28.2.1 中心对称及其性质（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“中心对称及其性质”核心知识点，系统梳理中心对称的定义（旋转180°重合）、三要素（对称中心、180°旋转、对应点）及性质（对应点连线过对称中心且被平分、全等、对应线段平行或共线），衔接旋转与轴对称对比，构建图形变换知识体系，为后续学习中心对称图形及综合应用提供基础支架。 该资料以平行四边形对角线、正六边形拼图等实例引导学生用数学眼光观察图形关系，通过“概念辨析-作图-性质应用”分层题型培养推理意识，拓展部分用中心对称转化阴影面积（如正方形中反比例函数阴影）渗透模型观念。课中辅助教师分层教学，课后通过基础到创新练习帮助学生查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章 旋转 28.2.1中心对称及其性质 课时目标 1.通过实例认识中心对称，知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，能识别对称 中心、对应点。 2理解中心对称的概念：把两个图形绕着某一个点旋转180°，如果它们能够互相重 合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，掌握对称中心、对称点的含义。 课标要点 3掌握中心对称的基本性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段经过对称 中心，并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等；对应线段平行（或在同 一直线上)且相等。 4能利用中心对称的概念和性质识别图形，完成简单作图、线段长度的计算。 重点： 1.认识中心对称，分清中心对称的相关要素（对称中心、对应点），能找出成中心 对称两个图形的对应点、对应线段、对应角。 2掌握中心对称的核心性质，理解性质文字含义。 3.会利用中心对称性质作简单图形关于某点的中心对称图形，进行线段长度基础计 学习重难点 算。难点： 1.理解“旋转180°重合”这一中心对称的本质，准确找出对称中心与对应点。 2在复杂图形中识别成中心对称的图形，灵活运用中心对称性质分析图形。 3区分中心对称与一般旋转、轴对称，理解中心对称只改变图形位置，不改变图形 大小和形状。 清主线 课时内容导图 1/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0概念 两个图形绕平面内某一点旋转180°后能够互相重合，则这两个图形关于该点成中心 对称 三要素：对称中心、旋转角(180)、对应点（对称点） 点0：对称中心： ②条件 元素 转动的角：固定180°： 变换前后的点：对称点（对应点） 中心对称及其性质 实例 平行四边形的两组对角、成对中心对称图案 ①性质1 对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分 成中心对称的两个图形全等，对应线段平行（或 补充：对应角相等 ③性质 ②性质2 在同一直线上)且相等 对称中心：旋转180固定不动的点 3解读 对称点：旋转后能够互相重合的一对点 找对称中心、找对称对应点 识图 区分：中心对称、普通旋转、轴对称三种图形变换 利用性质求线段长度 ④识图与计算应用 计算 利用中心对称关系求角度大小 在复杂几何图形识别成中心对称的两个图形 实际情境 作图：画出图形关于某点的中心对称图形 理新知 教材全盘梳理 知识点 中心对称 一、 中心对称的定义 把两个平面图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和另一个图形互相重合，那么就说 这两个图形关于这个点成中心对称。 ①对称中心：这个旋转的定点。 ②对称点（对应点）：旋转后互相重合的点。 注意：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系。 二、中心对称三要素 1.对称中心：旋转的定点： 2.旋转角度：固定180： 2/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3对应点（对称点）：旋转后重合的点。 特别提醒 ①不要把“两个图形成中心对称”理解成一个图形；旋转角度必须严格是180°，不是任意角度。 ②对称中心可以在图形内部、图形边上，也可以在图形外部，不一定落在图形上。 随学随练 1.(25-26八年级下.吉林长春·期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,要通过 一次变换使△ABO与△CDO完全重合，下列说法正确的是() A.通过一次平移变换即可实现 B.通过一次轴对称变换即可实现 C.通过一次中心对称变换即可实现 D.上述单一变换都无法实现 2.（25-26七年级下·江苏无锡·期末)给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一 定相等：②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与 旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心.其中，真命题的 个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26九年级上·河北保定·期中)如图，△ABC与△ABC关于点0成中心对称.下列不一定正确 的是() B A.AB=A B B.∠A=∠A C.BB=20B D.OC=BC 4.如图，正六边形ABCDEF是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 3/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)三角形AOB沿着 方向平移 厘米能与三角形FEO重合： (2)三角形AOB绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形EOF重合： (3)三角形AOB沿着BE所在直线翻折后能与】 重合： (4)写一对中心对称的三角形： 知识点 中心对称的性质 一、 中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形是全等图形： 2.对应点所连的线段经过对称中心，并且被对称中心平分（核心性质）方 3对应线段相等，对应线段平行（或者在同一条直线上方 4.对应角相等。 二、作一个图形关于某点成中心对称图形的步骤 1.找出原图形各个顶点： 2连接顶点与对称中心，延长一倍，得到各个顶点的对称点： 3按照原图形顺序依次连接各个对称点，得到中心对称后的图形。 三、找对称中心方法 连接两组对应点，两组对应点连线的交点，就是对称中心。 特别提醒 ①对应线段不一定平行，存在共线的情况，做题不要直接默认对应线段一定平行，全等的图形不一定 成中心对称。 ②延长的时候必须延长一倍长度，不是随便延长：连接对称点时项点顺序不能打乱，否则图形会画错。 片随学随练 4/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2526八年级下.江苏无锡·期中)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P,△EFD与 △APD关于点D成中心对称.若AC=7,BD=8,则BE的长度为() D A.12 B.15 C.12.5 D.15.5 2.(25-26九年级上青海果洛期末)如图，△ABC与△（关于点O对称，连接OB,OE,BD.若 BO⊥AC,DE=6,则BD的长为() D/O E A.3 B.4 C.6 D.9 3.(25-26八年级下·河南南阳期末)如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是 中心对称图形.若己知矩形ABCD的周长为20，则能够求出长度的线段是() A M D F E P C A.AM B.MD C.ME D.EF 破疑难 核心素养拓展 拓展 中心对称转化求阴影面积 5/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这类题的核心特征：图形是中心对称图形有关于某点成中心对称的两部分，阴影分散在不同位置，直接分 别算很麻烦，利用中心对称做割补平移转化。 核心原理 中心对称性质：成中心对称的两个图形全等；绕对称中心旋转180°可以完全重合。 可以把分散的阴影块，通过旋转180°割补，拼合成一个完整规则图形（圆、扇形、矩形、正方形等），直接算 拼完之后规则图形面积，不用逐个小块计算。 通用做题步骤 1.识别对称中心 先找整个图形的对称中心（大多是坐标原点O,也可以是图形内部某定点），确认图形满足中心对称。 2观察阴影分布 阴影被拆成多块，分散在对称中心两侧，每一块阴影都能找到它经过旋转180°后的对应空白阴影区域。 3.割补转化（最关键一步） 利用中心对称旋转180°全等重合： ①将一侧阴影绕对称中心旋转180°，填补另一侧空白； ②原本零散多块阴影，拼接合并成单一完整规则图形。 不用管原来阴影的零散轮廓，只看拼完之后整体是什么图形。 4代入公式直接算拼接后的图形面积 拼接完成后图形一般是：圆、部分圆（扇形）、正方形、矩形，直接套面积公式。5检查：注意半径、边长 数据，区分是直径还是半径。 活学活用 1.(25-26九年级上四川德阳期中)如图，直线a⊥b于点O,曲线c关于点O中心对称，点A的对应点 是点A,AB1Q于点B,AD1b于点D.若OB=3,OD=2则阴影部分的面积为（） A.5 B.6 C.12 D.无法确定 6/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB‖X 辅，BCy轴，反比例函数y-8与y=- 的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之 X X 和为 3.（2526七年级下·吉林长春期末)如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆， 虚线围成的图形是正方形，已知OA=OB=2米，则阴影部分图形的面积和为 平方米 4.(2026·吉林长春·模拟预测)如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为2,1，则图中两个阴影部分面积的和是 (结果保留π). 通题型 解题能力构建 题型一中心对称概念辨析 7/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错提醒 1.把轴对称当成中心对称：轴对称是翻折；中心对称是转180°，二者不要混淆。 2.普通旋转≠中心对称：只有旋转角度恰好180°，才叫中心对称；转60°、90°都不算。 3混淆“成中心对称（两个图形）”与“中心对称图形（一个图形）”，读题一定要慢。 4.只看形状大小相等，全等图形不一定成中心对称，位置关系必须满足旋转180°重合。 ■例1下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是() B ■对点练1-1.(25-26九年级上山东滨州期中)下列说法中判断错误的是() A.对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B.成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C.若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D.由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 ■对点练1-2.下列说法中正确的是（) A.如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B.如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C.平移改变图形的形状和大小 D.在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 题型二画己知图形关于某点的对称图形 ■例2(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在平面直角坐标系中，A-1,4,B-3,1,C-1,1. 8/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B △A,B,C,与△ABC关于原点0对称，画出△A,B,C,:并写出B的坐标： 2△A,B,C是△ABC绕点C顺时针旋转g0得到的，画出△A,B,C ■对点练2-1.(2026湖南湘潭模拟预测)如图，己知平面直角坐标系内有三点，分别为A(-1,1), B(-2,4),C(-3,2). (1)请画出△ABC关于原点O对称的△A,B1C1: (2)直接写出把△ABC绕点O顺时针旋转90°后，点C旋转后对应点C2的坐标. 对点练2-2.(25-26八年级下陕西咸阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 A3,4,B-2,3,C4,2. 9/27 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V B 54-3-2-1O 1234 5 2 -5 (1)将△ABC经过平移后得到△ABC,使得点B的对应点B的坐标为-4,0，请画出△ABC;(点A、 C的对应点分别为点A、C) (2)画出与△ABC关于原点O中心对称的△ABC,并写出点C的坐标.（点A、B、C的对应点分别为 点A、B"、C) 题型三找出中心对称的对称中心 解题贴士 1.在两个图形上，随便选取两组对应顶点（比如B:与B2,C与C2): 2.用直尺连接第一组对应点BB2, 3.连接第二组对应点CC2; 4两条线段的交点就是对称中心； 5.在网格读出交点的坐标。 验证：再连第三组对应点，这条直线也必须过这个交点，用来检查有没有画错。 易错点：一定要选对应点，不能乱挑点；不要选同一个图形内部的两个点。 Ⅱ例3(25-26八年级下广东深圳期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A1,3,B2,5,C4,2(每个方格的边长均为1个单位长度)· 10/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5-4-3-2-1,012345x (1)将△ABC平移，使点A移动到点A1,请画出△A1B,C1: (2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2: (3)△A1B,C,与△A,B,C,是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由. ■对点练31.(25-26八年级下.广东深圳期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格 点上，且△A1BC1与△ABC关于原点0成中心对称，点A的坐标为-3,4. P(ab (1)点B的坐标为 请画出△A1B1C1: ②Pa,b是△ABC的边AC上一点，将△ABC平移后点P的对应点是PQ-2,b-4: 请画出平移后的 △A2B2C2: 3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ■对点练32.(25-26八年级下四川成都期中)如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个 单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,1,B3,2,C2,4. 11/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)画出△ABC向左平移4个单位所得的△A1B1C1,并求平移过程中△ABC扫过的面积： (2)画出△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2: (3)若△ABC与△A2B2C2关于点Q成中心对称，求点Q的坐标. 题型四根据中心对称的性质判断结论是否正确 I例4(25-26八年级下河北唐山期末)如图所示，△ABC与△ABC关于点O成中心对称，则下列结 论成立的是() ①点A与点A关于点O对称；②BO=BO:③AC‖AC;④∠ABC=∠CAB A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②④ I对点练41.(25-26七年级下.全国课后作业)已知△ABC以及△ABC外的一点O,分别作A,B,C 关于O的对称点A,B,C,得到△ABC.如图，则下列结论不成立的是() 12/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.点A与点A是对称点 B.BO=BO C.∠AOB=∠AOB D.∠ACB=∠CAB ■对点练42.（25-26八年级上·全国·单元测试)如图，△ABC与△ABC是成中心对称的两个图形， 则下列说法不正确的是() A.AB=A B,BC=BC B.AB‖AB,BC‖BC C.SAABC=S△ABC D.△ABC≌△AOC 题型五根据中心对称的性质求点坐标 解题贴士 核心公式 1.点P&,y)关于点M(a,b)成中心对称，对称点为Px,y 由中点公式：a=x+x,b=y+y ,变形得求对称点公式： x=2a-x,y=2b-y 2特殊：关于原点0(0,0)中心对称 P(x,y)关于原点对称P(-x,-y) 易错：横、纵坐标同时变号，只变一个是常见错误。 ■例5(2026福建厦门三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是矩形OABC边BC上的点.若反比 13/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例函数y=kk≠0，X>0)的图象经过顶点B3,2,其上另一点D与点A关于点M成中心对称，则点D 的坐标为() VA A. 4 B.3,2 C. D.2,3 ■对点练51.(2025四川绵阳.一模)在平面直角坐标系xOy中，若矩形ABCD的对角线AC与x轴平行， 且对角线BD在直线y=kx(k<0)上，则称矩形ABCD为“k率矩形”，如图，矩形ABCD为“-1率矩 形”，点A的坐标 m,-罗-1 且直线y=-3X-2平分该矩形的面积，则点c坐标是（) A.（2,1 B.(3,1) c.(1,0.75) D.(1.75,1 ■对点练52.( 25-26八年级下江苏南京期中)在平面直角坐标系中，点P(0,1)关于点A(1,0)对称的点 的坐标为() A.(0,-1 B.(1,-1) c.(2,-1) D.(3,-1) 题型六根据中心对称的性质求线段 14/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■例6(2025辽宁抚顺.二模)如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若 AC=1,AB=2,∠BAC=90°，则AE的长是() D A.3 B.5 c.5 D.2V2 ■对点练61.（25-26九年级上山西朔州阶段检测)如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点， AB=2,△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP,则CP的长为() B A.5 B.2V5 C.4 D.2V3 ■对点练62.（2526八年级下·辽宁朝阳期末)某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心 对称为主题的桥梁模型.他们设计了如图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点 MN分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支撑桥梁.通过测量得到MN的长度为40Cm,DE是模型 中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE的长是()Cm B A.20 B.40 C.80 D.90 题型七根据中心对称的性质求面积 15/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■例7(25-26九年级上全国课后作业)如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张 安全标语海报（阴影部分）·已知点O是曲线AC的对称中心，点A的对称点是C.若 AB⊥BC,AB=BC=3m,则海报的面积为m2. 口 B ■对点练7-1.(25-26八年级下江苏扬州阶段检测)如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都 是点O,其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 A H 6 ■对点练7-2.(2025浙江杭州·二模)如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，点G是CF的三等分点， 点H与点A关于点C成中心对称.连结EG,BE,BH，DH.若S影=4，则BH的长为 E G D 题型八中心对称综合应用 16/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■例8(25-26七年级下河南洛阳期末)综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学 的思维习惯.下面是王老师在“两次轴对称变换”主题下设计的问题 (1)【观察发现】如图1、图2的网格图中△A1B1C1与△ABC关于直线l1对称，△A2B2C2与△A1B1C1 关于直线2对称。 B 图1 图2 ①【发现1】图1中直线l1l2,且l1与l2的水平距离为4个单位，那么△A,B2C2可以看作是△ABC向右 平移得到的，平移距离为 个单位长度。 ②【发现2】图2中直线l1与l2相交于点O,所夹锐角为45°，那么△A2B2C2可以看作是△ABC绕旋转中 心 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 (2)【操作实践】①如图3，直线l1与l2垂直，垂足为点O,请作出△A1B,C1关于直线l2的轴对称图形 △A2B2C2. 图3 ②【发现3】△A2B2C2与△ABC是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心 (3)【拓展应用】如图4，通过两次轴对称变换使得线段AB与线段CD重合，请画出这两条对称轴和第一次 轴对称后的对称线段， 17/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图4 ■对点练81.(25-26七年级下江苏泰州期末)探究解题 A E B 图1 图2 图3 (1)如图1，AC与BD相交于点O,连接AB,CD,△AOB≌△COD,点E为边AB上一点，连接EO并 延长交边CD于点F,求证：EO=FO; (2)如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O,仅用无 刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q: (3)如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1. (25-26八年级下·河北张家口·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，若直线l能将口ABCD面积等 分，这样的直线的条数有() B A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 2.(2026山东威海模拟预测)如图，数轴上A,B两点对应的实数分别为1和V3,若点A关于点B的对称 18/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为点C,则点C所对应的实数为() A B C -10 23 A.2V3-1 B.1+3 c.2+V3 D.2V2-1 3.(25-26九年级上河南周口期中)如图，AC⊥BC,曲线AD和曲线OD关于点D成中心对称，曲线 OE和曲线BE关于点E成中心对称，曲线ADO和曲线BEO关于点O成中心对称.如果AC=BC=4,那么 图中所示的封闭图形的面积是() B A.4 B.8 c.8V2 D.16 4.(2025九年级上全国.专题练习)如图，△ABC与△成中心对称，点0是对称中心，则下列结论不 正确的是() A.点A与点D是对应点 B.∠ACB=∠DFE C.BO=EO D.AD DE 5.（25-26九年级上·贵州遵义阶段检测)如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠A=90°， CD=2,CO=3,则BC=() D A.5 B.V13 c.2V13 D.2V10 6.(25-26七年级下江苏徐州期中)如图，四边形ABCD是中心对称图形，对角线AC与BD相交于点 O,下列说法正确的有() ①AB=CD;②OA=OC=OB=OD;③△AOD和△COB关于点O成中心对称；④将△ABC绕点O旋 19/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转180°能与△CDA重合. D O B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(25-26九年级上福建南平期中)如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块 边长相等的正方形A,一块正方形B和两块全等的长方形C,正方形A的边长是() C B C A.2.5 B.3 C.4 D.5 8.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=3,则BC的长为 C B 9.（25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称.如果小明家 与学校的距离是4公里，那么他们两家的距离为公里， 10.(25-26七年级下山西晋城期末)如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知 AA1=10cm,BO=9cm,A1B1=7cm,则△OAB的周长为 cm. A 11.（25-26八年级下·甘肃兰州期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格 点上. 20/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 A 65-4-3-2-10 123456x (1)经过平移，△ABC的顶点A移到了点A1,画出平移后的△A1B1C1: (2)以点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的△A2B2C2. 12.（25-26八年级下浙江台州期末)如图所示的6×6方格纸上，每个小正方形的边长都为1，请用无刻 度直尺按要求在方格纸中作图 B 图1 图2 (1)在图1中画出△ABC关于点C成中心对称的图形，点A、B的对应点分别为点D、E: (2)在图2中画出以AB为边，面积为8的菱形ABCD,点C、D均在格点上. 13.(25-26八年级下山东聊城期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A-3,2, B-1,4,C0,2. 21/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B (1)请作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1,并写出B1的坐标_； (2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为-5，-2，画出平移后对应的△A2B2C2,并求出线段BC在 平移过程中扫过的面积： 14.(25-26八年级下四川巴中.期末)如图，△AB0与△CDO关于点O成中心对称，点E、F在线段 BD上，且BF=DE,连接AF、CE (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若点F是BE的中点，BA⊥AE,AB=7,AE=12,求四边形AECF的面积. 素养提升 1.(25-26八年级下·江西萍乡期末)如图，在△ABC中，顶点C在第一象限，点A在X轴的负半轴上，点 B0,4'C25,4AB=BC,将△ABC绕点A每次顺时针旋转90，则第2026次旋转结束时，点B的 坐标为（) 22/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-4,-4 B.2,-2 c.-6,2 D.0,4 2.(2026河南南阳一模)如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x-3x2+3x-1的图象，发现它关 于点1,0中心对称.若点A10.2,yA20.4,y2A,0.6,y3…A1.8,ygA02,yo都在函数 图象上，这10个点的横坐标从0.2开始依次增加0.2，则y1+y2+y3+…y9+y1o的值是() A.-1 B.1 C.-0.729 D.0 3.(25-26九年级下，浙江温州·开学考试)如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的 中心对称图形，其中△ABE≌△CDG,AB≠AD.连接AC,BD,EG,FH交于点O,图中阴影部分 形如美丽的风车，如图2，其中BE=10,AE=4.当风车四个叶片面积都相等时，菱形EFGH的边长为 () D D E A H G B B 图1 图2 A.7 B.6 C.5 D.4 4.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐-阶段检测)如图，函数G的图象是由 y=x2+2x+2x≤0的图象C和 它关于0,2)成中心对称的图象C2组成.下列说法：①函数G的图象关于y轴对称：②当-1≤x≤1时，函 23/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数G随x的增大而增大；③直线y=k与G图象有三个交点，则1<k<3;④已知不重合的两点A(a,ya, B(b,y。)在函数G的图象上，且a<0<b,a+b=0,若当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值均为定值. 则a的取值范围为-1-2≤a≤-1.其中正确的命题有() V A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.②③ 5.(2026陕西中考真题)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，反比例 函数y=《的图象经过矩形OABC的对称中心D.若矩形OABC的面积为12，则k的值为 X 6.(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=8.菱形AEFG的顶 点E是AD的中点，顶点G在BA的延长线上.O1,O2分别为菱形AEFG和菱形ABCD的对称中心，过O1, O2的直线分别交FG,BC于点P,Q,则线段PQ的长为 D 7.(2026浙江二模)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点P,△EFD与△APD关于点D成 中心对称.若AC=14,BD=16,则BE= 24/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 8.（25-26八年级上湖北武汉阶段检测)如图所示，点A和动点P在直线1上，点P关于点A的对称点为 点O,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:5.直线1上有一动点C在点P右侧， PC=4cm,过点C作射线CD⊥L,点F为射线CD上的一个动点，连接AF.当△AFC与△ABQ全等时， AQ的长度为 A 9.(25-26八年级下辽宁阜新期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸 中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上. 4 C02 B -5-4-3-2-10 12345x 5 (1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1: (2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2: (3)点MN是x轴上的动点（点M在点N的左边），且MN=1,直接写出BM+MN+NC的最小值 10.(25-26八年级下四川成都期末)在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为 “整点”·如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都是整点，其坐标分别为A1,2,B3,1, C0,5.△A1B1C1与△ABC关于整点P3,4成中心对称. 25/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A B (1)在网格中作出△A1BC1: (2)直接写出△A1B1C1内部（不含边界）的“整点”坐标： 3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”Q,且以点C,A1,B1,Q为顶点的四边形为平行四边形， 直接写出点Q的坐标. 迁移创新 1.(25-26七年级下.山西临汾期末)下图均为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点和点D均在格点上，只使用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图： A D 图1 图2 图3 (1)在图1中，将△ABC平移，画出△A1DC1使点B与点D重合，点A的对应点为A1,点C的对应点为C1: (2)在图2中，画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称（点A的对应点为A2,点B的 对应点为B2,点C的对应点为C2): 3)在图3中，画出将△ABC绕点D按逆时针方向旋转90°得到的△A,B3C3(点A的对应点为A3,点B的 对应点为B3,点C的对应点为C3). 2.(2026江西赣州一模)如图，正六边形ABCDEF中，G为BC上一点，连接AG.请仅用无刻度的直 尺，分别按下列要求作图.（保留作图痕迹，不写作法） 26/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E D C C B A B 图(1) 图(2) (1)如图(1)，连接AE,GE,过点G作一条直线平分△AGE的面积： (2)在图(2)中作出将△ABG绕点O旋转180°得到的△DEH及旋转中心O. 27/27 第二十八章 旋转 28.2.1中心对称及其性质 课标要点 1.通过实例认识中心对称，知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，能识别对称中心、对应点。 2.理解中心对称的概念：把两个图形绕着某一个点旋转180°，如果它们能够互相重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，掌握对称中心、对称点的含义。 3.掌握中心对称的基本性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 4.能利用中心对称的概念和性质识别图形，完成简单作图、线段长度的计算。 学习重难点 重点： 1.认识中心对称，分清中心对称的相关要素（对称中心、对应点），能找出成中心对称两个图形的对应点、对应线段、对应角。 2.掌握中心对称的核心性质，理解性质文字含义。 3.会利用中心对称性质作简单图形关于某点的中心对称图形，进行线段长度基础计算。难点： 1.理解“旋转180°重合”这一中心对称的本质，准确找出对称中心与对应点。 2.在复杂图形中识别成中心对称的图形，灵活运用中心对称性质分析图形。 3.区分中心对称与一般旋转、轴对称，理解中心对称只改变图形位置，不改变图形大小和形状。 知识点 中心对称 一、中心对称的定义 把两个平面图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和另一个图形互相重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。 ①对称中心：这个旋转的定点。 ②对称点(对应点):旋转后互相重合的点。 注意：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系。 二、中心对称三要素 1.对称中心：旋转的定点； 2.旋转角度：固定180°; 3.对应点(对称点):旋转后重合的点。 特别提醒 ①不要把 “两个图形成中心对称” 理解成一个图形；旋转角度必须严格是180°，不是任意角度。 ②对称中心可以在图形内部、图形边上，也可以在图形外部，不一定落在图形上。 随学随练 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 4．如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与________重合； （4）写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】 射线 与 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形即可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】解：（1）经过平移得到， 平移的方向是沿着射线方向，点与点是一组对应点， ∴平移的距离为的长， 是边长为厘米的等边三角形， 厘米， 三角形沿着射线的方向平移厘米能与三角形重合， 故答案为：射线，； （2）三角形绕着点顺时针旋转度后能与三角形重合， 故答案为：、； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与重合， 故答案为：； （4）与是中心对称的两个三角形， 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，熟练掌握几种变换的定义和特点是解题的关键． 知识点 中心对称的性质 一、中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形是全等图形； 2.对应点所连的线段经过对称中心，并且被对称中心平分(核心性质); 3.对应线段相等，对应线段平行(或者在同一条直线上); 4.对应角相等。 二、作一个图形关于某点成中心对称图形的步骤 1.找出原图形各个顶点； 2.连接顶点与对称中心，延长一倍，得到各个顶点的对称点； 3.按照原图形顺序依次连接各个对称点，得到中心对称后的图形。 三、找对称中心方法 连接两组对应点，两组对应点连线的交点，就是对称中心。 特别提醒 ①对应线段不一定平行，存在共线的情况，做题不要直接默认对应线段一定平行，全等的图形不一定成中心对称。 ②延长的时候必须延长一倍长度，不是随便延长；连接对称点时顶点顺序不能打乱，否则图形会画错。 随学随练 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 2．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长为20，则能够求出长度的线段是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵已知矩形的周长为20， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A 拓展 中心对称转化求阴影面积 这类题的核心特征：图形是中心对称图形/有关于某点成中心对称的两部分，阴影分散在不同位置，直接分别算很麻烦，利用中心对称做割补平移转化。 核心原理 中心对称性质：成中心对称的两个图形全等；绕对称中心旋转180°可以完全重合。 可以把分散的阴影块，通过旋转180°割补，拼合成一个完整规则图形(圆、扇形、矩形、正方形等),直接算拼完之后规则图形面积，不用逐个小块计算。 通用做题步骤 1.识别对称中心 先找整个图形的对称中心(大多是坐标原点O,也可以是图形内部某定点),确认图形满足中心对称。 2.观察阴影分布 阴影被拆成多块，分散在对称中心两侧，每一块阴影都能找到它经过旋转180°后的对应空白/阴影区域。 3.割补转化(最关键一步) 利用中心对称旋转180°全等重合： ①将一侧阴影绕对称中心旋转180°,填补另一侧空白； ②原本零散多块阴影，拼接合并成单一完整规则图形。 不用管原来阴影的零散轮廓，只看拼完之后整体是什么图形。 4.代入公式直接算拼接后的图形面积 拼接完成后图形一般是：圆、部分圆(扇形)、正方形、矩形，直接套面积公式。5.检查：注意半径、边长数据，区分是直径还是半径。 活学活用 1．（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 4．（2026·吉林长春·模拟预测）如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【答案】 【分析】先利用切线的性质得到的半径为1，再根据反比例函数图象的对称性得到点B的坐标为，同理得到的半径为1，则可判断与关于原点中心对称，的阴影部分与的空白部分面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于的面积，然后根据圆的面积公式计算． 【详解】解：∵点的坐标为，且与x轴相切， ∴的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为， 同理得到的半径为1， ∴与关于原点中心对称， ∴的阴影部分与的空白部分完全重合， ∴的阴影部分与的空白部分面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和． 题型一 中心对称概念辨析 易错提醒 1.把轴对称当成中心对称：轴对称是翻折；中心对称是转180°，二者不要混淆。 2.普通旋转≠中心对称：只有旋转角度恰好180°，才叫中心对称；转60°、90°都不算。 3.混淆“成中心对称(两个图形)”与“中心对称图形(一个图形)”，读题一定要慢。 4.只看形状大小相等，全等图形不一定成中心对称，位置关系必须满足旋转180°重合。 ▌例1下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）下列说法中判断错误的是（    ） A．对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B．成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C．若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D．由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 【答案】D 【分析】本题考查旋转、中心对称、菱形和梯形的性质． 选项A和B涉及旋转和中心对称的基本定义，正确；选项C利用菱形的中心对称性，过对角线交点的直线分成的两个图形全等，正确；选项D中，两个全等的梯形不一定能拼成菱形，错误． 【详解】解：选项A：旋转前后，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，这是旋转的基本性质，正确； 选项B：成中心对称的两个图形，对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，正确； 选项C：菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，过对称中心的任意直线将菱形分成两个全等图形，若分成的图形是梯形，则它们全等，正确； 选项D：两个全等的梯形可能拼成平行四边形，但拼成菱形需满足四边相等，这不是必然的，错误； 故选：D． ▌对点练1-2．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断． 【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误； B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误； C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误； D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确； 故选D． 题型二 画已知图形关于某点的对称图形 ▌例2 （25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 的坐标为； (2)即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的图形的性质作图即可，再写出点的坐标 （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． ▌对点练2-1．（2026·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示 (2) 【分析】（1）根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的位置，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由旋转的性质及网格特征可得，点的坐标为． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将经过平移后得到，使得点的对应点的坐标为，请画出；（点、的对应点分别为点、） (2)画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）先由点和点确定平移方式为点向下平移3个单位，向左平移2个单位，再由平移方式确定平移后的点坐标，即可作图； （2）分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型三 找出中心对称的对称中心 解题贴士 1.在两个图形上，随便选取两组对应顶点(比如B₁与B₂,C₁与C2); 2.用直尺连接第一组对应点B₁B₂; 3.连接第二组对应点C₁C2; 4.两条线段的交点就是对称中心； 5.在网格读出交点的坐标。 验证：再连第三组对应点，这条直线也必须过这个交点，用来检查有没有画错。 易错点：一定要选对应点，不能乱挑点；不要选同一个图形内部的两个点。 ▌例3 （25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）先根据平移的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据中心对称的定义判断，进而根据平面直角坐标系写出对称中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：与关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标为． ▌对点练3-1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． (1)点的坐标为________，请画出； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)，图见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出，并读取点的坐标； （2）结合是的边AC上一点，将平移后点P的对应点是，得出平移规律是向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，据此画出平移后的； （3）连接对应点，它们的交点即为对称中心点，再读取坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 则点的坐标为； （2）解：所作如图所示： （3）解：∵和关于某一点成中心对称， ∴图中点即为对称中心，的坐标为． ▌对点练3-2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 【答案】(1)即为所求； (2) 即为所求： (3) 【分析】（1）根据平移的性质，画出，顺次连接，即可求解，再求得平行四边形的面积即可； （2）根据关于原点的对称的性质画出点，顺次连接，即可求解； （3）连接，找到中点即为所求，根据坐标系写成点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：平移过程中扫过的面积为 （2）略 （3）解：如图， 题型四 根据中心对称的性质判断结论是否正确 ▌例4 （25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． ▌对点练4-1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． ▌对点练4-2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与是成中心对称的两个图形， ∴，，，，， 无法得到， 故选：D． 题型五 根据中心对称的性质求点坐标 解题贴士 核心公式 1.点P(x，y)关于点M(a，b)成中心对称，对称点为 由中点公式：，变形得求对称点公式： 2.特殊：关于原点O(0，0)中心对称 易错：横、纵坐标同时变号，只变一个是常见错误。 ▌例5（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． ▌对点练5-1．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． ▌对点练5-2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B，则有，即可得到，，进而求出点Q的坐标． 【详解】解：设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B， 则，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 题型六 根据中心对称的性质求线段 ▌例6（2025·辽宁抚顺·二模）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键， 根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D ． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． ▌对点练6-2．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 题型七 根据中心对称的性质求面积 ▌例7（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为______． 【答案】 【分析】连接，因为曲线关于点成中心对称，则①和②的面积相等，因为，所以. 【详解】解：如图，连接， 点O是曲线的对称中心， ①和②的面积相等， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称，解题的关键是正确推理运算． ▌对点练7-1．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】7 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． ▌对点练7-2．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则正方形的边长为，用表示出，即可求得，再利用勾股定理求得即可，正确利用题中条件求得两个正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 点是的三等分点， ， 则正方形的边长为， ，， ， 则可得方程， 解得（负值舍去）， 如图，连接，过点作交于点， 点与点关于点成中心对称， 三点共线，且, ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型八 中心对称综合应用 ▌例8 （25-26七年级下·河南洛阳·期末）综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变换”主题下设计的问题． (1)【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． ①【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为__________个单位长度． ②【发现2】图2中直线与相交于点，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心__________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为__________． (2)【操作实践】①如图3，直线与垂直，垂足为点，请作出关于直线的轴对称图形． ②【发现3】与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (3)【拓展应用】如图4，通过两次轴对称变换使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段． 【答案】(1)①；②， (2)①如图，即为所求， ②与关于点成中心对称，对称中心为点， (3)画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段如图， 【分析】（1）①根据图形即可得出结果；②连接、、、、、，由网格特点得，从而即可得出结果； （2）①根据轴对称的性质作图即可；②连接、、交于点，再结合中心对称图形的性质即可得解； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：①由图可得，可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度； ②如图，连接、、、、、， 由网格特点得， ∴可以看作是绕旋转中心，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为． （2）解：①略； ②连接、、交于点， ∴与关于点成中心对称； （3）略． ▌对点练8-1．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）探究解题 (1)如图1，与相交于点O，连接，，，点E为边上一点，连接并延长交边于点F，求证：； (2)如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q； (3)如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q． 【答案】(1)证明：∵ ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2)点如图所示： (3)点如图所示： 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长与图形另一边的交点即为点； （3）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长，交左上角小正方形的边于点，连接并延长交右下角小正方形的边于点，连接，连接并延长与的交点即为点． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 基础通关 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分， 所以，这样的直线有无数条． 2．（2026·山东威海·模拟预测）如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积， 先连接，可得封闭图形的面积等于三角形的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接，由曲线和曲线关于点D成中心对称，曲线和曲线关于点E成中心对称，曲线和曲线关于点O成中心对称， ∴经过点D，O，E，且弧形的面积相等， ∴封闭图形的面积等于. 故选：B. 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质和一元一次方程的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确列出方程． 首先设正方形A的边长是，正方形B的边长是，由于原来该大长方形的周长是20，得出；据此解答即可． 【详解】解：如图，设正方形A的边长是，正方形B的边长是， ∵原来该大长方形的周长是20， ， 即， ， 故选：A． 8．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称．如果小明家与学校的距离是公里，那么他们两家的距离为_______公里． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，可得小明家和小辉家到学校的距离相等，且两家分别在学校的两侧，将两家到学校的距离相加即可得到两家的距离． 【详解】解：∵小明和小辉两家所在位置关于学校成中心对称， ∴小明、小辉两家到学校的距离相等， ∵小明家到学校的距离是公里， ∴他们两家的距离为公里． 10．（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的； (2)以点为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2)如图，即为所求作的三角形； 【分析】（1）先根据点的对应点判断平移的方式，再确定点，的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点，，的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点，，， ∴把先向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∵，， ∴，，即，， 作图略； （2）解：∵，，， ∴，，． 作图略． 12．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中心对称的意义，作图即可； （2）根据菱形的判定和性质，结合题意，画图即可； 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 【答案】(1)解：如图，即为所求； ； (2)如图，即为所求； ； 线段在平移过程中扫过的面积为 【分析】（1）根据中心对称的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接，即可得到，根据图形可得到的坐标； （2）根据题意可得到点的平移规律，再根据平移规律得到各个点的对应点，再依次连接可得到，线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积，利用割补法求出线段在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积． 14．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 素养提升 1．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 2．（2026·河南南阳·一模）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这10个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，其中，．连接，，，交于点，图中阴影部分形如美丽的风车，如图2，其中，．当风车四个叶片面积都相等时，菱形的边长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据题意和图形拼接特点，推断出 共线， 共线，利用全等三角形性质得出线段长度关系；设菱形边长为 ，表示出相关线段长；利用三角形面积公式及中点性质，根据“风车四个叶片面积都相等”建立方程求解． 【详解】解：∵由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，，， ∴，，菱形， ，， 设菱形的边长为，则， ， 分别过作菱形四边垂线，垂足分别为， ∵菱形， ∴平分， ∴， 同理可得， 设， ∴，，，， ∵风车四个叶片面积都相等， ∴， 解得， ∴菱形的边长为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，函数G的图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G的图象关于轴对称；②当时，函数G随的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值均为定值．则的取值范围为．其中正确的命题有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，中心对称的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 求出图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为，即知①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大，故②正确； 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点，故可知③正确； 分别求出直线和直线与函数G的图象的交点坐标（除两个顶点外），再分别讨论，；，；这三种情况下，函数G的最大值和最小值是否为定值即可． 【详解】解：， 图象的顶点坐标为， 图象和图象关于成中心对称， 图象的顶点坐标为，函数关系式为， 函数G的图象不是关于轴对称， 故①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大， 故②正确； 图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为， 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点， ， 故③正确； ，， ，关于对称， 当时，， 当时，， 当时，函数G的最大值和最小值均为定值， 结合图形可知，当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ，此时，函数G的最大值和最小值均为定值， 故④正确； 故正确的命题有②③④． 故选：B． 5．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点，先推导出，平分，，得到是等边三角形，进而推导出，得到，同理可得，求出，得到，根据勾股定理，求出，在中，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 7．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为点Q，以为边作，使，．直线l上有一动点C在点P右侧，，过点C作射线，点F为射线上的一个动点，连接．当与全等时，AQ的长度为_____． 【答案】/6厘米 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，中心对称的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据中心对称的性质得到，进而推出，则只存在这种情况，可设，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点P关于点A的对称点为Q， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∵， ∴设，则， ∵，且 ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出三个顶点关于点O对称的对应点，然后顺次连接即可； （3）将点向右平移一个单位得，过点作关于x轴的对称点，连接，当点，N，C三点共线时，有最小值，最小值为的长度，然后利用勾股定理求解，最后加上即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，将点向右平移一个单位得，过点作关于x轴的对称点，连接，与x轴交点N， ∴， ∴， ∴当点，N，C三点共线时，有最小值，最小值为的长度， ∴， ∴的最小值为． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都是整点，其坐标分别为，，．与关于整点成中心对称． (1)在网格中作出； (2)直接写出内部（不含边界）的“整点”坐标； (3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用中心对称点坐标公式求出，，，描点连线作图； ​（2）通过观察所作的，找出三角形内部整点； ​（3）分是平行四边形的边、对角线讨论，通过线段平移求点，舍去超出网格的点． 【详解】（1）解：根据中心对称的性质，若点关于点对称的点为，则， ，即，， ∴关于对称的点：， 关于对称的点：， 关于对称的点：， 在网格中描出，，，再依次连接即可得到； （2）通过观察所作的，内部的整点为，； （3）若是平行四边形的边，则：，， 情况1：把平移到处，即先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，同样的，把也向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 情况2：把平移到处，即先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，同样的，把也向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，就能与重合，此时，不在网格区域内，不符合题意， 若是平行四边形的对角线，则，，把平移到处，即先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，同样的把先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 迁移创新 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只使用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图： (1)在图1中，将平移，画出使点与点重合，点的对应点为，点的对应点为； (2)在图2中，画出，使与关于点成中心对称（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）； (3)在图3中，画出将绕点按逆时针方向旋转得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点B和点D的位置可确定平移方式，根据平移方式确定点，据此作图即可； （2）根据成中心对称的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．（2026·江西赣州·一模）如图，正六边形中，为上一点，连接．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图（1），连接，，过点作一条直线平分的面积； (2)在图（2）中作出将绕点O旋转得到的及旋转中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据正六边形的特点连接，则得到的中点，再根据等底等高面积相等，作过的中点和点G的直线即为所求； （2）连接对角线，对角线的交点即为旋转中心，根据旋转的性质即可得到中心对称图形． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：如图即为所求． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $