精品解析：四川成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期末测试数学试题

树德中学高2024级高二上期期末测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知空间向量，若，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：D 2. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线的斜率，根据斜率与倾斜角关系求解. 【详解】设直线的倾斜角为, 直线的斜率： 可得 综上， 故选：A 3. 圆与圆的公切线的条数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得两圆的圆心及半径，再求圆心距及半径之间的关系即可求得公切线的个数. 【详解】圆化成标准方程为，知 圆化成标准方程为，知 圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线. 故选：A 4. 以为顶点的的面积为10，则为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 5. 若双曲线渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、已知圆的圆心及半径，再利用圆的切线性质列式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 圆的圆心为，半径为1，依题意，， 则，所以双曲线离心率为. 故选：B 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则为（ ） A. 4053 B. 4051 C. 4049 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式和通项公式，计算可得出结论. 【详解】由，得， 由，得 即, 则, 得, 故选:B. 8. 已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，与抛物线交于，则和的横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线方程并根据两条切线的斜率均存在，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，联立切线和抛物线方程并利用韦达定理化简求和即可得出结果. 【详解】由点在抛物线上可得，解得； 所以； 易知圆的圆心为，半径为，且圆心在抛物线焦点处，如下图： 显然过点的两条切线的斜率均存在，所以设切线方程为， 因此圆心到直线的距离为，整理可得， 因此两切线的斜率即为该方程的两根，不妨设为， 由韦达定理可得； 联立，整理可得； 显然(对应点)是该方程的根，则另一根需满足， 即可得， 不妨取点和点的横坐标分别为； 所以两点横坐标之和为, 将代入可得. 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. 的长为6 D. 平行六面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的几何体，结合空间向量基本定理，用基底表示相关向量，再利用数量积的运算律，结合柱体的体积公式逐项计算判断. 【详解】取空间向量的一个基底，则，， ， 对于A，，A正确； 对于B， ，则与不垂直，即直线与直线不垂直， 而直线平面，因此直线与平面不垂直，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，设是平面法向量，则， 令，得，即，则 ， ，因此点到平面的 距离，而，所以平行六面体的体积为 ，D错误. 故选：AC 10. 数列为等差数列，，前项和为，数列满足.则（ ） A. B. 数列为等差数列 C D. 数列中存在三项能构成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求出公差，进而得到和的表达式，再根据 求出的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】已知数列为等差数列，， 根据等差数列通项公式，可得，即，解得. 由等差数列通项公式可得 根据等差数列前项和公式，可得. 因为，所以 选项A：将代入，得，所以选项A正确； 选项B：由，可知是关于的一次函数，所以数列为等差数列，选项B正确； 选项C：将代入，可得 将代入， 可得 则 因为，，所以，选项C正确. 选项D：假设数列中存在三项，，(，且)能构成等比数列， 则， 将，，代入， 可得 展开等式左边得， 展开等式右边得. 等式两边整理得：. 因为等式左边有无理数项，等式右边有无理数项， 要使等式成立，则，且. 由可得，代入中， 可得， 进一步化简得，即，这与矛盾， 所以数列中不存在三项能构成等比数列，选项D错误. 故选：ABC. 11. 双曲线的左右焦点分别是，以的实轴为直径的圆记为，圆与直线交于两点（在轴上方），，射线与双曲线右支交于，则（ ） A. 直线与圆相切 B. 双曲线离心率为 C. 当时，四边形的面积为8 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知圆，进而求得、，应用两点距离公式求判断A，应用余弦定理及得到双曲线参数的齐次方程，进而求双曲线的离心率判断B，由四边形的面积为判断C，应用双曲线的定义及余弦定理求判断D. 【详解】由题意圆的圆心为原点，且半径为，则圆， 联立，则，可得， 不妨令，则，故， 所以， 即直线与圆相切，A对， 由上分析易知，则， ，且， 所以， 所以，则， 所以，B对， 由上分析及图知，而， 所以四边形的面积为，C错， 由，令，则， 所以， 所以，整理得， 由B知，则，可得， 所以，，故，D对. 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，即， 若时，由可得，得, 当时，；当时，，经检验结论成立； 若时，由可得，此时异号，不合题意； 因此. 故答案为： 13. 已知椭圆是的右顶点.若上存在一点，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设且，由向量共线的坐标表示求出的坐标，再由点在椭圆上列方程求参数值. 【详解】由题设，设，则， 所以，可得，则在椭圆上， 所以，则. 故答案为： 14. 空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设四面体的外接球球心为，根据得到，再根据结合的范围求出的范围，再根据的范围即可求出的最小值，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设四面体的外接球球心为，外接球半径为， 则，，， 由题意得，则，化简得， 同理，由得，由得， 则， 又， 由得， 化简得， 因为， 由二次函数图象可得当时，取最小值，当或时，取最大值， 即， 而， 所以当时，取得最小值，即取得最小值， 此时外接球的体积， 所以四面体的外接球的体积的最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15. 设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【小问1详解】 设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. 【小问2详解】 设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. 16. 已知数列满足. （1）求并证明数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1），证明见解析 （2）2025. 【解析】 【分析】（1）对递推式两边取倒数变形可得，然后根据等比数列定义证明即可； （2）利用分组求和可得，可得，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以. 又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知所以. 所以 ， 要使， 则，由可知，所以， 即的最大值为2025. 17. 如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）若侧面与侧面的交线为，求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的高，再由棱锥的体积公式求体积； （2）由已知，再由线面平行的判定定理和性质定理得，根据线面垂直的性质和判定证得平面，即可证结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为底面，则四棱锥的高，则其体积为； 【小问2详解】 由底面上，则， 由平面平面，则平面， 平面平面，平面，则， 又底面，底面，所以， 由题知，又，平面， 所以平面，故平面； 【小问3详解】 由上易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由平面，故平面的法向量为， 设面的法向量为，则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆经过两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上异于的两动点，若，且直线的斜率均存在，并分别记为. ①求证：为定值； ②若，求三角形的面积. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据所过的点列方程求椭圆参数，即可得； （2）①设直线的倾斜角分别为，根据已知得且，由即可证；②设直线，联立椭圆并应用韦达定理，结合①和斜率的两点式求得，进而求三角形的面积. 【小问1详解】 设椭圆方程为，则，得，则； 【小问2详解】 ①设直线的倾斜角分别为， 因为，则，即，故， 因为，所以，所以， 所以，， 所以为常数1； ②若，因为，则，且 设直线，， 联立，得， 由，而，且， 代入整理得，解得（因直线不过点，舍）或， 所以，且，则到直线的距离， 则. 19. 若抛物线的焦点到直线的距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； （3）若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标并利用点到直线的距离求得，可得抛物线的标准方程； （2）易知，直线为，联立直线和抛物线方程利用判别式为零可得直线与抛物线仅有一个交点，可得结论； （3）利用（2）中的结论，分别联立直线与抛物线方程并整理，利用韦达定理以及判别式可证明得出结论. 【小问1详解】 易知抛物线焦点为， 其到直线的距离为，整理可得； 解得（舍去）， 故抛物线方程为 【小问2详解】 若在抛物线上，则， 此时直线为 联立和，整理得， 故，即抛物线与直线仅有一个交点， 所以直线为抛物线的切线. 【小问3详解】 设，直线与抛物线切于点，如下图： 则， 又因为在两直线上，所以, 因此两点满足方程， 于是直线的方程为， 联立，整理可得； 因此可得， 又易知即为, 联立，整理得， 由韦达定理可得，即； 同理，又， 所以， 联立，整理可得， 因为，且 此时 ； 所以边所在直线与抛物线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高二上期期末测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知空间向量，若，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 2. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公切线的条数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 以为顶点的的面积为10，则为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则为（ ） A. 4053 B. 4051 C. 4049 D. 4047 8. 已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，与抛物线交于，则和的横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. 的长为6 D. 平行六面体体积为 10. 数列为等差数列，，前项和为，数列满足.则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 数列中存在三项能构成等比数列 11. 双曲线的左右焦点分别是，以的实轴为直径的圆记为，圆与直线交于两点（在轴上方），，射线与双曲线右支交于，则（ ） A 直线与圆相切 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，四边形的面积为8 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，则__________. 13. 已知椭圆是的右顶点.若上存在一点，满足，则__________. 14. 空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15. 设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. （1）求圆标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 16. 已知数列满足. （1）求并证明数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 17. 如图，四棱锥中，底面满足底面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）若侧面与侧面的交线为，求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆经过两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上异于的两动点，若，且直线的斜率均存在，并分别记为. ①求证：为定值； ②若，求三角形的面积. 19. 若抛物线的焦点到直线的距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）若点在抛物线上，证明：直线为抛物线的切线； （3）若内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，求证：边所在直线与抛物线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $