第4章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形初步单元，通过基础巩固与综合应用梯度设计，融合校园情境与空间观念，适配单元复习检测，提升几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|几何体识别、角平分线、方向角|结合校园场景（图书馆观测方向），考查空间观念| |填空题|4/20|钟面角、车票计数、七巧板面积|七巧板拼图体现文化传承，培养应用意识| |解答题|9/90|作图、线段中点、三角尺叠放、旋转综合|三角尺叠放探究角关系，发展推理能力；运动问题结合代数表达，强化模型意识|

第四章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 2．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 3．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 4．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 5．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 6．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 【详解】解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 7．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 8．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内直线相交的点的个数，根据题目中提供的条件得到规律是解题关键． 先根据两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……得到n条直线相交最多有个交点，再把代入即可求值． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 9．如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的数量关系，本题关键是利用角度的倍数关系与和差关系，通过设未知数消元，简化计算过程，进而求出目标角度差． 【详解】解：设． 由，可得． ，且， ． ， ． ， ． ， ． 故选：B 10．如图，点C，D在线段上，，线段的长度是线段长度的3倍，线段的长度比线段的长度少，则的长是（   ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差问题，根据题意判断各部分线段的长度是解题的关键． 由线段的长度比线段的长度少，即的长度为，由线段的长度是线段长度的3倍，可得的长度为的两倍，得出的长度为，结合，可得出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：∵线段的长度比线段的长度少， ∴的长度为， ∵线段的长度是线段长度的3倍， ∴的长度为， 则 ， ∵， ∴， 所以， 故选：B． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 【答案】 【分析】先计算时针每小时转动角度与分针每分钟转动角度，再分别计算4点45分时针和分针转过的总角度，作差得到所求夹角． 【详解】解：钟表一周为，共分12个大格，因此时针每小时转动角度为： 分针分钟转动一周，因此分针每分钟转动角度为： 4点分时，分针转过的总角度为 ． 时针转过的总角度为． 时针与分针的夹角为 ． 12．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 13．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 14．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）由度分秒的换算公式结合有理数混合运算即可解决． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．（8分）如图，已知点A和线段． (1)请按下列要求作图（不要求写作法）： ①作出直线，射线； ②延长，在的延长线上取点D，使，连接． (2)_______（请在横线上填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：①如图所示，直线，射线即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：由“两点之间线段最短”得，． 17．（8分）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 18．（8分）如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 19．（10分）把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由平分可得，根据角的和差即可求解； （2）根据角的和差即可求解； （3）根据余角的定义可知的余角为，进而根据已知结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）略； （3）解：∵的余角的4倍等于， ∴ ∵， ∴， 即， 解得：． 20．（10分）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 21．（12分）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 22．（12分）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 【答案】(1)10 (2)存在，2    (3)t的值为6或16 【分析】（1）根据题意求出a和b的值，进而即可求出线段的长； （2）由题意先解出x，再根据题意求出点在数轴上所对应的数； （3）根据题意先求出M、N初始位置对应数，再根据运动时间为t秒以及，建立关系式，并求出t值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为； （2）解：在线段上存在点D，使． ∵， ∴解得，即点C在数轴上对应的数为14． ∵点D在线段上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点D对应的数为2； （3）解：∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴M对应的数是，N对应的数是，即M、N初始位置对应的数分别为0，11． 又∵M在上，N在上， ∴可知M在0处向右，速度为6个单位/秒，N在11处向右，速度为5个单位/秒， ∴运动t秒后，M对应的数为：，N对应的数为：． ∵， ∴， 解得或． ∴t的值为6或16． 23．（14分）已知，，三点共线，点在直线下方，，直角三角板中． (1)将直角三角板如图①摆放，使在的内部且平分，求的度数． (2)将直角三角板如图②摆放，使在的内部，探究发现与的数量关系是：，请说明理由； (3)将直角三角板如图③摆放，使在射线上，若图中的线段按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转至第秒时，直线恰好平分锐角，直接写出的值． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质和角的和差关系进行计算即可； （2）用表示出和，然后作差即可； （3）设在旋转过程中，点的对应点为点，分为在内部和外部两种情况讨论，计算出对应的旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：设在旋转过程中，点的对应点为点， ①如图，当在内部时， 由题意可知，平分， ∴， ∵， ∴旋转的角度， ∵的旋转速度为每秒， ∴，解得； ②如图，当在外部时， 由题意可知，的反向延长线平分， ∴， ∵， ∴， ∴旋转的角度为， ∴，解得； 综上所述，的值为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 10 C C E D C B D C B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.127.5 12.20 13.6 14.97.5°或112.5或157.5°或172.5 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)12°23 (2)93°1136 【详解】(1)解：原式=27°77-30°108÷2 =27°77-15°54 =12°23. (2)解：原式=69°159+105°160180÷5 =71°39+21°3236 =93°1136. 16.【答案】(1)见解析 (2)> 【详解】(1)解：①如图所示，直线AB,射线AC即为所求： ②如图所示，AD即为所求； B (2)解：由“两点之间线段最短”得，AB+AD>BD 117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【答案】45 【详解】解：，OE平分∠BOD, ∴.∠1=∠DOE, .∠1：∠2=1：4，∠1+∠D0E+∠AOD=180°， .∠1=∠DOE= 1 ×180°=30°，∠B0C=∠2=180°-2×30°=120°， 1+1+4 ∴.∠C0E=∠C0B+∠1=120°+30°=150°， .OF平分∠COE, ∠B0F=32C0E=×150=75 ∴.∠BOF=∠E0F-∠1=75°-30°=45° 18.【答案】(1)4cm 2)14cm或26cm 【详解】(1)解：：点C为线段AB上的点， ∴.AB=AC+CB, .AC=12cm,CB=8cm, ∴.AB=12+8=20cm, .D、E分别是AC、AB的中点， .AD-AG=6cm,AE-AB=10cm, 2 .DE=AE-AD. .DE=10-6=4cm. (2)解：点M在直线AB上 ①当点M在点A、B之间时，如图， A D EC M B 由(1)可知AB=20cm,MB=6cm, .AB=AM+MB .'AM=AB-MB, .AM=20-6=14cm. ②当点M在直线AB延长线上时，如图， 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B M .AB=20cm,MB=6cm ∴.AM=AB+MB .AM=20+6=26cm. 综上所述，AM的长度为14cm或26cm. 19.【答案】(1)∠AOD+∠B0C=180° (2)解：∠AOD+∠BOC=180°，理由如下： .∠AOB=∠COD=90°， ∴.∠BOC+∠BOD=90°， ∴.∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=180°： 3)∠B0C=60: 【详解】(1)解：，∠AOB=∠COD=90°，OB平分∠COD, ∠B0C=∠0D- ∠C0D=45°， ∴.∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=180°： (2)略： (3)解：，∠BOC的余角的4倍等于∠AOD, ∴.∠AOD=490°-∠B0C .∠AOD+∠BOC=180°， ∴.∠AOD=180°-∠BOC, 即180°-∠B0C=490°-∠B0C, 解得：∠BOC=60, 20.【答案】(1)①CD=9cm: ②因为AP=20cm,AB=30cm, 所以BP=10cm,AC=20-2tcm, 所以DP=BP-DB=10-3tcm, 所以CD=DP+CP=(10-tcm, 所以AC=2CD 224cm或28cm 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)①由题意可知CP=2×1=2cm, DB=3×1=3cm. 因为AP=20cm,AB=30cm, 所以PB=AB-AP=10cm, 所以CD=CP+PB-DB=2+10-3=9cm」 ②略 (2)当t=4时， CP=2×4=8cm,DB=3×4=12cm. ①当点D在点C的右边时，如图， CD P B 因为CD=2cm, 所以CB=CD+DB=14cm, 所以AC=AB-CB=16cm, 所以AP=AC+CP=24cm: ②当点D在点C的左边时，如图， A DC PB 则有AD=AB-DB=18cm, 所以AP=AD+CD+CP=28cm, 综上所述，AP的长度为24cm或28cm. 21.【答案】(1)①55°，55°，35°；②∠ACE=∠BCD,∠ACB+∠ECD=180° (2)解：当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： .∠ACD=∠BCE=90°」 ∴.∠ACD+∠ECD=∠BCE+∠ECD, ∴.∠ACE=∠BCD, .∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=180 .∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB=360°， ∴.∠ACB+∠ECD=180°」 上述②中你发现的结论依然成立. 417 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①由题意可知，∠ACD=∠BCE=90°， .∠ACB=145°， ∴，∠ACE=∠ACB-∠BCE=145°-90°=55°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=145°-90°=55°， :.∠ECD=∠ACD-∠ACE=90°-55°=35°. ②∠ACE=∠BCD,∠ACB+∠ECD=180°.理由如下： .:'∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠BCE=∠BCD+∠ECD=90°， ∴.∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD ∴.∠ACE=∠BCD, ,∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD,∠BCD=∠BCE-∠ECD=90°-∠ECD, ∴.∠ACB=90°+90°-∠ECD=180°-∠ECD, .∠ACB+∠ECD=180°. (2)解：略 22.【答案】(1)10 (2)存在，2 (3)t的值为6或16 【详解】(1)解：“a+2P+b-8=0 ∴.a+2=0,b-8=0, a=-2,b=8, ∴线段AB的长为8--2=10： (2)解：在线段AB上存在点D,使AD+BD=三CD. 6 9w19*1, ∴.解得x=14,即点C在数轴上对应的数为14. 点D在线段AB上， .AD+BD=AB=10. AD+BD=5CD, 6 CD-10 .CD=12, 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .14-12=2,即点D对应的数为2： (3)解：：点M为线段AD的中点，点N为线段BC的中点， :M对应的数是-2+2=0，N对应的数是8+14=1Ⅱ，即MN初始位置对应的数分别为0,1 2 2 又，M在AD上，N在BC上， ∴.可知M在0处向右，速度为6个单位/秒，N在11处向右，速度为5个单位/秒， ∴.运动t秒后，M对应的数为：6t,N对应的数为：11+5t .MN=5, 六11+5t-6t=5 解得t=6或t=16 .∴.t的值为6或16. 23.【答案】(1)150° (2)理由见解析 (3120或50 【详解】(1)解：，∠BOC=60° .∠A0C=180°-∠B0C=120°， .OE平分∠AOC, ∠C0E=)A0C=60° .∠COD=∠COE+∠DOE=60°+90°=150°： (2)解：，∠BOC=∠COD+∠BOD=60°，∠DOE=∠BOE+∠BOD=90°， .∠COD=60°-∠BOD,∠BOE=90°-∠BOD .∠BOE-∠COD=90°-∠BOD-60°-∠BOD=30°： (3)解：设OD在旋转过程中，点D的对应点为点D, ①如图，当OD在∠BOC内部时， 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C 由题意可知，OD平分∠BOC, i∠B0D-号<B0C=30, .∠BOD=180°-∠D0E=90°， ∴.OD旋转的角度∠DOD=∠BOD+∠B0D=90°+30°=120°， OD的旋转速度为每秒6°， ∴.6t=120,解得t=20； ②如图，当OD在∠BOC外部时， D 、Dy 由题意可知，OD的反向延长线OF平分∠BOC, :∠BOF=号∠BOC=30°， 2 ,∠BOF=∠AOD, ∴.∠AOD=30 ∴.OD旋转的角度为∠B0D+∠AOB+∠AOD=90°+180°+30°=300°， ∴.6t=300,解得t=50: 综上所述，t的值为20或50. 717 第四章 几何图形初步（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 5．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 7．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 8．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，点C，D在线段上，，线段的长度是线段长度的3倍，线段的长度比线段的长度少，则的长是（   ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 12．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 13．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 14．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1)． (2)． 16．（8分）如图，已知点A和线段． (1)请按下列要求作图（不要求写作法）： ①作出直线，射线； ②延长，在的延长线上取点D，使，连接． (2)_______（请在横线上填“”“”或“”）． 17．（8分）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 18．（8分）如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 19．（10分）把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 20．（10分）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 21．（12分）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 22．（12分）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程的解，在线段上是否存在点D．使？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，求t的值． 23．（14分）已知，，三点共线，点在直线下方，，直角三角板中． (1)将直角三角板如图①摆放，使在的内部且平分，求的度数． (2)将直角三角板如图②摆放，使在的内部，探究发现与的数量关系是：，请说明理由； (3)将直角三角板如图③摆放，使在射线上，若图中的线段按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转至第秒时，直线恰好平分锐角，直接写出的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $