15.3 等腰三角形 课时作业 2026-2027学年人教版数学八年级 上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质、判定及特殊三角形，通过基础认知-技能应用-综合拓展三层设计，强化推理意识与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义、性质与判定概念|选择填空考查“等边对等角”“三线合一”等基础考点，强化符号语言转化| |技能应用|单一性质/判定应用|解答题分步训练角度计算、简单证明，如已知等腰三角形一角求余角| |综合拓展|分类讨论与跨知识点应用|含30°角直角三角形性质结合三边关系检验，如等腰三角形边长分类计算|

人教版数学八年级上册 第十五章　轴对称 15.3　等腰三角形　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据人教版数学八年级上册第十五章 15.3「等腰三角形」编写，共设四个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　等腰三角形的性质（15.3.1）； 第 2 课时　等腰三角形的判定（15.3.1）； 第 3 课时　等边三角形（15.3.2）； 第 4 课时　含 30° 角的直角三角形与综合运用（15.3.2）。 说明：本节的证明会用到第十四章的全等判定与三角形内角和；凡边或角的位置不确定时，要注意分类讨论并用三角形三边关系检验。 先认识等腰三角形 等腰三角形各部分的名称 15.3　等腰三角形 第 1 课时　等腰三角形的性质 一、知识梳理 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2. 性质 1（等边对等角）： 等腰三角形的两个底角相等，简写成「等边对等角」。 等边对等角：AB = AC ⟶ ∠B = ∠C 符号语言：因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）。 3. 性质 2（三线合一）： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称「三线合一」。 三线合一 这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴。 4. 「三线合一」的三种用法（知一推二）： 已知（AB = AC） 可以得到 AD 平分 ∠BAC BD = CD 且 AD ⊥ BC BD = CD（AD 是中线） AD 平分 ∠BAC 且 AD ⊥ BC AD ⊥ BC（AD 是高） AD 平分 ∠BAC 且 BD = CD 5. 等腰三角形的角的关系：设顶角为 ∠A，底角为 ∠B = ∠C，则 ∠A + 2∠B = 180°，即 ∠B = (180° - ∠A) ÷ 2，∠A = 180° - 2∠B。 6. 等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条对称轴（底边的垂直平分线，也就是「三线合一」的那条线所在的直线）。 【易错警示】 ① 「等边对等角」中相等的是底角，顶角与底角一般不相等。 ② 「三线合一」只对等腰三角形的顶角与底边成立，腰上的中线、高一般不重合。 ③ 已知等腰三角形的一个角求其余角时，若没有说明是顶角还是底角，必须分类讨论。 ④ 分类讨论后要检验：三角形内角和必须是 180°，且每个角都要大于 0°。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 等腰三角形的顶角是 50°，则它的一个底角是（　　） A. 50°　　B. 65°　　C. 80°　　D. 130° 2. 等腰三角形的一个底角是 70°，则它的顶角是（　　） A. 40°　　B. 55°　　C. 70°　　D. 110° 3. 已知等腰三角形的一个角是 40°，则它的顶角是（　　） A. 40°　　B. 100°　　C. 40° 或 100°　　D. 70° 4. 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于 D，则下列结论中不一定成立的是（　　） 第 4 题图 A. BD = CD　　B. ∠BAD = ∠CAD　　C. ∠B = ∠C　　D. AD = BD （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 等腰三角形的两个 ________ 相等，简写成「____________」。 6. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的 ________ 和底边上的 ________ 互相重合，简称「三线合一」。 7. 等腰三角形的顶角是 80°，则它的两个底角分别是 ________ ° 和 ________ °。 8. 等腰三角形的周长是 20 cm，腰长是 7 cm，则底边长是 ________ cm。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，∠B = 55°。 第 9 题图 (1) 求 ∠C 与 ∠BAC 的度数； (2) 求 ∠BAD 的度数； (3) 判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由。 10.（14 分）已知等腰三角形的一个角是 50°。 (1) 若这个角是顶角，求两个底角的度数； (2) 若这个角是底角，求顶角的度数； (3) 由此说明：已知等腰三角形的一个角求其余角时，为什么要分类讨论？ 15.3　等腰三角形 第 2 课时　等腰三角形的判定 一、知识梳理 1. 判定 1（定义）：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 判定 2（等角对等边）（本课时核心）： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成「等角对等边」。 等角对等边：∠B = ∠C ⟶ AB = AC 符号语言：因为 ∠B = ∠C，所以 AB = AC（等角对等边）。 3. 性质与判定的对比（互为逆命题）： 已知条件 得到结论 性质 两条边相等（AB = AC） 两个角相等（∠B = ∠C） 判定 两个角相等（∠B = ∠C） 两条边相等（AB = AC） 4. 判定的证明思路：作顶角的平分线 AD， 在 △ABD 与 △ACD 中，∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，AD = AD（公共边）， 所以 △ABD ≌ △ACD（AAS），故 AB = AC。 5. 判定等腰三角形的常用途径： ① 直接由两边相等；② 由两角相等（等角对等边）； ③ 由角平分线 + 平行线（常产生相等的角），进而得到等腰三角形。 【易错警示】 ① 「等边对等角」是性质，「等角对等边」是判定，条件与结论正好相反。 ② 用「等角对等边」时要看清楚：相等的两个角所对的边才相等。 ③ 证明某三角形是等腰三角形，只需证明它有两个角相等或两条边相等，不必三条边都比。 ④ 三角形内角和是求角相等的常用工具，别忘了用。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 「如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等」，这句话是等腰三角形的（　　） A. 定义　　B. 性质　　C. 判定　　D. 作法 2. 如图，在 △ABC 中，∠B = ∠C，则一定有（　　） 第 2 题图 A. AB = AC　　B. AB = BC　　C. AC = BC　　D. 三边都相等 3. 在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 65°，则 △ABC（　　） A. 是等腰三角形，AB = AC　　　　　　B. 是等腰三角形，CA = CB C. 是等腰三角形，BA = BC　　　　　　D. 不是等腰三角形 4. 证明「等角对等边」时，常用的辅助线与全等判定方法是（　　） A. 作顶角平分线，用 AAS　　　　　　　B. 作底边中线，用 SSS C. 作底边上的高，用 HL　　　　　　　 D. 不需要辅助线 （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 ____________ 的边也相等，简写成「____________」。 6. 等腰三角形的性质与判定互为 ________ 命题。 7. 在 △ABC 中，若 ∠A = ∠B = 40°，则 ________ = ________，△ABC 是 ____________ 三角形。 8. 在 △ABC 中，∠A = 100°，∠B = 40°，则 ∠C = ________ °，因此 ________ = ________。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，在 △ABC 中，∠B = ∠C。 第 9 题图 (1) 作顶角 ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，求证：△ABD ≌ △ACD； (2) 求证：AB = AC； (3) 说明(2)的结论就是等腰三角形的哪一条结论。 10.（14 分）在 △ABC 中，∠A = 36°，∠B = 72°。 (1) 求 ∠C 的度数； (2) 判断 △ABC 是不是等腰三角形，若是，指出哪两条边相等，并说明理由； (3) 若 AB = 10 cm，直接写出与它相等的那条边的长。 15.3　等腰三角形 第 3 课时　等边三角形 一、知识梳理 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形 2. 性质： ① 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； ② 等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴； ③ 三线合一对三条边都成立。 3. 判定（三条，任选其一即可）： ① 三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 4. 判定 ③ 的两种情形都成立： 若 60° 的角是顶角，则两底角都是 (180° - 60°) ÷ 2 = 60°； 若 60° 的角是底角，则另一底角也是 60°，顶角也是 60°。 两种情形下三个角都是 60°，所以都是等边三角形。 5. 等边三角形的常用结论： 设边长为 a，则周长为 3a；三条角平分线、中线、高互相重合。 【易错警示】 ① 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 ② 判定 ③ 中「一个角是 60°」不必指明是顶角还是底角，两种情形都成立。 ③ 「三个角相等」可判定等边，但「两个角相等」只能判定等腰。 ④ 等边三角形有 3 条对称轴，等腰三角形（非等边）只有 1 条。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 等边三角形的每一个内角都等于（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 90° 2. 下列条件中，不能判定一个三角形是等边三角形的是（　　） A. 三条边都相等　　　　　　　　　　　B. 三个角都相等 C. 有一个角是 60° 的等腰三角形　　　 D. 有两个角相等的三角形 3. 等边三角形的对称轴共有（　　） A. 1 条　　B. 2 条　　C. 3 条　　D. 无数条 4. 已知等腰三角形的顶角是 60°，则这个三角形（　　） A. 是等边三角形　　　　　　　　　　　B. 是直角三角形 C. 是钝角三角形　　　　　　　　　　　D. 形状无法确定 （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 三条边都相等的三角形叫做 ____________，它的每个内角都是 ________ °。 6. 有一个角是 ________ 的等腰三角形是等边三角形。 7. 等边三角形的边长是 6 cm，则它的周长是 ________ cm。 8. 等边三角形有 ________ 条对称轴，一般的等腰三角形有 ________ 条对称轴。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，△ABC 是等边三角形。 第 9 题图 (1) 求 ∠A、∠B、∠C 的度数，并说明理由； (2) 若 AB = 5 cm，直接写出 BC、CA 的长与 △ABC 的周长； (3) 画出 △ABC 的所有对称轴（描述即可），共有几条？ 10.（14 分）已知在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 60°。 (1) 求 ∠B 与 ∠C 的度数； (2) 判断 △ABC 的形状，并说明理由； (3) 若把条件改为「AB = AC，∠B = 60°」，结论是否相同？请说明理由。 15.3　等腰三角形 第 4 课时　含 30° 角的直角三角形与综合运用 一、知识梳理 1. 含 30° 角的直角三角形的性质（本课时核心）： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 30° 角所对的直角边等于斜边的一半 2. 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，则 BC = AB（或 AB = 2BC）。 3. 性质的由来：把两个这样的直角三角形拼在一起，可以得到一个等边三角形，所以 30° 角所对的直角边是斜边的一半。 4. 常见的三角形角度与边的对应： 在含 30° 角的直角三角形中，三个角依次是 30°、60°、90°； 30° 所对的边最短，等于斜边的一半。 5. 等腰三角形问题的两大注意点： ① 分类讨论：已知一边（或一角）而未指明是腰（顶角）还是底（底角）时，必须分两种情况； ② 检验：分类后要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）或内角和 180° 检验，舍去不合理的情况。 【易错警示】 ① 这条性质的前提是直角三角形且有一个角是 30°，缺一不可。 ② 是「30° 角所对的直角边」等于斜边的一半，不要弄错是哪条边。 ③ 已知等腰三角形两边长求周长时，两种分类都要用三边关系检验，常常要舍去一种。 ④ 已知一个角求其余角时，若这个角是钝角，它只能是顶角（因为两个底角相等且和小于 180°）。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 10 cm，则 BC 的长为（　　） A. 3 cm　　B. 5 cm　　C. 10 cm　　D. 20 cm 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 60°，BC = 4 cm，则 AB 的长为（　　） A. 2 cm　　B. 4 cm　　C. 8 cm　　D. 12 cm 3. 等腰三角形的两边长分别是 3 cm 和 7 cm，则它的周长是（　　） A. 13 cm　　B. 17 cm　　C. 13 cm 或 17 cm　　D. 无法确定 4. 等腰三角形的一个角是 120°，则它的底角是（　　） A. 30°　　B. 60°　　C. 120°　　D. 30° 或 120° （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ____________。 6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 6 cm，则 AB = ________ cm。 7. 等腰三角形的两边长分别是 4 cm 和 9 cm，则它的周长是 ________ cm。 8. 等腰三角形的周长是 18 cm，其中一边长是 4 cm，则它的腰长是 ________ cm。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 12 cm。 第 9 题图 (1) 求 ∠B 的度数； (2) 求 BC 的长，并说明理由； (3) 若取 AB 的中点 M，连接 CM，试判断 △BCM 的形状，并说明理由。 10.（14 分）已知等腰三角形的两边长分别是 5 cm 和 11 cm。 (1) 若 5 cm 是腰长，求周长，并检验是否合理； (2) 若 11 cm 是腰长，求周长，并检验是否合理； (3) 综合(1)(2)，写出这个等腰三角形的周长。 参考答案与解析 第 1 课时　等腰三角形的性质 一、选择题 1. B　【解析】两个底角相等，设底角为 x°，则 50 + 2x = 180，2x = 130，x = 65。 2. A　【解析】两个底角都是 70°，顶角 = 180° - 70° × 2 = 40°。 3. C　【解析】需分类讨论： 若 40° 是顶角，则顶角就是 40°； 若 40° 是底角，则另一底角也是 40°，顶角 = 180° - 80° = 100°。 两种情况都合理，故顶角是 40° 或 100°。 4. D　【解析】AB = AC 且 AD ⊥ BC，由「三线合一」得BD = CD、∠BAD = ∠CAD；由「等边对等角」得 ∠B = ∠C； 而 AD 与 BD 是不同的两条线段，没有依据说明它们相等，故 D 不一定成立。 二、填空题 5. 底角；等边对等角 6. 中线；高 7. 50；50 【解析】(180° - 80°) ÷ 2 = 50°。 8. 6 【解析】两腰共 7 × 2 = 14（cm），底边 = 20 - 14 = 6（cm）。 检验：7 + 7 > 6，7 + 6 > 7，符合三边关系。 三、解答题 9.（1）因为 AB = AC，由「等边对等角」得 ∠C = ∠B = 55°； 由三角形内角和得 ∠BAC = 180° - 55° - 55° = 70°。 （2）AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠BAC = 35°。 （3）AD ⊥ BC。 【理由】在等腰三角形 ABC 中，AD 是顶角 ∠BAC 的平分线， 由「三线合一」知 AD 也是底边 BC 上的高，所以 AD ⊥ BC。 （也可由 △ABD ≌ △ACD 得 ∠ADB = ∠ADC = 90°。） 10.（1）设底角为 x°，则 50 + 2x = 180，2x = 130，x = 65， 即两个底角都是 65°。 （2）两个底角都是 50°，顶角 = 180° - 50° × 2 = 80°。 （3）因为题目只说「一个角是 50°」，没有指明它是顶角还是底角， 两种情况下所得的其余角完全不同（65°、65° 与 80°）， 都符合三角形内角和 180°，所以必须分类讨论，否则会漏解。 第 2 课时　等腰三角形的判定 一、选择题 1. C　【解析】条件是「两角相等」，结论是「两边相等」，由角推边，属于判定。 2. A　【解析】∠B 与 ∠C 所对的边分别是 AC 与 AB，由「等角对等边」得 AB = AC。 3. A　【解析】由内角和得 ∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，所以 ∠B = ∠C = 65°。 ∠B 所对的边是 AC，∠C 所对的边是 AB，由「等角对等边」得 AB = AC，故选 A。 【找边小技巧】某个角所对的边，就是不含这个角顶点字母的那条边：∠B 对 AC，∠C 对 AB。 4. A　【解析】证明「等角对等边」时，通常作顶角的平分线 AD，再由 ∠B = ∠C、∠BAD = ∠CAD、AD = AD 用 AAS 证全等。 二、填空题 5. 所对；等角对等边 6. 逆 7. BC；AC；等腰 【解析】∠A 所对的边是 BC，∠B 所对的边是 AC，由「等角对等边」得 BC = AC。 8. 40；CB；AB 【解析】∠C = 180° - 100° - 40° = 40°，所以 ∠B = ∠C = 40°， ∠B 所对的边是 AC，∠C 所对的边是 AB，故 AC = AB。 （写成 CB = AB 不正确，正确答案是 AC = AB。） 三、解答题 9.（1）证明：因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠CAD。 在 △ABD 和 △ACD 中， ∠B = ∠C（已知）， ∠BAD = ∠CAD（已证）， AD = AD（公共边）， 所以 △ABD ≌ △ACD（AAS）。 （2）由(1)得 AB = AC（全等三角形的对应边相等）。 （3）这就是等腰三角形的判定，即「等角对等边」： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 10.（1）∠C = 180° - 36° - 72° = 72°。 （2）是等腰三角形，其中 AB = AC。 【理由】∠B = ∠C = 72°，∠B 所对的边是 AC，∠C 所对的边是 AB， 由「等角对等边」得 AB = AC。 （3）若 AB = 10 cm，则 AC = 10 cm。 第 3 课时　等边三角形 一、选择题 1. C　【解析】等边三角形三个角相等，由内角和得每个角 = 180° ÷ 3 = 60°。 2. D　【解析】两个角相等只能判定是等腰三角形，不能判定是等边三角形。A、B、C 都是等边三角形的判定方法。 3. C　【解析】等边三角形有 3 条对称轴，分别是三条边的垂直平分线（也是三条角平分线所在的直线）。 4. A　【解析】顶角 60° 的等腰三角形，两底角都是 (180° - 60°) ÷ 2 = 60°，三个角都是 60°，所以是等边三角形。 二、填空题 5. 等边三角形；60 6. 60° 7. 18 【解析】周长 = 6 × 3 = 18（cm）。 8. 3；1 三、解答题 9.（1）∠A = ∠B = ∠C = 60°。 【理由】等边三角形三边都相等，由「等边对等角」得三个角都相等； 再由三角形内角和 180° 得每个角都是 180° ÷ 3 = 60°。 （2）BC = CA = 5 cm，周长 = 5 × 3 = 15（cm）。 （3）共有 3 条对称轴，分别是三条边的垂直平分线（也就是过每个顶点的角平分线所在的直线）。 10.（1）因为 AB = AC，由「等边对等角」得 ∠B = ∠C； 又 ∠A = 60°，由内角和得 ∠B = ∠C = (180° - 60°) ÷ 2 = 60°。 （2）△ABC 是等边三角形。 【理由】三个角都是 60°，三个角相等的三角形是等边三角形； 也可以说：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 （3）结论相同，仍是等边三角形。 【理由】AB = AC 时 ∠B = ∠C = 60°，于是 ∠A = 180° - 60° - 60° = 60°， 三个角都是 60°，所以仍是等边三角形。 这说明判定「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」中，这个 60° 的角是顶角还是底角都可以。 第 4 课时　含 30° 角的直角三角形与综合运用 一、选择题 1. B　【解析】∠A = 30°，它所对的直角边是 BC，所以 BC = AB = × 10 = 5（cm）。 2. C　【解析】∠C = 90°，∠B = 60°，所以 ∠A = 30°。 ∠A 所对的直角边是 BC，所以 BC = AB，即 AB = 2BC = 2 × 4 = 8（cm）。 3. B　【解析】需分类讨论并用三边关系检验： 若 3 cm 是腰，则三边为 3、3、7，而 3 + 3 = 6 < 7，不能构成三角形，舍去； 若 7 cm 是腰，则三边为 7、7、3，符合三边关系，周长 = 7 + 7 + 3 = 17（cm）。 4. A　【解析】120° 是钝角，只能是顶角（若它是底角，两个底角之和就已超过 180°）。 所以底角 = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°。 二、填空题 5. 斜边的一半 6. 12 【解析】∠A = 30° 所对的直角边是 BC，所以 BC = AB，AB = 2BC = 12（cm）。 7. 22 【解析】若 4 cm 是腰：4、4、9，而 4 + 4 = 8 < 9，舍去； 若 9 cm 是腰：9、9、4，符合三边关系，周长 = 9 + 9 + 4 = 22（cm）。 8. 7 【解析】若 4 cm 是腰，则底边 = 18 - 8 = 10（cm），而 4 + 4 = 8 < 10，舍去； 若 4 cm 是底边，则两腰共 14 cm，腰长 = 7 cm，检验 7 + 7 > 4、7 + 4 > 7，符合。 三、解答题 9.（1）∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。 （2）BC = 6 cm。 【理由】在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，它所对的直角边是 BC， 由「30° 角所对的直角边等于斜边的一半」得 BC = AB = × 12 = 6（cm）。 （3）△BCM 是等边三角形。 【理由】M 是 AB 的中点，所以 BM = AB = 6（cm）； 由(2)得 BC = 6 cm，所以 BM = BC，△BCM 是等腰三角形； 又 ∠B = 60°，由「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」得 △BCM 是等边三角形。 10.（1）若 5 cm 是腰长，则三边为 5 cm、5 cm、11 cm， 检验：5 + 5 = 10 < 11，不满足三边关系，这种情况不合理，舍去。 （2）若 11 cm 是腰长，则三边为 11 cm、11 cm、5 cm， 检验：11 + 11 > 5，11 + 5 > 11，满足三边关系，合理， 周长 = 11 + 11 + 5 = 27（cm）。 （3）这个等腰三角形的周长是 27 cm。 【方法总结】已知等腰三角形的两边长求周长时，一定要「先分类、再检验」，用三边关系舍去不合理的情况。 【学后反思】本节的知识可以串成一条线：等腰三角形（等边对等角、三线合一）→ 等角对等边 → 等边三角形 → 含 30° 角的直角三角形。解题时牢记两句话：一是「性质由边推角，判定由角推边」；二是「位置不明先分类，分类之后要检验」——用三角形内角和检验角，用三边关系检验边。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $