第一章 有理数 单元小测 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 人教版数学七年级上册有理数单元卷，含知识点总结与单元小测，覆盖正数负数、有理数分类等核心知识，通过生活情境题与梯度设计，适配单元复习，提升抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正数负数、有理数分类等|如用相反意义的量表示方向，考查符号意识| |填空题|6/24|相反数、绝对值等|如绝对值非负性应用，培养推理能力| |解答题|6/46|数轴、大小比较等|结合数轴解决气温问题，体现数学应用意识|

人教版数学七年级上册 第一章　有理数 本章知识点总结 + 单元小测（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【使用说明】本文档分两部分：第一部分是本章知识点总结（可作复习提纲）；第二部分是单元小测，满分 100 分，建议用时 60 分钟。 小测题型分布：选择题 10 小题 × 3 分 = 30 分；填空题 6 小题 × 4 分 = 24 分；解答题 6 小题共 46 分。 本章范围：1.1 正数和负数；1.2 有理数（有理数的概念、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较）。全部内容不超出本章教学要求，不涉及有理数的运算。 第一部分　本章知识点总结 一、正数和负数 1. 正数：像 3、1.8、 这样大于 0 的数叫做正数。正数前面的「+」号可以省略不写。 2. 负数：在正数前面加上「-」号的数叫做负数，如 -3、-1.8、-。 3. 0 既不是正数，也不是负数。0 是正数和负数的分界，它表示「没有」，也表示一个确定的量（如 0 ℃）。 4. 具有相反意义的量：用正数与负数可以表示一对具有相反意义的量。 例如：零上 5 ℃ 记作 +5 ℃，零下 5 ℃ 记作 -5 ℃； 　　　收入 200 元记作 +200 元，支出 200 元记作 -200 元； 　　　高于海平面 8848 m 记作 +8848 m，低于海平面 155 m 记作 -155 m。 5. 基准量：用正负数表示时，必须先规定一个基准（记作 0）。基准不同，同一个量的表示方法也不同。 二、有理数及其分类 1. 有理数：整数和分数统称为有理数。所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也是有理数。 有理数按定义分类 2. 按符号分类： 有理数分为正有理数、0、负有理数三类。 3. 常见的几个集合：正数集合、负数集合、整数集合、分数集合、正整数集合、负分数集合、非负数集合（正数和 0）等。 三、数轴 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。这三者称为数轴的三要素，缺一不可。 数轴的三要素 2. 数轴的作用：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。（注意：反过来不成立，数轴上的点不都表示有理数。） 3. 数轴上的点与数的对应：原点表示 0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数。 4. 画数轴的三个步骤：画直线 → 取原点、定正方向 → 选取单位长度并标数。 四、相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。0 的相反数是 0。 2. 几何意义：互为相反数的两个数，在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等（关于原点对称）。 互为相反数的两个点关于原点对称 3. 表示方法：a 的相反数是 -a。 注意：-a 不一定是负数。当 a 是负数时，-a 是正数；当 a = 0 时，-a = 0。 4. 多重符号的化简：符号「-」的个数决定结果的符号——奇负偶正。 例如：-(-5) = 5；　-[-(-5)] = -5；　-(+3) = -3。 五、绝对值 1. 几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|。 绝对值的几何意义 2. 代数意义： 正数的绝对值是它本身；　　负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。 3. 重要性质： ① |a| ≥ 0，绝对值是非负数（这是本章最常用的结论）； ② 若 |a| = 0，则 a = 0； ③ 若 |a| = b（b > 0），则 a = b 或 a = -b，即绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数； ④ 若几个非负数的和为 0，则每一个数都等于 0。 六、有理数的大小比较 1. 数轴法：把各数在数轴上表示出来，右边的数总比左边的数大。 数轴上比较有理数的大小 2. 法则法： ① 正数 > 0 > 负数，正数大于一切负数； ② 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 3. 比较负数大小的三步：先求绝对值 → 比较绝对值的大小 → 结论反过来写。 例如：比较 - 与 -。因为 |-| = ，|-| = ， < ，所以 - > -。 【本章高频易错点】 ① 0 既不是正数也不是负数，但它是有理数、是整数、是偶数。 ② -a 不一定是负数，a 也不一定是正数，字母可以表示任何有理数。 ③ 数轴必须有三要素，少画箭头或不标原点都是错的。 ④ |a| = 3 时 a 有两个值（3 和 -3），不要漏解。 ⑤ 比较两个负数时容易「反了」，一定要牢记「绝对值大的反而小」。 七、典型例题精讲 例 1　用正负数表示具有相反意义的量 题目：某仓库上午运进货物 30 t 记作 +30 t，下午运出 18 t 应记作什么？若某次记录为 -25 t，它表示什么？ 分析：运进与运出是一对具有相反意义的量，先确定「运进为正」。 解答：下午运出 18 t 记作 -18 t；-25 t 表示运出货物 25 t。 方法总结：用正负数表示量时，先找出相反意义的一对量，再看题目把哪一个规定为正，另一个就记作负。 例 2　有理数的分类 题目：把下列各数分别填入相应的集合：-8、0、+2.5、-、6、-1、。 分析：注意 = 3 是整数，不是分数；+2.5 是有限小数，可化为分数。 解答： 整数：-8、0、6、-1、；　　分数：+2.5、-； 负有理数：-8、-、-1；　　非负数：0、+2.5、6、。 方法总结：分类前先化简。像 、- 这样能整除的分数，实际上是整数。 例 3　多重符号的化简 题目：化简下列各数：（1）-(-8)；（2）-[+(-3)]；（3）-{-[-(+5)]}；（4）-|-2.5|。 分析：前三题用「奇负偶正」——数一数「-」号的个数；第四题要先算绝对值，再看外面的负号。 解答： （1）共 2 个「-」，偶数个，结果为正：-(-8) = 8； （2）共 2 个「-」，结果为正：-[+(-3)] = 3； （3）共 3 个「-」，奇数个，结果为负：-{-[-(+5)]} = -5； （4）|-2.5| = 2.5，所以 -|-2.5| = -2.5。 方法总结：「奇负偶正」只对多重括号的符号适用；一旦出现绝对值符号，必须先把绝对值算出来。 例 4　绝对值的非负性 题目：若 |m + 5| + |n - 2| = 0，求 m、n 的值。 分析：绝对值一定是非负数，两个非负数相加得 0，只可能是它们都等于 0。 解答：因为 |m + 5| ≥ 0，|n - 2| ≥ 0，且两者的和为 0， 所以 |m + 5| = 0 且 |n - 2| = 0， 即 m + 5 = 0，n - 2 = 0，解得 m = -5，n = 2。 方法总结：见到「几个非负数的和为 0」，立刻想到每个都为 0。 例 5　绝对值问题的分类讨论 题目：已知 |a| = 6，|b| = 2，且 a < b，求 a、b 的值。 分析：先分别写出所有可能，再用条件 a < b 筛选。 解答：由 |a| = 6 得 a = 6 或 a = -6；由 |b| = 2 得 b = 2 或 b = -2。 若 a = 6：6 > 2 且 6 > -2，都不满足 a < b，舍去； 若 a = -6：-6 < 2 成立，-6 < -2 也成立。 所以 a = -6，b = 2 或 a = -6，b = -2。 方法总结：这类题的步骤是「先全列，再筛选」，不要一上来就凭感觉只取一组。 例 6　借助数轴比较大小 题目：把 -2.5、、-、0、2 这五个数在数轴上表示出来，并用「<」把它们连接起来。 分析：先把分数化成小数便于定位： ≈ 1.33，- = -1.75。 解答：数轴表示略。从左到右依次是 -2.5、-、0、、2， 所以 -2.5 < - < 0 < < 2。 方法总结：含分数的大小比较，可以化成小数估位置，也可以通分后比较绝对值；画数轴是最不容易出错的办法。 第二部分　第一章　有理数　单元小测 满分 100 分　　建议用时 60 分钟 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） A. -(-3)　　B. |-3|　　C. -|3|　　D. (-3) 的相反数 2. 若向东走 5 m 记作 +5 m，则向西走 8 m 记作（　　） A. +8 m　　B. -8 m　　C. +13 m　　D. -3 m 3. 在 -3、0、、-2.5、7、- 这六个数中，负分数有（　　） A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个 4. 下列说法正确的是（　　） A. 0 是最小的正整数　　　　　　　　　B. 0 既不是正数也不是负数 C. 一个数不是正数就是负数　　　　　　D. 有理数只有正数和负数 5. 下列各图中，是数轴的是（　　） 第 5 题参考图 A. 只画了一条直线　　　　　　　　　　B. 有原点、正方向，但各小格长度不同 C. 有原点、正方向和统一的单位长度　　D. 只标了数字，没有箭头 6. -2.5 的相反数是（　　） A. 2.5　　B. -2.5　　C. 　　D. - 7. 若 |x| = 5，则 x 的值是（　　） A. 5　　B. -5　　C. 5 或 -5　　D. 0 8. 下列各数中，绝对值最大的是（　　） A. -4　　B. 3　　C. -　　D. 0 9. 比较大小，正确的是（　　） A. -3 > -2　　B. - < -　　C. 0 < -1　　D. -5 > 2 10. 已知 a 是有理数，则下列结论一定正确的是（　　） A. -a 一定是负数　　B. |a| 一定是正数　　C. |a| ≥ 0　　D. a > -a 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 如果收入 300 元记作 +300 元，那么 -150 元表示 ____________________。 12. 把下列各数填入相应的集合中：-5、0、+3.2、-、100、-2、。 正数集合：{ ____________________ …}； 负整数集合：{ ____________________ …}； 分数集合：{ ____________________ …}。 13. -(-7) = ________；-|-6| = ________；-[-(+4)] = ________。 14. 绝对值小于 3 的所有整数是 ____________________，它们的和是 ________。 15. 若 |a - 2| + |b + 3| = 0，则 a = ________，b = ________。 16. 把 -1、0、-、2、-3 这五个数按从小到大的顺序用「<」连接： ____________________________________。 17. 在数轴上，与表示 -2 的点相距 5 个单位长度的点表示的数是 ________。 18. 若 a 与 b 互为相反数，且 a ≠ 0，则 a + b = ________；|a| ________ |b|（填「>」「<」或「=」）。 三、解答题（共 46 分） 19.（6 分）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列。 -3、　1.5、　0、　-、　2、　-2.5 第 19 题：可在下面自己画一条数轴 20.（6 分）已知 a = -3，b = |-5|，c 是 -2 的相反数。 (1) 分别写出 a、b、c 的值； (2) 求 |a|、|b|、|c| 的值； (3) 把 a、b、c 按从小到大的顺序排列。 21.（8 分）比较下列各组数的大小，并说明理由。 (1) -3 与 -5；　　　　　　(2) - 与 -； (3) -|−2| 与 -(-2)；　　 (4) 0 与 -0.001。 22.（8 分）某地一天早、中、晚的气温分别是 -5 ℃、3 ℃、-2 ℃。 (1) 把这三个温度在数轴上表示出来； (2) 这一天中气温最高的是什么时候？最低的呢？ (3) 最高气温比最低气温高多少摄氏度？（用数轴上两点的距离说明） 23.（8 分）已知 |x| = 4，|y| = 3。 (1) 分别写出 x、y 所有可能的值； (2) 若 x < 0 且 y > 0，写出这时 x、y 的值； (3) 一共有多少组 (x, y)？请把它们全部列出来。 24.（10 分）某检修小组乘汽车沿东西方向的公路检修线路，规定向东为正、向西为负。某天他们从 A 地出发，一天中六次行驶的记录如下（单位：km）： 次序 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 记录 +7 -5 +8 -6 +12 -9 (1) 第 2 次和第 4 次分别向哪个方向行驶了多少千米？ (2) 六次记录中，绝对值最大的是哪一次？它表示什么含义？ (3) 把这六个数按从小到大的顺序排列。 参考答案与解析 一、选择题 1. C　【解析】A：-(-3) = 3，是正数；B：|-3| = 3，是正数；C：-|3| = -3，是负数；D：-3 的相反数是 3，是正数。故选 C。 2. B　【解析】向东与向西是一对具有相反意义的量。向东记作正，则向西记作负，向西走 8 m 记作 -8 m。 3. B　【解析】负分数是小于 0 的分数。-2.5 是负分数（有限小数可化为分数），- 是负分数；-3 是负整数，0 既非正也非负， 是正分数，7 是正整数。故有 2 个。 4. B　【解析】A 错，最小的正整数是 1；C 错，0 既不是正数也不是负数；D 错，有理数包括正数、0 和负数。故选 B。 5. C　【解析】数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度三个要素，且单位长度必须统一。A、B、D 都缺少要素，只有 C 正确。 6. A　【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，-2.5 的相反数是 2.5。 7. C　【解析】绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故 x = 5 或 x = -5。 8. A　【解析】|-4| = 4，|3| = 3，|-| = 3.5，|0| = 0。4 最大，故选 A。 9. B　【解析】A 错，-3 < -2；C 错，0 > -1；D 错，负数小于正数。 B 正确：|-| = = ，|-| = = ， > ，两个负数绝对值大的反而小，所以 - < -。 10. C　【解析】A 错，若 a = -2，则 -a = 2 是正数；B 错，若 a = 0，则 |a| = 0 不是正数； D 错，若 a = -1，则 -a = 1，此时 a < -a。C 正确，绝对值表示距离，一定是非负数。 二、填空题 11. 支出 150 元 【解析】收入与支出是一对具有相反意义的量，收入记作正，支出就记作负。 12. 正数集合：+3.2、100、； 负整数集合：-5、-2； 分数集合：+3.2、-、。 【解析】注意 0 既不是正数也不是负数，不进前两个集合；+3.2 是有限小数，可化为 ，属于分数。 13. 7；-6；4 【解析】-(-7) = 7；|-6| = 6，故 -|-6| = -6；-[-(+4)] = -(-4) = 4。也可用「奇负偶正」快速判断。 14. -2、-1、0、1、2；0 【解析】|a| < 3 表示 a 到原点的距离小于 3，整数只有 -2、-1、0、1、2；它们两两互为相反数（0 除外），和为 0。 15. 2；-3 【解析】|a - 2| ≥ 0，|b + 3| ≥ 0，两个非负数的和为 0，则每一个都必须为 0。由 a - 2 = 0 得 a = 2；由 b + 3 = 0 得 b = -3。 16. -3 < - < -1 < 0 < 2 【解析】先把负数按绝对值排序：|-3| = 3 > |-| = 1.5 > |-1| = 1，绝对值大的反而小，故 -3 < - < -1；再加上 0 和正数 2。 17. 3 或 -7 【解析】要分两个方向讨论：从 -2 向右数 5 个单位得 -2 + 5 = 3；从 -2 向左数 5 个单位得 -2 - 5 = -7。漏掉一个方向是本题最常见的错误。 18. 0；= 【解析】互为相反数的两个数只有符号不同，它们的和为 0；又因为它们到原点的距离相等，所以绝对值相等，|a| = |b|。 三、解答题 19. 数轴表示略（各点位置：-3 在 -3 处，-2.5 在 -2 与 -3 之间，- 在 0 与 -1 之间，0 在原点，1.5 在 1 与 2 之间，2 在 2 处）。 从小到大排列：-3 < -2.5 < - < 0 < 1.5 < 2。 【解析】在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大，按从左到右的顺序读出来即可。 20.（1）a = -3；b = |-5| = 5；c = 2。 （2）|a| = |-3| = 3；|b| = |5| = 5；|c| = |2| = 2。 （3）a < c < b，即 -3 < 2 < 5。 21.（1）-3 > -5。 理由：|-3| = 3，|-5| = 5，3 < 5，两个负数绝对值大的反而小。 （2）- > -。 理由：|-| = ，|-| = ， < ，绝对值小的反而大。 （3）-|-2| < -(-2)。 理由：-|-2| = -2，-(-2) = 2，负数小于正数。 （4）0 > -0.001。 理由：0 大于一切负数。 22.（1）数轴表示略：-5 在原点左边 5 个单位处，-2 在原点左边 2 个单位处，3 在原点右边 3 个单位处。 （2）中午气温最高（3 ℃），早上气温最低（-5 ℃）。 （3）高 8 ℃。 【解析】在数轴上，表示 3 的点与表示 -5 的点之间共有 8 个单位长度，所以最高气温比最低气温高 8 ℃。 23.（1）x = 4 或 x = -4；y = 3 或 y = -3。 （2）x = -4，y = 3。 （3）共有 4 组： (4, 3)、(4, -3)、(-4, 3)、(-4, -3)。 【解析】x 有 2 种取法，y 有 2 种取法，一共 2 × 2 = 4（组）。 24.（1）第 2 次向西行驶了 5 km；第 4 次向西行驶了 6 km。 【解析】记录为负表示向西，绝对值就是行驶的路程。 （2）第 5 次（+12）的绝对值最大，是 12。 它表示这一次向东行驶了 12 km，是六次中行驶路程最长的一次。 （3）-9 < -6 < -5 < +7 < +8 < +12。 【解析】负数都小于正数；三个负数中 |-9| > |-6| > |-5|，绝对值大的反而小，故 -9 < -6 < -5。 四、能力提升训练（选做，不计入总分） 25. 已知有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示（a 在原点左侧，b 在原点右侧，且 |a| > |b|）。 (1) 判断 a、b 的正负； (2) 比较 a、-a、b、-b 这四个数的大小，并用「<」连接； (3) 在数轴上，表示 a 的点与表示 b 的点，哪一个离原点更远？为什么？ 26. 阅读与探究：我们把数轴上表示数 a 的点与表示数 b 的点之间的距离记作「a 与 b 的距离」。 例如：3 与 5 的距离是 2，-2 与 4 的距离是 6。 (1) 求 -7 与 -3 的距离； (2) 若一个数 x 与 2 的距离是 4，求 x 的值； (3) 若一个数 x 与 -1 的距离等于它与 5 的距离，求 x 的值。 27. 已知 |a| = 3，|b| = 5，|c| = 2，且 a < 0 < b，c 是 a 与 b 之间的数。 (1) 写出 a、b 的值； (2) c 有几个可能的值？分别是多少？ (3) 把 a、b、c 三个数按从小到大的顺序排列（分情况写出）。 28. 观察下面一列数：-1、、-、、-、…… (1) 写出第 6 个数和第 7 个数； (2) 这一列数中，第 10 个数的符号是正还是负？绝对值是多少？ (3) 把前 5 个数按从小到大的顺序排列。 能力提升训练　参考答案 25.（1）a 在原点左侧，所以 a < 0（a 是负数）；b 在原点右侧，所以 b > 0（b 是正数）。 （2）a < -b < b < -a。 【解析】设 |a| = 5，|b| = 2（满足 |a| > |b|），则 a = -5，b = 2，-a = 5，-b = -2， 比较得 -5 < -2 < 2 < 5，即 a < -b < b < -a。 （3）表示 a 的点离原点更远。 【解析】绝对值就是到原点的距离，因为 |a| > |b|，所以 a 到原点的距离更大。 26.（1）4。 【解析】-7 与 -3 之间相隔 4 个单位长度，距离为 4。 （2）x = 6 或 x = -2。 【解析】从 2 向右数 4 个单位得 2 + 4 = 6；从 2 向左数 4 个单位得 2 - 4 = -2。 （3）x = 2。 【解析】到 -1 和 5 距离相等的点，正好是这两点的「正中间」。-1 与 5 之间相隔 6 个单位，中点比 -1 大 3，即 -1 + 3 = 2。 27.（1）由 |a| = 3 且 a < 0 得 a = -3；由 |b| = 5 且 b > 0 得 b = 5。 （2）c 有 2 个可能的值：c = 2 或 c = -2。 【解析】由 |c| = 2 得 c = 2 或 c = -2。因为 c 在 a = -3 与 b = 5 之间，而 -3 < -2 < 5，-3 < 2 < 5，两个值都符合要求。 （3）当 c = -2 时：a < c < b，即 -3 < -2 < 5； 当 c = 2 时：a < c < b，即 -3 < 2 < 5。 两种情况下的排列顺序都是 a < c < b。 28.（1）第 6 个数是 ，第 7 个数是 -。 【解析】观察规律：第 n 个数的绝对值是 ；奇数项为负，偶数项为正。 （2）第 10 个数是正数，绝对值是 ，即这个数是 。 （3）-1 < - < - < < 。 【解析】三个负数中，|-1| = 1 > |-| > |-|，绝对值大的反而小；两个正数中 < 。 【复习建议】本章的核心是「用符号刻画量」和「用数轴看数」。复习时可以问自己三个问题：① 这个数是什么类型（正负、整分）？② 它在数轴上的什么位置？③ 它到原点的距离（绝对值）是多少？把这三点想清楚，本章的绝大多数题目都能解决。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $