28.2.3 关于原点对称的点的坐标（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“关于原点对称的点的坐标”核心知识点，系统梳理点(x,y)关于原点对称的坐标规律为(-x,-y)，并通过对比表格明确与关于x轴、y轴对称的坐标变换差异，构建从特殊到一般的知识支架。 资料以分题型设计（求坐标、参数、判断对称等）和拓展新定义题型为特色，结合函数与几何综合应用，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过例题练习查漏补缺，强化知识应用。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章 旋转 28.2.3关于原点对称的点的坐标 课时目标 1.在平面直角坐标系中，探究关于原点对称的点的坐标变化规律，会写出已知点关 于原点对称点的坐标。 2理解关于原点对称的点的坐标特征：点（区，y)关于原点对称的点的坐标为(-x, 课标要点 -y),掌握坐标符号变化规律。 3.能够利用原点对称的坐标规律，画出一个图形关于原点对称的图形。 4结合中心对称性质，会进行简单坐标计算，区分关于x轴、y轴、原点对称的坐标 特点。 重点： 1.掌握平面直角坐标系内，关于原点对称的点的坐标变化规律。 2.已知点的坐标，能直接写出该点关于原点对称点的坐标。 3.利用坐标规律，画出简单多边形关于原点对称的图形。 学习重难点 难点： 1.区分点关于x轴对称、y轴对称、原点对称三种情况的坐标符号变化，避免记混。 2.在网格、坐标系综合题型中，结合中心对称性质求对应点坐标。 3结合几何图形，利用原点对称坐标特征解决简单综合计算问题。 清主线 课时内容导图 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①概念 平面直角坐标系中，点绕坐标原点旋转180得到对应点，即为关于原点对称的点 一一一一一一一一一一一一 ①要素：对称中心：坐标原点0(0,0)：旋转角180 | ②条件 3 坐标规律：点(x,y)关于原点对称点为(-×，y) 只有关于原点对称 才有这个公式 关于原点对称的点的坐标 ③实例：点(2，-3)关于原点对称点(-2,3) 性质： 性质1：横坐标、纵坐标同时变为原来的相反数 关于x轴对称： (x,y)—(x,y) ③性质 补充： 关于y轴对称：(x,y)一（x,y) 原点：坐标(0,0)，本小节的对称中心 解读 原点对称点：绕原点旋转180°互相重合的一对点 写出已知点关于原点对称点的坐标 识图 画出多边形关于原点对称的图形 区分x轴、y轴、原点三种对称变换 ④识图与计算应用 根据原点对称求点中的未知参数 计算 结合坐标系求线段长度 在网格坐标系完成中心对称作图 实际情境 多种对称变换混合的综合题型 理新知 教材全盘梳理 知识点 关于原点对称的点的坐标 一、 坐标规律（核心知识点） 在平面直角坐标系中，点P,y)关于原点O(0,O)对称的点记作P,则P'(x,y)。 口诀：关于原点对称，横、纵坐标都变相反数。 变换类型 原坐标 变换后坐标 变化规律 关于x轴对称 &,y) x, -y) 横坐标不变，纵坐标取反 关于y轴对称 &,y) (-x,y） 纵坐标不变，横坐标取反 2/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变换类型 原坐标 变换后坐标 变化规律 关于原点对称 &,y) (-x,-y) 横、纵坐标全部取相反数 随学随练 1.(25-26九年级上陕西安康期中)已知点P2,3,那么点P关于原点的对称点的坐标是() A.-3,-2 B.-2,-3 c.2,-3 D.-2,3 2.若点px,-6与点Q-26,y关于原点对称，则x+y等于（） A.V6 B.-26 c.-3V6 D.3V6 3.(2026广东深圳三模)如图，点B在反比例函数y=2X<0)的图象上，点C与点B关于原点对称，过 点B作BAy轴，交反比例函数y=K(X<0)于点A.连接AC,BC,若△ABC的面积为7，则k的值为 破疑难 核心素养拓展 拓展 关于原点对称的新定义题型（常考） 题型特征：题目给出全新名词（变换线段、黄金函数、黄金点、不动点等），条件包含两点关于原点对称，结 合坐标变换、平移、函数、方程，求最值、参数、判断结论正误。 核心基础：点&，y)关于原点对称点为(-x,y)。 整体通用解题步骤 第1步：拆解题目新定义，翻译成数学式子 把题干文字定义，翻译成坐标、等式。 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1看到“两点关于原点对称”：若A(X1,y1)与B(X1,y2)关于原点对称，则：X2=-X1,y2=-y1 易错点：横、纵坐标同时变号，只变一个符号是高频错误。 2.如果叠加平移、旋转：先做原点对称，再做平移；或者先平移再原点对称，严格按题目给的顺序，顺 序不能颠倒。 第3步：化简方程组，得到参数之间关系 有多个未知数，利用原点对称的坐标关系消元，得到参数等式或不等式。 如果给对称轴、取值范围、存在两个点等条件，再列出不等式，求参数范围。 第4步：结合几何/代数知识求解 分两类考法： 1.求最值（第5题类型） 得到动点坐标，转化成动点轨迹，再利用几何模型：两点之间线段最短、三角形三边关系求 PM-PN、PM+PN:最值。三角形三边关系：|PM-PN|≤MN,共线的时候取到最值。 2.判断结论、求参数取值 ①联立方程，化简得到参数等式： ②读清限制条件：“两个不同的点”→方程要有两个不相等实数根；判别式△>0： ③题目给范围（对称轴在x=2右侧）列出不等式： ④综合等式+不等式筛选正确结论/参数条件。 第5步：检验特殊限制条件 缸活学活用 1.(25-26九年级上.四川泸州期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点Px,y列，对于点P的“变换线 段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M,将点M分别向上平移2个单位长度，向右平移3个 单位长度得到点N,称线段MN为点P的“变换线段”.己知线段MN是点P的“变换线段”，则 PM-PN的最大值为 2.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关 于原点对称的两点叫做一对“黄金点”·若点A(1,m),B(n,-4)是关于x的“黄金函数” y=aX2+bx+ca≠0上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线x=2的右侧，有结论：①a+C=0 ②b=4;③-1<a<0.则以上结论正确的是 3.(25-26九年级下·安徽芜湖·自主招生)对于某一自变量为X的函数，若当X=X0时，其函数值也为Xo, 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则称点X,X为此函数的不动点，若函数y=3x+只的图象上有两个关于原点对称的不动点，则实数a,b x+b 应满足的条件为 通题型 解题能力构建 题型一求关于原点对称的点的坐标 ■例1如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B,C的坐标分别为2,1,6,1， ∠BAC=90°，AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△ABC关于点P成中心对称，则点A 关于原点对称的点的坐标为() A.-4,-5 B.-5,-4 c.4,5 D.4,3 ■对点练1-1.在平面直角坐标系中，点-5,2关于原点对称的点的坐标是() A.(5,2 B.-5,2 c.5,-2 D.-2,-5 ■对点练1-2.(25-26九年级下辽宁大连期末)在平面直角坐标系中，点P-1,2关于原点的对称点的坐 标为() A.-1,-2 B.1,-2 c.2,-1 D.-2,1 对点练1-3.(25-26八年级下.宁夏银川期末)如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若 A-1,2,则点C的坐标是() 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1,-2 B.-2,1 c.2,-1 D.-1,-2 题型二已知两点关于原点对称求参数 解题贴士 若点A(X1,y1)与点B(X2,y2)关于原点对称： 横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数 X1=-X2,y1=-y2 x1+X2y1+y2 等价：两点中点为原点 2’ 2 =0,0), 即：X1+X2=0,y1+y2=0(做题优先用这个等式，不容易符号出错) ■例2(25-26八年级下.山东滨州期末)已知点P(a,-5)与点Q(-4,b)关于原点对称，则a+b的值为 () A.-1 B.1 C.-9 D.9 ■对点练2-1.(25-26九年级上湖南长沙期末)在平面直角坐标系中，点Am,2与点B3,n关于原点对 称，则m+n=() A.-5 B.-1 C.1 D.5 ■对点练2-2.(25-26八年级下·全国·周测)在平面直角坐标系中，已知点A2a,a-b+1与点 Bb,a+1关于原点成中心对称，则a,b的值分别是() A.a=0,b=0 8.a-2b-1 c.a-2b=-1 06=1 ■对点练2-3.(25-26九年级上四川德阳期中)已知点P1a-1,1和P22,b-1关于原点对称，则 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b202s的值为() A.1 B.0 C.一1 D.-312025 题型三已知点所在的象限求参数的取值范围 解题贴士 1.写出对称之后点的坐标 关于x轴对称：(x,y)→(x,-y) 关于y轴对称：(x,y)→(-x,y) 关于原点对称：(x,y)一(-x,-y 注意代数式整体取相反数，务必添加括号，防止符号错误。 2.根据象限坐标符号特征列不等式组 x>0 {y>0:②第二象限： x<0 X<0 x>0 ①第一象限： y>0: ③第三象限： y<0 ④第四象限： y<0 3.分别解每一个不等式 4取两个不等式解集的公共部分，得到参数取值范围 5检验：在求出的范围任取一个数值代入原题，验证对称后的点是否在题目指定象限 ■例3(25-26九年级上云南昆明期中)已知点P(a+1,2a-3)关于原点的对称点在第三象限，则a的取 值范围是() A.a<-1 2 3 3 B.-1<a< C.- <a<1 D.a> 3 2 1对点练3-1.(25-26八年级下.贵州贵阳期中)已知点P(5a+2,3关于原点对称的点在第四象限，则a的 取值范围是() A.0< 5 B.a>- 2 c.a<- 2 D.a> 5 ■对点练3-2.(25-26九年级上河南商丘期末)在平面直角坐标系中，点P3m-2,1-m与点P关于原 点对称，且点P在第三象限，则m的取值范围是 7/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四判断两点是否关于原点对称 1例4(25-26八年级上河北邢台期末)现有点A1,-2,点B-1,2,点C-1,-2,点D1,2.则下 列说法正确的是() A.点A、B关于y轴对称 B.点A、D关于X轴对称 C.点A、C关于x轴对称 D.点B、C关于y轴对称 ■对点练41.（25-26九年级上云南德宏期末)下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（) A.-5,0与0,5 B.2,-1与-2,1 c.0,2与2,0 D.-2,-1与-2,1 Ⅱ对点练42.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)A-3,4和点B3,-4关于 对称. 题型五说出一个图形到另一个图形的变换过程 ■例5(25-26七年级下·江苏苏州期末)主题学习：探究图形变换之间的联系. (1)如图，在8×8方格纸中，大正方形的两条对角线a与b相交于点O.请在图中画出三角形①关于直线Q对 称的三角形②，再画出三角形②关于直线b对称的三角形③： (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由， 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练51.(25-26八年级下山西太原期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分 别为A3,4,B4,1,C1,2. VA l:y=1 B (1)将△ABC每个顶点纵坐标不变，横坐标乘-1，得到△A1BC1.其中点A,B,C的对应点分别是A1, B1,C1,请在图中画出△A1B1C1: 2△AB,C,与△A,B,C,关于直线1：y=1对称，其中点A'B,'C的对应点分别是A,'B,'C,请在 图中画出△A2B2C2: (3)△A,B,C,可以看作由△ABC经过一次变换得到的，请写出变换过程. 题型六按照图形的要求画出另一个图形 ■例6(25-26七年级下，湖北武汉期中)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为 A0,2B4,3,C1,0依次完成下列问题： y 4 3 B -5-4-3-2-101 C2345x 2 3 4 (1)直接写出三角形ABC的面积； (2)将线段AB先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A,B平移后的对应点分别为点D, 9/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E),画出平移后的线段DE并写出点D的坐标： (3)在点E的左侧画点F,连接EF,使EFCA且EF=CA; (4)连接DF,若三角形EDF是由三角形ABC经过某种变换后得到的图形，点A,B,C分别与点E,D,F 对应，观察对应点的坐标之间的关系.三角形ABC内任意一点M的坐标为a,b,点M经过这种变换后得 到点N,直接用含a,b的式子表示点N的坐标 ■对点练61.（25-26九年级上湖北荆州期中)如图，△ABC的各个顶点的坐标分别是 A-3,4,B-5,1,C-1,2, 6 B 6-54329123456 (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B,C1: (2)画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2. ■对点练62.(25-26八年级下辽宁沈阳期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分 别为A2,4,B1,1,C4,3. B 5-4-3-2-1012345 (1)将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A1BC1,请画出△A1B1C1,并 写出A,的坐标一：（点AB,C的对应点分别是点A:B,'C,) 10/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标；（点A,B,C的对应点 分别是点A2,B2,C2) (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形ABDC是平行四边形，点D的坐标为一 ■对点练63.（25-26九年级上河南洛阳期末)如图，已知在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为 A(3,4),B(4,2 (1)画出线段AB绕点B逆时针旋转90得到线段CB,连接点A、C得到△ABC: (2)在(1)的条件下，画出△ABC关于原点O对称的△就，点A、B、C的对应点分别是D、E、F: (3)在(2)的条件下，已知线段AB绕平面内的点P旋转一个特定的度数可与线段FE重合（其中点A对应点 F),请直接写出点P的坐标为 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1.若点Pm,m+3关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是() A.m<3 B.m<0 C.m>-3 D.-3<m<0 2.(2026浙江丽水模拟预测)在平面直角坐标系中，点Am,2与点B3,n关于原点成中心对称，则 () A.m=3,n=2 B.m=-3,n=-2 c.m=-3,n=2 D.m=3,n=-2 3.(2026湖北荆州.二模)如图，在平面直角坐标系中，口MNEF的两条对角线ME,NF相交于原点 O,MFx轴，点M的坐标是-2，m,点N的坐标是n,-3,则点E的坐标是() 11/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3,-2 B.-3,2 c.-2,3 D.2,-3 4.(2026内蒙古通辽.二模)将一次函数y=x+b的图象向下平移4个单位长度，若点A2,-4关于原点 的对称点落在平移后的函数图象上，则b的值为() A.-8 B.8 c.-10 D.10 5.(2026河北邯郸-模拟预测)如图，∠MON=90°，△ABC关于OM的对称图形是△A1B1C1, △A,B,C,关于ON的对称图形是△A,B,C,:则下列说法正确的是() M A.△A2B2C2可以由△ABC通过平移得到 B.△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称 C.△ABC与△A2B2C2关于∠MON的平分线成轴对称 D.△ABC与△A2B2C2关于直线ON成轴对称 6.(25-26九年级上-浙江嘉兴阶段检测)如图，菱形ABCD的对角线交于原点0，C23,-2将菱形 绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为() A.2,3 B.-23,2 C.-2,-23 D.23,-2 7.(25-26九年级上河北邢台期末)若点a+2,-3和点-1，b+2关于原点对称，a+b= 12/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下.宁夏银川·期末)在平面直角坐标系中，口ABCD的对角线的交点恰好与坐标系原点 重合，顶点A的坐标为2,3，那么，顶点C的坐标为 9。(25-26九年级下-新疆鸟鲁木齐开学考试)如图，一次函数y=ax(a为常数)与反比例函数y=k(k 为常数)的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为-2,3，则B点的坐标为 10.（25-26八年级下.全国·周测)已知点A2a-5,a-4关于原点对称的点为A,将点A向右平移3个 单位，再向下平移2个单位得到点A,点A在第四象限，那么Q的取值范围是 11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,3引，B(2,5,C4,2(每个方格的 边长均为1个单位长度)· 5-4-3-2-10 12345x 1)将△ABC平移，使点A移动到点A1,请画出△A1BC1: (2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2: 12.（25-26八年级下·福建泉州期末)阅读下列材料，完成相应的任务 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随 X的增大而减小.它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降.我们可以证明这一性质 的正确性 我们知道，要比较a,b两个数的大小，可以先求出它们的差a-b.若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则 a=b;若a-b>0,则a>b.反之也正确.根据这一事实，可以证明上述结论. 13/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设一次函数y=kx+b(k≠0，当自变量x分别取X1,x2的值，且x1<x2时，对应的函数值分别为 y=kX+b:y,=kX,+b它们的差为y,y=kX,+b)-kX+b=kXkx1=① 由假设 X1<X2可知，X2-X1>0,这样，我们就得到如下结论： I当k>0时，kx,-x>0即y2-y1>0:亦即y,>y,:也就是说，y随x的增大而增大， 当k<0时，kx,X<0:即y,-y<0亦即y,<y也就是说，y随x的增大而② 这就是一次函数的增减性。 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_；②】 2请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数y=k的增减性： X 3)试说明反比例函数y=kk0)的图象关于原点对称. ©素养提升 1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，点B,D在y轴上，AB交x轴于点 E,AF⊥X轴，垂足为F.若OB=3AF,OF=4,则以下结论不正确的是() VA A.AE平分∠OAF B.BD=6/2 C.点C的坐标为-4，-1 D.矩形ABCD的面积为24V2 2.(2026四川绵阳模拟预测)如图，4、B两点在反比例函数y=2的图象上，且小、B两点关于原点对 14/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称，AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N,连接BM,BN,则图中阴影部分的面积为() M A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026陕西榆林.二模)在平面直角坐标系中，直线y=x-3经过点A3,m,点A与点B关于原点O对 称，将直线y=x-3向上平移n个单位经过点B,则n的值为() A.4 B.8 C.3 D.6 4.(2025山东济南模拟预测)已知抛物线p:y=3×2+6ax-4a>0: 将抛物线P绕原点旋转180。得到 抛物线P,当1≤x≤3时，在抛物线P上任取一点M,设点M的纵坐标为，若m≤4，则α的取值范围是 () A.0<a≤2 B.0<as号 0.ox 5.(2025河南南阳三模)在平面直角坐标系中，边长为2的等边△AOP在第二象限，OA与x轴重合， 将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△AOP1,再作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到 △A2OP2,再将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3,再作△A3OP3关于原点O的中心对 称图形，得到△A,0P'此类推…，则点P的坐标是（） VA P(A) A.1,3 B.1,-3 c.2,0 D.{-2,0 15/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6。(25-26八年级下-浙江宁波期末)若二次函数y,=X2-4x+5与y,=-(X-mP+n的图象关于坐标原 点中心对称，则m+n的值为 7.(2026山西临汾三模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，△AOB是 边长为2的等边三角形，将△AOB以原点为中心作中心对称，得到△AOB,则点A的坐标是 8.(2026-山东青岛：二模)如图，菱形ABCD的对角线交于原点0'点D的坐标为23 2 将菱形绕原 点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时点D的坐标为 9.(25-26八年级下辽宁.期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A-1,4,B-4,2,C-3,5(每个方格的边长均为1个单位长度)· (1)若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1; (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2: 16/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)将△ABC进行平移得到△A3B3C3,若点A3的坐标为4,2，则点B3的坐标为 (4)若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标 品迁移创新 1.(25-26九年级上陕西安康期末)在平面直角坐标系中，矩形ABCD的位置如图所示，ABx轴，反 比例函数y= 三的图象经过点A、C,若点A、C关于原点对称，则矩形ABCD的面积为 2.如图，A是反比例函数y=2(x>0)的图象上的一个动点，作点A关于原点的对称点B,以AB为斜边 作等腰直角三角形ABC,若点C的坐标为m,n,则mn= 17/17 第二十八章 旋转 28.2.3关于原点对称的点的坐标 课标要点 1.在平面直角坐标系中，探究关于原点对称的点的坐标变化规律，会写出已知点关于原点对称点的坐标。 2.理解关于原点对称的点的坐标特征：点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(−x，−y)，掌握坐标符号变化规律。 3.能够利用原点对称的坐标规律，画出一个图形关于原点对称的图形。 4.结合中心对称性质，会进行简单坐标计算，区分关于x轴、y轴、原点对称的坐标特点。 学习重难点 重点： 1.掌握平面直角坐标系内，关于原点对称的点的坐标变化规律。 2.已知点的坐标，能直接写出该点关于原点对称点的坐标。 3.利用坐标规律，画出简单多边形关于原点对称的图形。 难点： 1.区分点关于x轴对称、y轴对称、原点对称三种情况的坐标符号变化，避免记混。 2.在网格、坐标系综合题型中，结合中心对称性质求对应点坐标。 3.结合几何图形，利用原点对称坐标特征解决简单综合计算问题。 知识点 关于原点对称的点的坐标 一、坐标规律(核心知识点) 在平面直角坐标系中，点P(x，y)关于原点O(0，0)对称的点记作P'，则P'(-x， -y)。 口诀：关于原点对称，横、纵坐标都变相反数。 变换类型 原坐标 变换后坐标 变化规律 关于x轴对称 (x，y) (x，−y) 横坐标不变，纵坐标取反 关于y轴对称 (x，y) (−x，y) 纵坐标不变，横坐标取反 关于原点对称 (x，y) (−x，−y) 横、纵坐标全部取相反数 随学随练 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 2．若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出x，y的值即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 3．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 拓展 关于原点对称的新定义题型（常考） 题型特征：题目给出全新名词(变换线段、黄金函数、黄金点、不动点等),条件包含两点关于原点对称，结合坐标变换、平移、函数、方程，求最值、参数、判断结论正误。 核心基础：点(x，y)关于原点对称点为(-x，-y)。 整体通用解题步骤 第1步：拆解题目新定义，翻译成数学式子 把题干文字定义，翻译成坐标、等式。 1.看到“两点关于原点对称”：若A(，)与B(，)关于原点对称，则： 易错点：横、纵坐标同时变号，只变一个符号是高频错误。 2. 如果叠加平移、旋转：先做原点对称，再做平移；或者先平移再原点对称，严格按题目给的顺序，顺序不能颠倒。 第3步：化简方程组，得到参数之间关系 有多个未知数，利用原点对称的坐标关系消元，得到参数等式或不等式。 如果给对称轴、取值范围、存在两个点等条件，再列出不等式，求参数范围。 第4步：结合几何/代数知识求解 分两类考法： 1.求最值(第5题类型) 得到动点坐标，转化成动点轨迹，再利用几何模型：两点之间线段最短、三角形三边关系求最值。三角形三边关系：，共线的时候取到最值。 2.判断结论、求参数取值 ①联立方程，化简得到参数等式； ②读清限制条件：“两个不同的点”→方程要有两个不相等实数根；判别式△>0； ③题目给范围(对称轴在x=2右侧)列出不等式； ④综合等式+不等式筛选正确结论/参数条件。 第5步：检验特殊限制条件 活学活用 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点P的“变换线段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M ，将点M 分别向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度得到点N，称线段为点P的“变换线段”．已知线段是点P的“变换线段”，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据题意正确表示出点M、点N的坐标，并用两点间的距离公式表示出、、的长，当点P、M、N共线且点M在线段上时，取得最大值，且最大值为的长度即可获解． 【详解】设点P的坐标为，则点M的坐标为，点N的坐标为． ∴， ． 由三角形的三边关系，得， 且当点P、M、N共线且点M在线段上时取等号， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对新定义的理解，关于原点对称后的点坐标表示和平移后的点坐标表示，三角形的三边关系以及两点间的距离坐标公式，正确理解题意是解题的关键． 2．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴位于直线的右侧，有结论：①；②；③．则以上结论正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②③． 3．（25-26九年级下·安徽芜湖·自主招生）对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为，则称点为此函数的不动点，若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，则实数a，b应满足的条件为_____． 【答案】，且 【分析】根据不动点的定义，令，可得关于的一元二次方程，又已知两不动点关于原点对称可知它们的纵坐标和横坐标各互为相反数，最后利用根与系数的关系确定a，b应满足的条件． 【详解】解：令， ∴，即， 设方程的两根为，，则两个不动点(,)，(,)， 由于它们关于原点对称， ∴，∴， 解得， 又∵， ∴， ∴， 因此满足的条件为：且，． 故答案为：且． 【点睛】此题考查了用一元二次方程根和系数的关系解决函数问题，解题的关键是要理解关于原点对称的点纵坐标和横坐标各互为相反数这个特征进行转化． 题型一 求关于原点对称的点的坐标 ▌例1如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． ▌对点练1-1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 点关于原点对称， 其对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． ▌对点练1-2．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是． 题型二 已知两点关于原点对称求参数 解题贴士 若点A(，)与点B(，)关于原点对称： 横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数 等价：两点中点为原点 即：， (做题优先用这个等式，不容易符号出错) ▌例2（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D ▌对点练2-3．（25-26九年级上·四川德阳·期中）已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，利用关于原点对称的点坐标关系，即对应坐标互为相反数，列方程求a和b，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：C． 题型三 已知点所在的象限求参数的取值范围 解题贴士 1.写出对称之后点的坐标 关于x轴对称： 关于y轴对称： 关于原点对称： 注意代数式整体取相反数，务必添加括号，防止符号错误。 2.根据象限坐标符号特征列不等式组 ①第一象限：；②第二象限：；③第三象限：；④第四象限： 3.分别解每一个不等式 4.取两个不等式解集的公共部分，得到参数取值范围 5.检验：在求出的范围任取一个数值代入原题，验证对称后的点是否在题目指定象限 ▌例3 （25-26九年级上·云南昆明·期中）已知点关于原点的对称点在第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点关于原点对称的知识，求不等式组的解集，掌握关于原点对称点的特点，不等式解集的方法是解题的关键． 根据点关于原点对称，则对称点的横、纵坐标变为原来点的相反数，且第三象限的点的符号为，再根据不等式解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，由此即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵对称点在第三象限， ∴，解得，， ∴， 故选：． ▌对点练3-1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 题型四 判断两点是否关于原点对称 ▌例4（25-26八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. ▌对点练4-1．（25-26九年级上·云南德宏·期末）下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． ▌对点练4-2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）和点关于______对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 题型五 说出一个图形到另一个图形的变换过程 ▌例5（25-26七年级下·江苏苏州·期末）主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练5-1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)可以看作由关于点对称得到 【分析】（1）根据题意，由题可知，，，再连线即可得； （2）利用对称画出即可； （3）根据图形的对称性可知可以看作由关于点对称得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型六 按照图形的要求画出另一个图形 ▌例6 （25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 【答案】(1) (2) 解：如图，线段即为所求； 点D的坐标为； (3) 解：如图，线段即为所求； (4)． 【分析】（1）利用网格图的特征解答即可； （2）根据平移的性质画出图形，即可； （3）根据平移的性质画出图形，即可； （4）根据中心对称图形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：三角形的面积； （2）略 （3）略 （4）解：先作三角形关于原点中心对称图形，再向左平移1个单位得到三角形， ∵M的坐标为， ∴点N的坐标为． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1) 即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线， ▌对点练6-2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． ▌对点练6-3．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1) 如图，线段、即为所求； (2) 如图，即为所求． (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 基础通关 1．若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于原点的对称点坐标，再根据第四象限内点的坐标符号列不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵ 该对称点位于第四象限， ∴ ，， 解，得， 解，得， ∴ ． 2．（2026·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，． 3．（2026·湖北荆州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点 轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，可求出点的横坐标是，结合点的坐标是，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的横坐标是， ∵平行轴，， ∴平行轴， ∵点的坐标是， ∴点的纵坐标是． ∴点的坐标是． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 5．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（    ） A．可以由通过平移得到 B．与关于点成中心对称 C．与关于的平分线成轴对称 D．与关于直线成轴对称 【答案】B 【分析】如图，设所在直线为轴，所在直线为轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．   【详解】解：设所在直线为轴，所在直线为轴，如图， ∵关于的对称图形是， ∴A与、B与、C与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∵关于的对称图形是， ∴与、与、与的横坐标相同，纵坐标互为相反数，   ∴A与、B与、C与的横坐标、纵坐标都互为相反数，  则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：与关于点成中心对称．   6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，菱形的对角线交于原点，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2026次旋转结束时，点在第二象限，和点的坐标一致，即可求解． 【详解】解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，， 旋转4次后回到原来的位置， ， 第2026次旋转结束时，点在第二象限，和点的坐标一致， ∵，菱形的对角线交于原点O， ∴ 故第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北邢台·期末）若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 8．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，的对角线的交点恰好与坐标系原点重合，顶点的坐标为，那么，顶点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】由平行四边形对角线交点与原点重合，可得点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标关系即可求出顶点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点与坐标原点重合， ∴原点是线段的中点， ∴点与点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴顶点的坐标为． 9．（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一次函数（为常数）与反比例函数（为常数）的图象相交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的中心对称性可知，交点A与B关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解∶∵一次函数（为常数）与反比例函数（为常数）的图象相交于、两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 10．（25-26八年级下·全国·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键． 根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即， 由于点在第四象限，故有 解不等式 得； 解不等式 得 所以的取值范围是 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）由点移动到点找出平移坐标变化规律，按此规律得出、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律求出点、、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到． 【详解】（1）解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； （2）解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较，两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，的值，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为 ________．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． 当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而________． 这就是一次函数的增减性． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：________；________； (2)请你试用一次函数增减性的说明方法，证明反比例函数的增减性； (3)试说明反比例函数的图象关于原点对称． 【答案】(1) ；减小； (2)证明：设，都是反比例函数图象上的点，不妨设， 则， ， ，， 当时，，即， ，也就是说随的增大而减小， 当时，，即， ，也就是说随的增大而增大； 同理可证明当时，满足当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 对于反比例函数（为常数，），当时，在每一象限内，随的增大而减小，当时，在每一象限内，随的增大而增大； (3)证明：设点在反比例函数的图象上，则有，点关于原点的对称点为， 在中，当时，， 在反比例函数的图象上， 对于图象上任意一点，其关于原点的对称点也在该函数的图象上， 反比例函数的图象关于原点对称． 【分析】根据题目给出的“作差法”，计算，通过判断差的符号来比较的大小，从而判断增减性； 设，都是反比例函数图象上的点，不妨设，根据题目给出的“作差法”，计算 ，通过符号来比较和大小，从而判断增减性； 设点在反比例函数的图象上，则有，点关于原点的对称点为，然后代入解析式即可． 【详解】（1）解：设一次函数，当自变量分别取，，且时，对应的函数值分别为，， 则， 由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （）当时，，即，亦即，也就是说，随的增大而增大； （）当时，，即，亦即，也就是说，随的增大而减小； 故答案为：，减小； （2）略； （3）略． 素养提升 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 3．（2026·陕西榆林·二模）在平面直角坐标系中，直线经过点，点与点关于原点对称，将直线向上平移个单位经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点在直线上求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点坐标，最后根据直线平移规律得到平移后解析式，代入点坐标即可求出的值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入，得， 即点坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， ∴点坐标为， ∵将直线向上平移个单位，平移后直线解析式为， 又∵平移后直线经过点， ∴把代入，得， 解得． 4．（2025·山东济南·模拟预测）已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．先求出抛物线的解析式为，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线P的顶点坐标为， ∵将抛物线P绕原点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为，开口方向与抛物线P相反， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ①若， 当时，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：， ∴； ②若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）； ③若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）， ∴综上所述，a的取值范围是． 故选：A． 5．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 (n大于1的整数)的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴ ． 故选：D． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 7．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 8．（2026·山东青岛·二模）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】/ 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 9．（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 迁移创新 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，轴，反比例函数的图象经过点A、C，若点A、C关于原点对称，则矩形的面积为____________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，设，则，根据矩形的性质可证明轴，则可得到，据此求出的长，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵点A、C关于原点对称， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，A是反比例函数的图象上的一个动点，作点A关于原点的对称点B，以为斜边作等腰直角三角形，若点C的坐标为，则______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴，作于点，作于点，设，则，证明，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵A是反比例函数的图象上的一个动点， ∴设， ∵作点A关于原点的对称点B， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， 过点作轴，作于点，作于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $