所以. 在中，，所以， 所以，所以. 所以. . 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 故选：B. 7.【答案】C 【详解】由有，所以曲线表示以为圆心，半径为的半圆，又直线， 又因为圆心到直线上的距离为：， 所以设与直线平行的直线为，使得直线到直线的距离为， 所以，解得，所以， 由圆心到直线的距离为： ，所以直线与曲线相交， 圆心到直线的距离为： ， 所以直线与曲线相交， 作出图像： 由图可知，曲线上有个点到直线的距离为， 故选：C. 8.【答案】B 【详解】由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，所以，即， 设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知， 所以， 所以，解得或5， 因为，所以，故,, ，当且仅当共线，且在之间时取等号， 故选：B 9.【答案】ABD 【详解】由，可得，故A正确； 前三个矩形的面积和为， 第四个矩形面积为 ，估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为，故B正确； 由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确. 故选：ABD 10.【答案】BC 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于D，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故D错误； 对于C，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故C正确． 故选：BC． 11.【答案】ABD 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 12.【答案】 【详解】设该直线方程为， 直线与垂直，则， 直线在y轴上的截距为2，则， 所以该直线方程为. 故答案为：. 13.【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 设， 所以 所以， 设直线与的夹角为， 则，所以 所以 所以当时，的面积的最小值为， 故答案为： 14.【答案】 【详解】设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 15.【答案】（1） （2）或 【解析】 （1）∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得, 解得,即圆的标准方程为. （2）∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ①当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ②当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 【详解】（1）设“甲第i轮做对”,设“乙第i轮做对”,设“两轮比赛甲得i分”,设“两轮比赛乙得i分”. . 所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为； （2）设“不进行加赛甲就获得数独王”. , , , 所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为. 17.【答案】（1）； （2）. 【解析】 （1）由椭圆的长半轴长等于焦距，且过点， 得,又，解得， 则椭圆的方程为； （2）当直线与轴重合时，四边形显然不存在. 不妨设直线，，， 将直线方程与椭圆联立，得， 显然恒成立，则，且，异号. 则四边形的面积， 令，四边形的面积可化为. ∵函数在上单调递增，则， ∴四边形的面积的取值范围为. 18.【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）6；（ⅱ） 【解析】 （1）在平面内过点作于点，连接. 在梯形中，由，，， 易得，则，，即. 在中，由余弦定理，得 . ∵，且， ∴，又，得平面. ∵平面∴平面平面. （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知，得 ，，，， 则的中点，的中点. （ⅰ）设，即，由，得， 则. ∵，，，四点共面，∴，即 ， 得，解得，即. （ⅱ）设， 则，. ∵直线平面，得，解得. 则， ∴. 19.【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在， 【解析】 （1）由题意，得，解得，则， 故椭圆的方程为； （2）（ⅰ）由，且，，三点共线，则， 则，解得，又，则， 由，则直线，即， 令，则，故，又，则直线； （ⅱ）设直线与轴的交点为，由（ⅰ）猜想平分， 由直线不与轴重合，可设，， 联立，消去得， 则，即， 将直线的方程与直线联立，则，则， ①当斜率不存时，由（ⅰ）得； ②当斜率存在时，，则， 又，故； 由，得，则， 设点关于直线的对称点为，则，则， 由，则， 又，故，则， 故轴上存在定点，使得. ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $