第14章 全等三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形单元复习，以文化传承（寒食清明活动、潍坊风筝）和生活应用（书架书籍、广告展板）为情境，融合推理能力与几何直观，适配单元强化训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形稳定性、全等判定（SSS/SAS）、角平分线性质|结合文化活动（题1）考稳定性，体现数学眼光| |填空题|4/20|全等测距离、动态几何（动点与全等）|题12以测量河宽考全等应用，培养应用意识| |解答题|9/90|全等证明、作图、综合探究（艺术装置几何问题）|题19以艺术装置融合等腰三角形与全等推理，发展数学思维；题22通过中线构造全等，强化模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 6 个 8 10 C C D C C C A C D Y 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.40 12.6 13.53°/53度 14.2或4 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)△ACD≌△AED,理由如下： .DE‖CB .∠AED=∠B, ,∠ACF=∠B, ∴.∠ACF=∠AED .AD平分∠CAF, .∠CAD=∠BAD, AD=AD ∴.△ACD≌△AED AAS: (2)10 【详解】(1)略 (2)解：.△ACD≌△AED,AC=8, ..AE=AC=8,CD=ED. .AF=5, .EF=AE-AF=8-5=3, .CF=7, 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，△g乙的周长为FD+DE+EF=FD+DC+EF=CF+EF=7+3=10 16.【答案】(1)证明：，∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE, 即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， BA=BC ∠ABD=∠CBE, BD=BE ∴.△ABD≌△CBE SAS, ..AD=CE, (215° 【详解】(1)略 (2)解：.∠ABC=30°，∠AFC=45°， ∴.∠BCF=45°-30°=15°， .△ABD≌△CBE ∴.∠EAB=∠BCF=15° 17.【答案】证明：(1)CD‖BE .∠ACD=∠CBE」 点C是AB的中点， ∴.AC=CB 在△ACD和△CBE中， AC=CB ∠ACD=∠CBE CD=BE ∴.△ACD≌△CBE SAS ∴.∠CAD=∠BCE .AD‖CE; (2)如图所示，△ABD即为所求： 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】略 18.【答案】(1) 解：，AD平分∠EDF, ∴.∠EDA=∠FDA, 在△ADE和△ADF中， DE=DF ∠EDA=∠FDA DA-DA ∴.△ADE≌△ADF SAS, ∴.∠EAD=∠FAD AD⊥BC,垂足为点O, ∴.∠AOB=∠AOC=90°， 在△ABO和△ACO中， ∠BAO=∠CAO AO=AO ∠AOB=∠AOC .△ABO≌△ACOASA, ..OB=OC: (2)1000cm2 【详解】(1)略： (2)解：根据题意，连接BD,CD, A B D 图② 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD⊥BC, Sa概BCc0A.SDBc0D. 2 .'S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD ∴Stwe-号BC0A+号BC0D-号BCOA+oDF号BcAD-×50×40-100lamL. 19.【答案】(1)证明：设BE、AC交于点Q, O A (图1) .∠CAB=∠EAF, .∴.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB ∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC ∠FAC=∠EAB AE=AF ∴.△FAC≌△EABSAS, ∴.BE=CF,∠EBA=∠ACF .∠CAB=90°， ∴.∠EBA+∠BQA=90° .∠BQA=∠CQE, ∴.∠ACF+∠CQE=90°， ∴.∠C0Q=180°-90°=90°， ∴BE⊥CF: (2)∠BOC=60° (3)a 【详解】(1)略 (2)解：设BE、AC交于点Q, 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图2) .'∠CAB=∠EAF, '.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB, .∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC ∠FAC=∠EAB AE=AF ∴.△FAC≌△EAB SAS, .∴.∠EBA=∠ACF .:∠BQA=∠CQE,∠FCA+∠BOC+∠CQ0=180°，∠EBA+∠BAC+∠BQA=180°， .∠BOC=∠CAB=60°： (3)解：.∠CAB=∠EAF, ∴.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB. ∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC FAC=∠EAB AE-AF ∴.△FAC≌△EAB SAS, ∴.∠EBA=∠ACF .∠BQA=∠CQE,∠FCA+∠BOC+∠CQO=180°，∠EBA+∠BAC+∠BQA=180°， .∴.∠BOC=∠CAB=a. 20.【答案】(1)10： 2)D,E分别是BC,AC边上的中点， ∴.AD,BE分别是△ABC的中线，AE=EC,BD=CD 如下图，连接CO, 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D C '.SAAE0=SACE0,S△ABE=S△CBE, .SAAOB=SABOC. 'BD=CD ∴.SAB0D=SAco0F 1 SBOC 2 ∴.SAA0B=2 SABOD. (3)证明：连接AF, A G D F ,D是BC边上的中点， ∴.BD=CD .S△ABD=S△ACD, ,AD平分四边形ABFG的面积， .S△ABD=Sg边形ADFG, .S△ACD=S四边形ADFG, SAAEG=SACEF. .E是AC边上的中点， ∴.AE=CE, SAAEF=SACEF .S△AEG=S△AEF, ∴.≥=FE 在△AEG和△CEF中， 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=CE, ∠AEG=∠CEF, =FE, ∴.△AEG≌△CEF SAS, ∴.∠GAE=∠ECF, .AG‖BC, 【详解】(1)解：D是BC边上的中点， ∴.BD=CD SAAD-SAACD= 号S4ABc=×20=10: (2)略； (3)略。 21.【答案】(1)AC=BD,理由如下： .∠AOB=∠COD: ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,∴.∠AOC=∠BOD, OA=OB 在△AOC和△BOD中，∠AOC=∠BOD, OC=OD .△AOC≌△BOD SAS, ..AC=BD (2)130° 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可得，△AOC≌△BOD SAS, ∴.∠OAC=∠OBD, 在△AOQ和△BPQ中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∴.∠BPQ=∠AOQ=50 ∴.∠APD=180°-∠BPQ=180°-50°=130°. 22.【答案】(1)B (2)2<AD<8 (3)BF=10 【详解】(1)解：，AD是BC边上的中线， 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CD=BD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=DE ∴，△ADC≌△EDB(SAS: (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, .4<AE<16, AD-号， 2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： D M 图2 .AE=EF,EF=6, .AC=AE+EC=6+4=10, .AD是△ABC的中线 .CD=BD, :在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB, AD=DM .△ADC≌△MDB(SAS), .BM=AC,∠CAD=∠M, .AE=EF, ∴.∠CAD=∠AFE, ,∠AFE=∠BFD, .∠BFD=∠CAD=∠M, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BF=BM=AC, 即BF=10. 23.【答案】(1)证明：，在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, .∴.△ABE≌△ADG SAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+DF,DG=BE, .'EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, ,∴.△AEF≌△AGFSSS, .∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: 2)解：∠EAF=180。-号∠DAB(形式不唯一). 理由：.∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, 又.'AB=AD,DG=BE, .△ADG≌△ABE SAS, ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+FD,DG=BE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF, AF=AF, ∴.△AEF≌△AGFSSS, .∠FAE=∠FAG, .:∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .∴.2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°， ∴.2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， :∠EAF=180-3<nAB. 【详解】(1)略 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 10/10 第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 2．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 5．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 6．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 7．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 8．如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象与轴，轴相交于点和点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，则斜边所在的直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 12．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 13．如图所示，，，，，，则__________． 14．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 16．（8分）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．（8分）（1）如图，点是的中点，，且．求证． （2）如图，已知．用直尺和圆规作，使，（点在的右侧）（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（8分）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 19．（10分）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 20．（10分）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 21．（12分）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 22．（12分）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 23．（14分）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】解：活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定， 其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 2．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 3．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 4．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 5．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 6．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 7．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 8．如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 10．如图，一次函数的图象与轴，轴相交于点和点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，则斜边所在的直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点、的坐标，根据等腰直角三角形的性质，以及通过构造全等三角形，即可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴相交于点和点， 令，则，解得， ∴， ∴； 令，则， ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形，且为斜边， ∴，． 如图，过点作轴于点， ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴斜边所在的直线与轴的交点坐标是． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 12．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 【答案】6 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴． 13．如图所示，，，，，，则__________． 【答案】/度 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 14．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 16．（8分）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（8分）（1）如图，点是的中点，，且．求证． （2）如图，已知．用直尺和圆规作，使，（点在的右侧）（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 证明：（1）∵ ∴， ∵点是的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，即为所求； 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，作三角形． （1）根据平行线的性质可得，根据中点的性质可得，根据证明得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）根据题意作，使，（点在的右侧），即可求解． 【详解】略 18．（8分）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 19．（10分）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 20．（10分）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； ∴. (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 21．（12分）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 22．（12分）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 23．（14分）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由： ，， ， 又 ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $