第25章一元二次方程章节复习培优（知识点+专题训练） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为主线，系统构建一元二次方程知识体系，提炼四类解法适用场景与步骤，结合23个典例实现方法迁移与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|3个知识点+4典例|定义三条件/一般形式要素/根的验证法|从定义到一般形式再到根的概念生成| |解法体系|4类方法+9典例|直接开平方法降次转化/配方法四步骤/公式法通用流程/因式分解法三环节|降次思想统领下解法递进与适用场景对比| |实际应用|6类问题+10典例|增长率模型/传染问题公式/循环问题分类/销售利润每每型/面积问题割补法|从数学模型到实际问题的抽象与应用|

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判定一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件： · 方程必须是整式方程，即分母和根号中都不含未知数； · 方程只含有一个未知数； · 未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 0（a≠ 0），其中： · ax2是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 需要注意：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，其中二次项系数a不能为0，若a=0，方程将退化为一元一次方程；一次项系数b和常数项c可以为0。 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否为一元二次方程的根，只需要将这个数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根，反之则不是。 25.2 降次——解一元二次方程 一、直接开平方法 直接开平方法适用于形如(x + m)2=n（n≥ 0）的一元二次方程，根据平方根的定义，可得x + m = ，进而解得x = -m。 核心思路：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。 适用情况：当一元二次方程缺少一次项，或可以整理为完全平方式等于非负数的形式时，优先使用直接开平方法。如果n < 0，方程没有实数根。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法的理论依据是完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab +b2。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： · 一化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a； · 二移：把常数项移到方程的右边； · 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式； · 四开：若右边整理后是非负数，用直接开平方法解方程；若右边是负数，则原方程没有实数根。 配方法是一种重要的代数式变形方法，除了解方程，还经常用于代数式的最值求解、证明恒成立问题等场景。 三、公式法 公式法是通过配方法推导得到的通用求根公式，适用于所有一元二次方程。 对于一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0），当b2- 4ac ≥ 0 时，方程的实数根可以表示为： x = 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 四、根的判别式 我们把Δ = b² - 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的根的判别式，它的取值和方程根的情况有如下对应关系： 判别式取值 方程根的情况 Δ > 0 方程有两个不相等的实数根 Δ = 0 方程有两个相等的实数根 Δ < 0 方程没有实数根 说明：此处“两个相等的实数根”不能错误表述为“一个根”，一元二次方程在实数范围内最多有两个根。 五、因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的核心依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若A·B = 0，则A = 0或B = 0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： · 将方程整理为一般形式，使右边为0； · 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，常用分解方法包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法； · 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； · 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 三种解法的适用场景对比： 解法 适用方程特点 优势 直接开平方法 可化为完全平方式等于常数的形式 计算最简单，步骤最少 因式分解法 左边易于因式分解、右边为0 计算简便，求解速度快 公式法 所有一元二次方程 通用性强，不需要复杂变形 配方法 二次项系数为1、一次项系数为偶数 常用于推导公式、代数式变形 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的两个实数根是x₁，x₂，那么根与系数满足如下关系： x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 利用韦达定理可以解决很多不需要求出方程根的问题，比如已知方程的一个根求另一个根、求关于根的对称式的值、已知两根的关系求方程中的参数值等。 常用变形求值 (x1 – x2)2= (x1+x2)2 – 4x1x2 + = x1x22 + x12x2= x1x2(x1+x2) = 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 25.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的步骤可以概括为“审、设、列、解、检、答”六步： · 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系； · 设：设未知数，分为直接设未知数（直接设题目要求的量为未知数）和间接设未知数（设和要求量相关的其他量为未知数），根据题目情况合理选择； · 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程； · 解：解列出的一元二次方程，得到未知数的值； · 检：检验方程的解是否符合实际问题的意义，不符合实际意义的解要舍去； · 答：写出最终答案，注意单位完整准确。 和一元一次方程解决实际问题不同，一元二次方程通常会有两个解，必须要检验两个 二：增长率、下降率问题 增长率：（=基数，=增长率，=次数，=最终量） 降低率：（=降低率，其余同上） 关键：第二次变化在第一次基础上发生，常见“两年/两次增长/降低”。、 常见考法：已知初始量和两次增长后的最终量，求平均增长率，此时n=2，直接代入公式即可。 三：传染问题 传染问题的本质和增长率问题类似，核心模型是：每轮传染中平均一个人传染x个人，初始有m个传染源，经过两轮传染后总感染人数N满足： （=初始人数，=每轮传染数，=轮数，=总人数） 需要注意：传染问题中，原来的传染源在传染后仍然属于感染人数，所以公式是在原来基础上乘以(1+x)，而不是仅仅新增感染人数，这是易错点。 四：循环问题 循环问题分为单循环和双循环两种： 单循环（握手/联赛）：每两个主体之间只进行一次互动（比如握手、比赛一场），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人只算1次） 双循环（主客场、互赠）：每两个主体之间进行两次互动（比如主客场比赛，互送礼物），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人算2次） 题目给出总互动次数，求解主体数量n，直接根据上述关系列方程即可。 五：销售利润问题（“每每型”高频） 利润问题的核心公式： 单件利润 = 单价售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总销售额 - 总成本；利润率= 关键模型：每降价m元，多卖n件 设降价元，则：新售价=原售价；新销量=原销量；总利润=(新售价-进价)×新销量 常见考法：当售价上涨x元时，销售量会减少k x件；售价下降x元时，销售量会增加kx倍，题目给出总利润，求定价或涨降的幅度。解题时只需要根据上述公式分别表示出单件利润和销售量，相乘得到总利润后即可列出方程求解。 避坑：设降价，不要误设售价为； 检验根：降价后售价>进价，销量为正； 题目有“尽快清库存”，选降价更大的根。 六：面积问题 面积问题通常需要结合几何图形的面积公式，通过割补法表示出所求图形的面积，进而列出方程。常见考法包括： 在矩形空地修等宽的小路，剩余面积种植作物，求小路宽度； 利用已知长度的围栏，借助一面墙围矩形场地，求面积和边长的关系； 图形截去四周的边框，得到内部矩形的面积，求边框宽度。 解题技巧：不规则→规则，平移小道/边框，将分散图形拼接为整体； 规则图形：直接用面积公式（矩形、正方形、三角形）列方程； 不规则图形：割补/平移转化为规则图形，利用“总面积-空白面积=阴影面积”或“拼接后面积相等”； 常见模型：矩形内十字小道：长、宽，小道宽，草坪面积=； 边框问题：长、宽，边框宽，总面积=。 易错：小道宽度、边框宽度设为，注意长和宽均减2x（两边都有边框）。 专题01 解一元二次方程 ▌题型01 由一元二次方程的定义求参数 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【易错】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【典例1】（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． ▌题型02 由一元二次方程的解求参数/代数式的值 常用直接代入法或整体代入法求解 【典例】（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【变式1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【变式2】（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 【变式3】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． ▌题型03 选用合适的方法/指定方法解一元二次方程 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 【典例】（22-23八年级下·山东泰安·阶段检测）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【变式1】（25-26九年级上·广东茂名·期中）（1）解方程：；               （2） 解方程： 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·开学考试）按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·期中）（1） 解方程∶ （配方法）； （2） 解方程∶ （公式法）； （3）解方程∶ （因式分解法）； （4）已知是方程的一个实数根，求出方程的另一个根． ▌题型04 利用换元法解方程 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）利用换元法解方程． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【变式3】（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) ▌题型05 解含绝对值的一元二次方程 绝对值方程可以根据绝对值的意义进行分类讨论来解方程，也可以适当变形后，将含有绝对值的式子换元转化为一元二次方程求解. 【典例】（24-25九年级上·广东深圳·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； (1)请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； (2)解方程． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． ▌题型06 降次化解高次方程 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解. 【典例】（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段检测）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 【变式1】（22-23九年级上·吉林长春·期末）先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题： 解方程：． 解：方程左边分解因式，得 ， 解得，，． (1) 解方程：． (2) 解方程：． (3)方程的解为__________． 【变式2】（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． ▌题型07 升次突破无理方程 解无理方程的一般步骤：两边乘方，将无理方程化为整式方程；解整式方程；检验. 【典例】（25-26九年级上·吉林·期中）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： (1)若，则______． (2)解方程：． (3)直接写出的解． 【变式1】（25-26河南期中）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3） 运用“转化”的思想解方程：． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）转化思想是常用的数学思想之一，利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如下面的无理方程（根号下含有未知数的方程）． 解方程： 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 由上面解题思路可知，无理方程两边同时平方后可以转化为整式方程．而“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程必须验根．请你尝试解决以下问题： (1)解方程： (2)代数式的值能否等于9？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． ▌题型08 配方法的应用 组合出对应未知数的一元二次方程，然后对方程进行配方，最后根据非负性来求出最大值或者最小值. 【典例】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． ▌题型9 与解一元二次方程有关的新定义问题 【典例11】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 专题02 根的判别式与根与系数关系的应用 ▌题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【典例】（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 ▌题型02 判断含参方程根的情况 【典例】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． ▌题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 【典例】（2026·新疆喀什·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（     ） A．3 B． C．0 D．2 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式3】（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______ 【变式4】（25-26九年级下·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． ▌题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 【典例】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【变式3】（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． ▌题型05 根的判别式与函数综合 【典例】（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式2】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． ▌题型06 根的判别式与代数综合 【典例】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知实数满足，则的最大值为______． ▌题型07 利用根与系数的关系直接求解 【典例】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． ▌题型08 利用根与系数的关系降次求值 【典例】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设，是方程的两个根，那么的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 【变式4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． ▌题型09 利用根与系数的关系求参数 【典例】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【变式1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． ▌题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 同形式构造，即已知为一元二次方程的两根. 【典例】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【变式3】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． ▌题型11 根的判别式与根与系数综合 【典例】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． ▌题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 【典例】（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【变式3】已知关于的二次方程． （1）为何值时，方程有两个不同的正根； （2）为何值时，方程只有一个正根； 专题03 一元二次方程与实际问题 ▌题型01 数字问题 【典例】（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． ▌题型02 单/双循环问题 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 【典例】（26-27九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【变式3】（（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ ▌题型03 传播问题 传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 【典例】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3) 请继续完成本题的解答： ▌题型04 增长/下降率问题 【典例】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 【变式3】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． ▌题型05 销售利润问题 ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 【典例】（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【变式1】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． ▌题型06 面积有关的问题 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 【典例】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． ▌题型07 动态几何问题 【典例】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当_________时，的面积是面积的． ▌题型08 图形规律有关的问题 【典例】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【变式1】（安徽省芜湖2025-2026月考）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司第 3 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $秋季九上解析 第二十五章 专题01 解一元二次方程 ▌题型01 由一元二次方程的定义求参数 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【易错】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【典例1】（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，据此求解即可． 【详解】解：由方程 是一元二次方程， 得二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． ▌题型02 由一元二次方程的解求参数/代数式 常用直接代入法或整体代入法求解 【典例2】（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 【变式1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 【答案】2005 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 【变式3】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． ▌题型03 选用合适的方法/指定方法 解一元二次方程 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 【典例3】（22-23八年级下·山东泰安·阶段检测）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 【变式1】（25-26九年级上·广东茂名·期中）（1）解方程：；               （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴或 解得，． 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·开学考试）按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【变式3】（25-26九年级上·山东青岛·期中）（1） 解方程∶ （配方法）； （2） 解方程∶ （公式法）； （3）解方程∶ （因式分解法）； （4）已知是方程的一个实数根，求出方程的另一个根． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）先把方程转化为一般式，然后计算，再利用公式法解方程即可； （3）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （4）根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ； （3）解∶ ； （4）解∶ 设另外一个根为 ， 是方程 的一个实数根， 根据根与系数的关系，有∶ ， ，即，方程的另外一个实数根是 ． ▌题型04 利用换元法解方程 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． ▌题型05 解含绝对值的一元二次方程 绝对值方程可以根据绝对值的意义进行分类讨论来解方程，也可以适当变形后，将含有绝对值的式子换元转化为一元二次方程求解. 【典例】（24-25九年级上·广东深圳·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； (1)请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握分类讨论的思想，是解题的关键： （1）参照题干的方法，分类讨论解方程即可； （2）参照题干的方法，分类讨论解方程即可． 【详解】（1）解：当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； 当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； ∴这个方程的解是； 故答案为：； （2）解：当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； 当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； ∴方程的解为：． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：． 解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 总结：①解方程的过程中，设，用到了换元法，把看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程．根据学习笔记内容设，则原方程化为，进一步计算，求出方程的解即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得，（舍去）． 当时，， 解得，． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程解法、解含绝对值的方程． （1）参照例题方法，根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根； （2）根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． ▌题型06 降次化解高次方程 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解. 【典例7】（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段检测）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 【答案】 【分析】变形已知为，，把变形后的代数式代入要求值的代数式． 【详解】解：由可变形为，， ∴ ， 解方程得：， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·吉林长春·期末）先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题： 解方程：． 解：方程左边分解因式，得 ， 解得，，． (1)解方程：． (2)解方程：． (3)方程的解为__________． 【答案】(1)，，； (2)，，，； (3)，． 【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可； （3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得， 解，即， ∴，， ∴方程的解为：，，； （2）解：， ∴， ∴或 ∴，，，； （3）解：， ∴， ∴，即， ∴，，无实数解， 或，， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解 方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． 【答案】(1)平方差公式 (2)， (3)解不等式 【分析】本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． 【详解】（1）解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； （2）解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，． （3）解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴或， ∴或． ▌题型07 升次突破无理方程 解无理方程的一般步骤：两边乘方，将无理方程化为整式方程；解整式方程；检验. 【典例8】（25-26九年级上·吉林·期中）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： (1)若，则______． (2)解方程：． (3)直接写出的解． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了无理方程，解一元二次方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． （1）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （2）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （3）仿照材料中的解方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 两边平方去掉根号，得：， 解得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴， 故答案为：； （2）解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为； （3）解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：， 整理得， 即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为0． 【变式1】（25-26河南期中 ）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）转化思想是常用的数学思想之一，利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如下面的无理方程（根号下含有未知数的方程）． 解方程： 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 由上面解题思路可知，无理方程两边同时平方后可以转化为整式方程．而“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程必须验根．请你尝试解决以下问题： (1)解方程： (2)代数式的值能否等于9？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的拓展应用． （1）依照阅读材料中的方法求解； （2）假设，先移项得到，再两边平方，整理可得，两边再次平方可得此方程无实数根，可得的值不能等于9． 【详解】（1）解：两边平方，得， 移项，得， 解得，，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． （2）解：不能． 理由如下：假设 移项，得， 两边平方，得． 整理，得， 两边平方，得． ∵此方程无实数根（或该式子不成立） ∴代数式的值不能等于9． ▌题型09 配方法的应用 组合出对应未知数的一元二次方程，然后对方程进行配方，最后根据非负性来求出最大值或者最小值. 【典例10】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【变式2】（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． ▌题型10 与解一元二次方程有关的新定义问题 【典例】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】(1)②③ (2)的值是3或 (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 可得：； ②解方程， 可得：，； ③解方程， 可得：，； 其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根， 方程②③是“同伴方程”； 故答案为：②③； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：； 此时方程为， 可得，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是3或； （3）解：由条件可知方程的解是，， 方程可整理为 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （2）将整式进行配方，然后根据定义可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； 由题意得多项式， ∴多项式关于对称， ∵多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：1，； （2）解： ， ∴关于对称， 又∵关于对称， ∴． 专题02 根的判别式与根与系数关系的应用 ▌题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【典例1】（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； B、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； C、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根； D、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程根的判别式为，根据根的情况，当时，方程有实数根判断即可． 【详解】解：A、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得， 则原方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． ▌题型02 判断含参方程根的情况 【典例2】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【变式1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． ▌题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 【典例3】（2026·新疆喀什·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（     ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：由题可得，，，， ∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得． ∴k的值可以为3. 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 【变式3】（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 【变式4】（25-26九年级下·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程有实数根，利用判别式求出的取值范围，结合为非负整数及代数式有意义的条件，确定的值；再对代数式进行化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：关于的方程有实数根 ，即 解得：，   又为非负整数， 的值为：0，1，2， 根据代数式有意义的条件，有 ， ． ▌题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 【典例4】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 【变式2】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再整理方程因式分解得到两根，根据根和m都是整数，枚举可能的取值得到符合条件的m． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ ， 解得， ∵两根均为整数，为整数 ∴是的约数，即，， 当时，，为整数，符合要求， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，为整数，符合要求， ∴整数的值为或． 【变式3】（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． ▌题型05 根的判别式与函数综合 【典例5】（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式2】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一次函数的性质求出m的取值范围，结合选项筛选出符合条件的整数m． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴根的判别式 解得． ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴， 观察各选项，只有B符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 【答案】第四象限 【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，即 ， 解得， 对于一次函数 ， ∵， ∴ ，且， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． ▌题型06 根的判别式与代数综合 【典例6】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程． 由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】3 【分析】本题考查换元法的应用，一元二次方程根的判别式．设，则，代入并整理，得：，由题意可知该关于b的一元二次方程有解，则根据其根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 整理，得：． ∵存在实数a，b满足， ∴关于b的一元二次方程有解， ∴， ∴， 解得：， ∴，即的最大值为3． 故答案为：3． ▌题型07 利用根与系数的关系直接求解 【典例7】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ▌题型08 利用根与系数的关系降次求值 【典例8】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设，是方程的两个根，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 【答案】2030 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：2030． 【变式4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． 则 ． 代入 ，得 ． 原式 ． 由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ． ∴ 原式 ． 故答案为：． ▌题型09 利用根与系数的关系求参数 【典例9】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 【变式1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵， ∴或（无解）， 解得， ∴， 则． 故答案为0． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．由题意得，，而，得到，解出，而不满足，故舍． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：， ∵不满足，故舍去， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 同形式构造，即已知为一元二次方程的两根. 【典例10】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 【变式3】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． ▌题型11 根的判别式与根与系数综合 【典例11】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【答案】(1)证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 【典例12】（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则； （2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即． 【详解】（1）解：∵方程有实根， 若方程为一元二次方程，则， 即， 解得且； 若方程为一元一次方程，则， 解得； 综上所述，； （2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足， 即， 解得且； 又∵方程有两个正实根， ∴， 即， 解不等式①得或, 解得或； 解不等式②得或， 解得或， 则不等式组的解集为或， 综上所述． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有实数根； （2）解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴，解得：， ∴的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 【变式3】（【新东方】数学csg003）已知关于的二次方程． （1）为何值时，方程有两个不同的正根； （2）为何值时，方程只有一个正根； 【答案】（1）2＜a＜；（2）． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可； （2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可． 【详解】解：(1)根据题意得，方程有两个不同的正根， ∴①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③， 解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜， 故当2＜a＜时，方程有两个不同的正根；； （2） Ⅰ当方程只且只有一个正根时， ∴①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③， 解①得：a=或a=﹣， 当a=时，满足②、③，而a=﹣不满足②，故舍去， 故当a=时，方程只有一个正根． Ⅱ当方程有一个正根，一个负根， 则①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：，解②得：-2＜a＜2， 即 Ⅲ当方程有一个正根，一个0， 则①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a＞0③ 解①得：，解②得： a=±2，由③a＞0 即a=2 综上所述： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键． 专题03 一元二次方程与实际问题 ▌题型01 数字问题 【典例1】（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． ▌题型02 单/双循环问题 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 【典例2】（26-27九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 【变式2】（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【变式3】（（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． ▌题型03 传播问题 传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 【典例3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【变式2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． ▌题型04 增长/下降率问题 【典例4】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 【答案】5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元，理由见解析 【分析】设月平均降价的百分率为x，根据题意得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：设月平均降价的百分率为x，根据题意得： ， 可得：， 所以， 因为． 答：5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元． 【变式3】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可 （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． ▌题型05 销售利润问题 ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 【典例5】（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 【变式1】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 函数关系是解决本题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． ▌题型06 面积有关的问题 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 【典例】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． （2）根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为； （2）解：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)围栏方案为矩形的长为，宽为（2）不能 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； （2）(2)整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． ▌题型07 动态几何问题 【典例10】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当_________时，的面积是面积的． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——动点问题、勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为， ，， ， 的面积是面积的， ， 解得． 故答案为：2． ▌题型08 图形规律有关的问题 【典例】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 【变式1】（安徽省芜湖市2025-2026月考）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【答案】(1)34 (2)的值为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，由图的序号与图形中的石子数量得到第5个图形有个石子，由此即可求解； （2）结合（1）中的数量关系得到第个图形有（个）石子，由此列式求解即可； （3）结合（2）中的数量关系方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形有6个石子，， 第2个图形有10个石子，， 第3个图形有16个石子，， 第4个图形有24个石子，， ∴第5个图形有个石子， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，第个图形有（个）石子， ∴，整理得，， 因式分解得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：不存在，理由如下， 根据题意得到，整理得，， ∵， ∴， ∵是无理数， ∴不存在某个图形有216个石子． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $