28.2.2 中心对称图形（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“中心对称图形”核心知识点，从定义（绕某点旋转180°与自身重合）出发，结合性质（对称点连线被对称中心平分），对比“两个图形成中心对称”的区别与联系，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料通过随学随练、题型分类（如网格补全中心对称图形）培养几何直观（数学眼光），对比辨析发展推理意识（数学思维），规律探索用中点坐标公式强化模型意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升应用能力。

第二十八章 旋转 28.2.2中心对称图形 课标要点 1.通过实例认识中心对称图形，能判断常见平面图形是否为中心对称图形，能找出中心对称图形的对称中心。 2.理解中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，掌握对称中心的含义。 3.掌握中心对称图形的性质：中心对称图形上每一对对称点所连线段都被对称中心平分。 4.能够区分两个图形成中心对称与中心对称图形，会利用概念识别图形，解决简单判断类问题。 学习重难点 重点： 1.认识中心对称图形，理解中心对称图形的定义，能找出图形的对称中心。 2.会识别常见的中心对称图形，掌握中心对称图形的性质。 3.能区分中心对称图形、轴对称图形，对图形对称性做基础判断。 难点： 1. 辨析“两个图形成中心对称”和“中心对称图形”的区别与联系。 2.准确判断较复杂图形是否是中心对称图形，避免混淆偶数边、奇数边正多边形的对称性。 3.在综合图形中同时区分轴对称、中心对称，灵活运用性质分析图形。 知识点 中心对称图形定义 一、中心对称图形定义 把一个图形绕平面内某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和它本身重合，这个图形叫做中心对称图形。 ·对称中心：旋转的定点。 注意：中心对称图形描述一个图形自身具备的特性。 2、 “两个图形成中心对称” 与 “中心对称图形” 对比 两个图形成中心对称 中心对称图形 对象 两个图形 一个图形 旋转180∘结果 与另一个图形重合 与自身重合 联系 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形；把中心对称图形分成两部分，这两部分成中心对称。 特别提醒 区分概念：中心对称 = 两个图形的关系；中心对称图形 = 一个图形自身属性；旋转必须是180°，旋转其它角度重合不算。 随学随练 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的有_________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了命题、轴对称图形、中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的定义和性质，逐个判断各命题的真假，统计正确命题的个数即可. 【详解】解：①中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，因此①错误； ②若轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则该图形绕两条对称轴的交点旋转180°后与自身重合，一定是中心对称图形，因此②正确； ③根据中心对称的性质，关于一点中心对称的两个图形全等，故关于某一点为中心对称的两个三角形全等，因此③正确； ④两个重合的图形把其中一个图形绕某点旋转后不一定能与另一个图形重合，例如平移得到的两个重合图形不是中心对称，因此④错误. 综上，正确的命题共个. 故答案为：． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 3．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中心对称的性质． （1）按照轴对称或中心对称的性质判断即可． （2）按照中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 知识点 中心对称图形性质（重点） 一、中心对称图形性质 1.图形上每一对对称点的连线，都被对称中心平分； 2.经过对称中心的任意一条直线，把该图形分成两个全等的部分。 二、常见中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆；正偶数边形是中心对称图形；正奇数边形(正三角形、正五边形)不是中心对称图形。 三、图形双重对称性辨析 部分图形既是轴对称图形，又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆。 特别提醒 1）过对称中心的直线分得两部分全等，但这两部分不一定成轴对称，只满足全等。 2）正三角形、等腰梯形是轴对称，但不是中心对称图形；不要误认为所有正多边形都是中心对称图形，只有边数为偶数才是。 随学随练 1．（2025·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点与对角线、的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数和正方形的结合，图形的中心对称性，解题时要熟练掌握并能灵活运用面积互补法求解是关键． 依据题意，利用面积互补法求解，图中阴影部分的面积恰好为正方形面积的一半，进而可以计算得解． 【详解】解：由图知有反比例函数与的图象和正方形，且正方形对角线的交点为点， 根据图形的中心对称性可知图中轴两侧的图形的面积是相等的， 正方形的面积阴影部分的面积， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在中，， ，若扇形与扇形关于点成中心对称，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键，将一个图形围绕某一个点旋转，能够与自身重合，则称该图形为中心对称图形，根据中心对称得扇形的面积与扇形的面积相等，从而即可得解。 【详解】解：∵扇形与扇形关于点中心对称， ∴扇形的面积与扇形的面积相等， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … ■ 4 2 1 … … m ■ 4 2 1 … (1)m = _________． (2)请画出函数 的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y 随 x 的增大而___________；（填“增大 ”或“减小 ”）②图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2) 解：图象如下： (3)①减小；② 【分析】本题考查了类似于反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线画图及数形结合得到函数性质． （1）把代入中即可求解； （2）描点、连线，用光滑的曲线连接起来即可； （3）观察图象并结合表格即可完成． 【详解】（1）解：当时，， 即； 故答案为：； （2）略 （3）解：①观察图象并结合表格知，当时，y 随 x 的增大而减小； 故答案为：减小； ②图象关于点成中心对称． 故答案为：． 拓展 中心对称图形中规律探索问题（常考） 题型特征：点按顺序依次关于若干个定点做中心对称跳动/旋转180°得到新点，求第n个点坐标；或抛物线、图形多次旋转180°，求第n个图形解析式、顶点坐标。 核心工具：中点坐标公式 若两点(，)、(，)关于点(，)中心对称，则对称中心是两点中点： 变形求对称点： 活学活用 1．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 题型一 中心对称图形的识别 ▌例1（2026年黑龙江大庆市中考数学试题）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． ▌对点练1-1．（2026·山东临沂·二模）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个分析选项． 【详解】解：A、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形； B、既可以找到对称轴对折重合，绕中心旋转也和原图重合，即是轴对称，又是中心对称图形； C、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形． ▌对点练1-2．（2026·湖南娄底·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 题型二 判断中心对称图形的对称中心 解题贴士 方法1：观察法(规则几何图形) ①平行四边形、矩形、菱形、正方形：两条对角线的交点就是对称中心。 ②圆：圆心是对称中心。 方法2：对应点连线法(通用，不规则中心对称图形、网格图形) 原理：中心对称图形上，每一组对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 解题步骤： 1.在图形上找一对旋转180°能够互相重合的对应点； 2.再找另外一组这样的对应点； 3.分别连接两组对应点； 4.两条线段的交点，就是对称中心。 5.验证：取第三组对应点连线，也必须经过这个交点，验证结果。 ▌例2 （25-26九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． ▌对点练2-1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可． 【详解】解：由图可知，与关于成中心对称，设， ， 解得， ． 故选：C． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 题型三 在方格子上补图形使得成为中心对称图形 ▌例3 （25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． (1)在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； (2)在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 【答案】(1) 四边形即为所求； (2) 四边形即为所求． 【分析】（1）根据题意，画底为2，高为3的平行四边形即可； （2）根据题意，画边长为的正方形即可． 【详解】（1）略． （2）略． ▌对点练3-1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【详解】（1）略； （2）略． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分： (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） (2)若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的设计，求阴影部分面积，熟知中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． （2）阴影部分的面积等于一个半径为2，圆心角度数为90度的扇形面积减去一个直角边长为2的等腰直角三角形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴图②中阴影部分的面积为 ▌对点练3-3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1) 解：由题意，设计图形如下： (2) 由题意，设计图形如下： (3) 由题意，设计图形如下： 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，熟练掌握周对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义，设计图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，设计图形即可； （3）根据中心对称图形的定义，设计图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型四 中心对称图形在格子中的应用 ▌例4 （25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；（点、、的对应点分别为点、、） (2)画出关于原点对称的，并指出与是否关于轴对称．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1) 即为所求： (2) 即为所求： 与关于轴对称 【分析】本题主要考查了轴对称作图，画中心对称图形，轴对称图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别作出点关于轴对称的点、、，再顺次连接即可； （2）分别作出点、、关于原点对称的点、、，顺次连接即可得到，再由坐标特征即可判断． 【详解】（1）略 （2）解：由对称可得：，，；，，， ∵，， ∴与关于轴对称． ▌对点练4-1．（25-26八年级下·广西贵港·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移4个单位得到，画出，点的坐标为（___，___），点的坐标为（___，___）； (2)画出关于原点对称的； (3)点，之间的距离是______． 【答案】(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3) 【分析】本题主要考查图形的平移、画中心对称图形，两点间距离公式； （1）先描出点A，B，C的对应点，然后依次连接各点即可，根据点，的位置写出坐标即可； （2）根据中心对称的性质得到点A，B，C的对应点，然后依次连接各点即可得到； （3）根据勾股定理计算解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． (1)绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)选择点为对称中心，画出与关于点对称的； (3)在轴上画出点，使得最小． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求； (3) 如图，点P即为所求作． 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转，轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分别确定关于点对称的对称点，再顺次连接即可； （3）作关于轴对称的对称点，连接与轴交于点点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌对点练4-3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； (2)将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为_______． (4)画出关于点O的中心对称图形； 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) (4) 解：如图，即为所求； 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，中心对称等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （4）分别确定关于点O的对称点，再顺次连接即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． （4）略 基础通关 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； C选项是中心对称图形而不是轴对称图形； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形． 2．（2026·上海·模拟预测）下列命题中的真命题是（     ） A．关于中心对称的两个图形全等 B．全等的两个图形是中心对称图形 C．中心对称图形都是轴对称图形 D．轴对称图形都是中心对称图形 【答案】A 【分析】根据中心对称和轴对称的定义与性质，逐个判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：选项A，∵关于中心对称的两个图形旋转后能完全重合， ∴两个图形全等，该命题为真命题； 选项B，全等的两个图形不一定是中心对称图形，例如两个随意摆放的全等三角形不一定成中心对称，该命题为假命题； 选项C，∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴中心对称图形都是轴对称图形的命题为假命题； 选项D，∵正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形， ∴轴对称图形都是中心对称图形的命题为假命题． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花6、红桃7）放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是（     ） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【分析】认真观察和思考发现，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形． 【详解】解：图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形， 而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． 对于选项A，当时，，∴图象经过点，不经过点，故A错误． 对于选项B，时，仅在每个象限内的值随值的增大而增大，选项未限定象限，故B错误． 对于选项C，∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故C错误． 对于选项D，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，故D正确． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 6．（25-26九年级下·上海·期中）从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别、树状图法求概率．识别中心对称图形和运用概率公式计算是解题的关键．判断四个图形中有几个中心对称图形，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：四个图形中有平行四边形，圆两个中心对称图形， 将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆用表示， 画树状图如下： 则共有16种等可能的结果，两次抽出的图形均为中心对称图形的情况有4种， ∴两次抽出的均为中心对称图形的概率为． 故选：A． 7．（2025·上海普陀·二模）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（   ） A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解． 【详解】解：这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形， 拼成的正多边形的边数为奇数， A、顶角是的等腰三角形，则底角为， 可能拼成的正多边形的内角为或，但无法对应奇数边正多边形的内角，故该选项不符合题意； B、顶角是的等腰三角形，可拼成正方形，但正方形是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意； D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 9．有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④有一个锐角是的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 其中正确命题的序号是___________．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据中心对称图形与轴对称图形的定义并结合矩形、平行四边形、等腰梯形、直角三角形的相关性质逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①矩形沿其对边中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以矩形是轴对称图形，有两条对称轴；矩形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以矩形是中心对称图形；故①正确； ②平行四边形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以平行四边形是中心对称图形；一般的平行四边形（非矩形、菱形）沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形；故②正确； ③等腰梯形沿其上下底中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；等腰梯形绕任何一点旋转后，都不能与原来的图形重合，所以等腰梯形不是中心对称图形；故③正确； ④有一个锐角是的直角三角形，其三边长度不相等，沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形；该直角三角形绕任何一点旋转后都不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________．（将对应字母填在横线上） (2)假设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是________，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是________，则花瓣图形仅是轴对称图形．（填“奇数”或“偶数”） 【答案】(1)A、B、C、D、E；A、C、E (2)偶数；奇数． 【分析】（1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义即可解答； （2）利用轴对称图形和中心对称图形的性质得出规律即可． 【详解】（1）解：在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有A、B、C、D、E，是中心对称图形的有A、C、E； （2）解：若花瓣的个数是偶数，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 11．（25-26八年级下·山西晋中·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是 ． (2)将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的． (3)连接，，则为 三角形，面积为 ． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； (3)等腰；3 【分析】（1）连接交于点，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∴对称中心的坐标是； （2）略 （3）解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴为等腰三角形， 的面积为． 素养提升 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，若旋转后的图形与原图形关于某点中心对称，则对应线段平行且相等。结合等边三角形的性质，验证时，旋转后的三角形与原三角形是否构成平行四边形即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， 当时，点绕点顺时针旋转， ∵且， ∴点的对应点与点重合点的对应点为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与(即)关于对角线的中点成中心对称， 故符合题意． 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，为对角线的中点，点，分别从点和同时出发，在边和上匀速运动，并且同时到达终点，，连接，并延长分别与，交于点，．在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是（     ） A．四边形是矩形 B． C．与成中心对称 D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质证明，可得，，同理可得：，证明四边形为平行四边形，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵是动点，是变化的，不一定相等， ∴四边形不一定是矩形，A符合题意； ∵， ∴， ∴与成中心对称，故B，C不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意． 3．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先需要明确平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，据此逐项验证即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形， ∵，， 选项A：当点D的坐标为时，连接点A、B、C、D，则该四边形无法构成平行四边形，因此不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、当点D的坐标为时，点A、B、D的横坐标均为，则这三点在同一条直线上，无法构成四边形，故B不符合题意； 选项C、当点D的坐标为时， 线段在直线上，且，线段在直线上，且， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， 、， 平行四边形不是菱形，也不是矩形、正方形， 该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、当点D的坐标为时， 同理可得：四边形是平行四边形， 、， ， 平行四边形是矩形， 该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 4．（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中心对称性，确定为及中点，过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出长，进而求出长； 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图1，在等边中，，，相交于点M，并将其分割成四块①，②，③，④．如图2，将①，②，③通过中心对称或平移变换，拼成，则______．当A是中点时，的周长是______． 【答案】 【分析】由题意得，图1分割成的①③通过中心对称变换成图2中的①③，图1分割成的②通过平移变换变换成图2中的②，，，，即可求出；当A是中点时，得，易得，，，因此，取的中点，连接，得出是的中位线，求出，，同时判定是等边三角形，，进而判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：图1分割成的①②③通过中心对称或平移变换成图2中的①②③， ，，， ， ，等边中， ； 当A是中点时，得， 图1分割成的①通过中心对称变换成图2中的①， ，， 图1分割成的③通过中心对称变换成图2中的③， ，， 图1分割成的②通过平移变换变换成图2中的②， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，取的中点，连接， ，是的中点，， ，，， ， 在中，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 连接，，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， 图1分割成的②通过平移变换变换成图2中的②， ， 图1分割成的①通过中心对称变换成图2中的①， ，， ， ， 平行四边形是菱形， 菱形的周长是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查中心对称和平移变换、三角形中位线的判定和性质、利用勾股定理解三角形、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握以上知识点、构造适当的辅助线是解题的关键． 迁移创新 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． （2）解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ② 略 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【答案】(1) (2) 这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； （2）解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章 旋转 28.2.2中心对称图形 课时目标 1.通过实例认识中心对称图形，能判断常见平面图形是否为中心对称图形，能找出 中心对称图形的对称中心。 2.理解中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，掌握对称中心的含义。 课标要点 3.掌握中心对称图形的性质：中心对称图形上每一对对称点所连线段都被对称中心 平分。 4能够区分两个图形成中心对称与中心对称图形，会利用概念识别图形，解决简单 判断类问题。 重点： 1.认识中心对称图形，理解中心对称图形的定义，能找出图形的对称中心。 2.会识别常见的中心对称图形，掌握中心对称图形的性质。 3.能区分中心对称图形、轴对称图形，对图形对称性做基础判断。 学习重难点 难点： 1.辨析“两个图形成中心对称”和“中心对称图形”的区别与联系。 2准确判断较复杂图形是否是中心对称图形，避免混淆偶数边、奇数边正多边形的 对称性。 3.在综合图形中同时区分轴对称、中心对称，灵活运用性质分析图形。 清主线 课时内容导图 1/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①概念 把一个图形绕平面内某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来图形重合，这个图 形叫做中心对称图形 0 要素：对称中心、旋转角(180) ②条件 ②对象：同一个图形自身，不是两个独立图形 实例：平行四边形、矩形 菱形、圆、正偶数边形 ③特点：只改变图形位置，不改变图形形状、大小 中心对称图形 性质1： 。 图形上每一组对称点所连线段都被对称中心平分 日性质 补充： 利用性质求线段长度 对称中心：图形旋转180°的定点 解读 对称点：图形内部旋转后互相配对重合的点 判断图形是否是中心对称图形，找出对称中心 识图 区分：中心对称图形、轴对称图形 辨析：两个图形成中心对称VS中心对称图形 ④识图与计算应用 计算 根据对称性求线段长度、角度大小 实际情境 判断几何图形、图案、汉字的对称性 理新知 教材全盘梳理 知识点 中心对称图形定义 一、 中心对称图形定义 把一个图形绕平面内某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和它本身重合，这个图形叫做中心对称图形。 对称中心：旋转的定点。 注意：中心对称图形描述一个图形自身具备的特性。 二、 “两个图形成中心对称”与“中心对称图形”对比 两个图形成中心对称 中心对称图形 对象 两个图形 一个图形 2/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别提醒 区分概念：中心对称=两个图形的关系：中心对称图形=一个图形自身属性：旋转必须 是180°，旋转其它角度重合不算。 两个图形成中心对称 中心对称图形 旋转180o 与另一个图形重合 与自身重合 结果 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形：把中心对称 联系 图形分成两部分，这两部分成中心对称。 随学随练 1.（25-26八年级上·安徽准北阶段检测)给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条 互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两 个重合的图形一定为中心对称.其中正确的有 个. 2.（25-26七年级下·江苏扬州期末)如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数 为 3.如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： 图① 图② 图③ (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是 图形（填“轴对称”或“中心对称”) (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征， 知识点 中心对称图形性质（重点) 一、中心对称图形性质 1.图形上每一对对称点的连线，都被对称中心平分； 2经过对称中心的任意一条直线，把该图形分成两个全等的部分。 二、常见中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆：正偶数边形是中心对称图形；正奇数边形（正三角形、正五边形 不是中心对称图形。 三、图形双重对称性辨析 部分图形既是轴对称图形，又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆。 4/20 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别提醒 1)过对称中心的直线分得两部分全等，但这两部分不一定成轴对称，只满足全等。 2)正三角形、等腰梯形是轴对称，但不是中心对称图形；不要误认为所有正多边形都是中心对称图形， 只有边数为偶数才是。 随学随练 1.(2025福建莆田模拟预测)在平面直角坐标系中，有反比例函数y=1与y=-上的图象和正方形 X ABCD,原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为9，则AB= 2.(25-26八年级下江西南昌单元测试)如图，在Rt△ABC中，AC=4,BC=43,若扇形ACE与 扇形BDE关于点E成中心对称，则图中阴影部分的面积为 D B B,2526九年级上福建造州阶段检测D参照学习函数y的过程与方法，探究函数y)x≠2 的图象与性质 -2 32 5 -1 0 2 1 3 4 5 6 2 3 -1 -2 4 ■ 4 2 1 3 4-5 2-3 47 1-2 2-5 1 y= 1 2 -1 -2 -4 2 4 2 1 4 2 3 3 1 3 2 5/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 4 3 ● 6-5-4-5-2-1123456 ● 3 -6升 (1)7u= )请画出函数y三，乙)x≠2]的图象 3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<2时，y随x的增大而」 (填“增大”或 “减小”)②图象关于点 中心对称.（填点的坐标） 破疑难 核心素养拓展 拓展 中心对称图形中规律探索问题（常考） 题型特征：点按顺序依次关于若干个定点做中心对称跳动/旋转180°得到新点，求第个点坐标；或抛物线、 图形多次旋转180°，求第n个图形解析式、顶点坐标。 核心工具：中点坐标公式 若两点（心1，y)、(X,y2)关于点(Q,b)中心对称，则对称中心是两点中点： a=Xi+X2,b=yi+y2 2 2 变形求对称点：X2=2a-X1,y2=2b-y1 活学活用 1.(25-26七年级下：贵州遵义：期中)已知点Ex,y,Fx,y,?点MX1,y,是线段EF的中点，则 _X0+X2 y0+y2 X1 2，y1 在平面直角坐标系中有三个点A1,-1,B-1,-1,C0,1,点P(0,2关于 2 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A的对称点为P1(即P,A,P1三点共线，且PA=P1A),P1关于B的对称点为P2,P2关于C的对称点为 P3,按此规律继续以A,B,C为对称点重复前面的操作，依次得到P4,P5,P6,…,则点P2o2的坐标是 () A.0,0 B.0,2 c.2,-4 D.-4,2 2.(25-26八年级上山东济南期末)在平面直角坐标系中，点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A, 另取两点B(-1,2),C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A,B,C的循环对称跳动，即 第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于 点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，·，则点P2o19的坐标为(). y B A.-1,1 B.-1,-1 c.2,0 D.-4,1 3.(25-26九年级上河北保定期中)如图，一段抛物线y=-xx-1川0≤x≤1记为m1,它与x轴的交点 为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得 m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去，直至得到mn.当n为偶数时，抛物线mn的表达式为 P m A A2 A 1m2 P2 通题型 解题能力构建 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一中心对称图形的识别 ■例1(2026年黑龙江大庆市中考数学试题)中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥.如图中的图案既是 轴对称图形又是中心对称图形的是( $光胸 ■对点练1-1.(2026山东临沂.二模) 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含 着丰富的文化内涵和美学价值.下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() 雨↓ ■对点练1-2.(2026湖南娄底模拟预测)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是() .% 题型二判断中心对称图形的对称中心 8/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 方法1：观察法（规则几何图形） ①平行四边形、矩形、菱形、正方形：两条对角线的交点就是对称中心。 ②圆：圆心是对称中心。 方法2：对应点连线法（通用，不规则中心对称图形、网格图形） 原理：中心对称图形上，每一组对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 解题步骤： 1.在图形上找一对旋转180°能够互相重合的对应点； 2.再找另外一组这样的对应点： 3.分别连接两组对应点： 4.两条线段的交点，就是对称中心。 5验证：取第三组对应点连线，也必须经过这个交点，验证结果。 ■例2(25-26九年级上广西河池期中)如图，矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，则该点为() B E A.点C B.点D C.线段EF的中点 D.线段CD的中点 ■对点练2-1.(2026山东青岛·模拟预测)如图，把△ABC经过一定的变换得到△ABC,,如果 △ABC上的点P的坐标为a,b,那么它的对应点P的坐标为() 0 B A.a-3,b B.a+3,b c.3-a,-b D.a-3,-b 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练2-2.（25-26九年级上·辽宁盘锦阶段检测)如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中， △ABC与△A1B,C1的顶点都在格点上，且△ABC与△A1BC1关于点E成中心对称，则对称中心点E 的坐标是 -2 B 2 =3 B 题型三在方格子上补图形使得成为中心对称图形 ■例3(25-26八年级下·吉林长春.期末)图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列 要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上 B B 图① 图② (1)在图①中作四边形ABCD,使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且S四边形ABCD=6: (2)在图②中作四边形ABEF,使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且S四边形ABEF=10 ■对点练31.(25-26八年级下浙江宁波期末)如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中 有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影， 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合： (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转120°后能与自身重合， ■对点练32.(25-26九年级上山东济宁期末)图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉， 要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案.下面是三种不同设计方案中的一部分： 图① 图② 图③ (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴：把图③补成只是中心对 称图形，并把中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花 卉.) (2)若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积。 ■对点练33.(25-26七年级下江苏苏州期中)阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线 是正方形的对称轴 图1 图2 图3 图4 图5 11/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法. (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形： (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形. 题型四中心对称图形在格子中的应用 ■例4(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A-1,1,B-2,4,C-5,2. y 5 3 1 -5-4-3-2-10 1 2345x 1 5 (1)画出△ABC关于x轴对称的△AB1C1:(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1) (2)画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2,并指出△ABC与△A2B2C2是否关于y轴对称.（点A1、 B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2) ■对点练41.（25-26八年级下广西贵港期末)在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长 为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是-3，-1. 12/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)将△ABC沿y轴正方向平移4个单位得到△A1BC1,画出△A1BC1,点B1的坐标为（一，）， 点c的坐标为（一，一）： (2)画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2: (3)点C,C2之间的距离是· ■对点练42.(25-26九年级上广西钦州期中)如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A,B的坐标 分别是A3,2,B1,3. 四△A0B绕点0顺时针旋转g0。后得到△A,0B,:请画出△A10B,: (2)选择点O为对称中心，画出与△AOB关于点O对称的△A2OB2: (3)在y轴上画出点P,使得PA+PB最小. ■对点练43.（25-26八年级下河南郑州期中)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.（每个 小方格都是边长为1个单位长度的正方形)· (1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1BC1: (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2. 13/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)△AB,C,可看作由△A,B,C,绕P点旋转而成，点P坐标为 (4)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A3B3C3: 刷好题 课时巩固精炼 心基础通关 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ②装 2.(2026上海模拟预测)下列命题中的真命题是() A.关于中心对称的两个图形全等 B.全等的两个图形是中心对称图形 C.中心对称图形都是轴对称图形 D.轴对称图形都是中心对称图形 3.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌（方块4、黑桃5、梅花 6、红桃7)放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°.魔术师解除蒙具后， 看到4张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，这一张牌是() (1) (2) A.方块4 B.黑桃5 C.梅花6 D.红桃7 4.(25-26八年级下山东济南·期末)关于反比例函数y=-二的图象和性质，下列说法正确的是() A.图象经过点1,2 B.y的值随x值的增大而增大 C.图象位于一、三象限 D.图象关于原点中心对称 5.(25-26八年级下.广东深圳期末)图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1,2， 3,4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则 这个正方形应该添加在() 14/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 1 2 A.区域1处 B.区域2处 C.区域3处 D.区域4处 6.(25-26九年级下.上海期中)从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形， 再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为() A是 7.（2025·上海普陀二模)有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个 正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是() A.顶角是48°的等腰三角形 B.顶角是45°的等腰三角形 C.有一个锐角是24°的直角三角形 D.有一个锐角是54°的直角三角形 8.(25-26七年级下.江苏连云港·期中)如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现 在要从其余13个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方 格有」 个. 9.有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形： ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形： ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形： ④有一个锐角是30°的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形. 其中正确命题的序号是 ·（把所有正确的命题的序号都填上) 10.（25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴 影部分)我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花 瓣”和圆组成的图形. 15/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (二瓣图形)（三瓣图形）（四瓣图形）（五瓣图形）（六瓣图形） (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有，是中心对称图形的有 (将对 应字母填在横线上) (2)假设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是」 则花瓣图形既是轴 对称图形又是中心对称图形：若花瓣的个数是，则花瓣图形仅是轴对称图形.（填“奇数”或 “偶数”) 11.（25-26八年级下.山西晋中.期末)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,4, B4,2,C3,5(每个方格的边长均为1个单位长度). 4 3 2 1 5-4-3-2-19 13345 (但△ABC与△A,B,C关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是· (2)将△ABC平移，使点A的对应点A2的坐标为-3,1，请画出平移后的△A2B2C2 3)连接A1B2,A1C2,则△A1B2C2为_三角形，面积为_ ©素养提升 1.(25-26八年级下，浙江杭州期末)如图，等边三角形ABC绕点C顺时针旋转Q度后所得的图形与原图 形关于某一点成中心对称，则旋转角度α可以是() 16/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.60° B.90° C.120° D.150° 2.(25-26八年级下福建泉州期末)如图，在矩形ABCD中，AB= 三BC,O为对角线AC的中点，点P, Q分别从点A和B同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B,C,连接PO,QO并延长 分别与CD,DA交于点M,N.在整个运动过程中，下列判断不一定正确的是() A.四边形PQMN是矩形 B.△POQ≌△MON C.△POQ与△MON成中心对称 D.AN=CQ 3.(2026湖北孝感.二模)如图，在平面直角坐标系中，A-1,0,B-1,-1,C1,0,请确定一点D, 使得以点A,B,C,D为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点D的坐标可能是() A A.0,1 B.-1,1 c.1,1 D.1,-1 4.（25-26八年级下·四川自贡期末)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.在正方形 EFGH两边EH、FG分别取点M,N,使EM=GN,AC与MN交于点O,若EH=4EM, AC=2MN=8V5,则AM的长为() 17/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M A.3 B.6 c.4/2 0.85 3 5.(25-26八年级下山东潍坊期末)如图，在3×3正方形方格中，己有三个小正方形被涂上阴影，将一 个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有 种. 6.(25-26八年级下·浙江温州期中)如图1，在等边△ABC中，AB=8,DE,FG相交于点M,并将其 分割成四块①，②，③，④.如图2，将①，②，③通过中心对称或平移变换，拼成口PQMN,则U= ·当A是HI中点时，▣PQMN的周长是 D ④ D ② ③ G 图1 图2 迁移创新 1.（25-26九年级上山东青岛·期末)某水上乐园有一种娱乐项目-飞跃滑梯（如图1所示)，游玩者通 过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一 条抛物线.某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图， 如图2，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水面所在的水平线为X轴，过腾空点B 与轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径 18/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： m D龙m 图1 图2 (1)点B与水面的距离OB为1.5m,水滑道最低点C与水面的距离为 23 37 m, m,点C到点B的水平距离为 求水滑道ACB所在抛物线的关系式： (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=10m,人腾空飞出后的落地点D与水池边缘的安全距 离不得少于3m,若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB的部分图形关于点B 成中心对称. ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度： ②此人腾空飞出后的落地点D是否在安全范围内？请说明理由。 2.（25-26九年级上.宁夏银川期中)如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别标有四 个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀. B C 菱形 矩形 平行四边形 正五边形 A B D (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率. (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌 中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心 对称图形则小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） A B D A B,A C,A) D,A) B A,B C,B) D,B A,C B,C) D,C] 19/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A,D B,D C,D B 0 D A (B,A (C, D, B (A, C,D,1 A,B,c D,( D A,1B, C,1 20/20