15.3 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形定义、性质（三线合一）、轴对称|单选题1-3直接考查折叠性质、全等应用，填空题11-13强化等边判定与角度计算| |中档|性质与判定综合、角平分线/平行线结合|单选题6-8涉及角平分线+平行线得等腰三角形，解答题17周长计算体现转化思想| |提升|动态问题、多结论判断、实际应用|单选题9-10动态等腰三角形存在性、多结论推理，填空题15结合最短路径构建数学模型|

15.3 等腰三角形 课后同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 5．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合 C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条 D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形 6．如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 7．如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①连接，，则；②；③；④平分；⑤．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 12．在中，已知，，则的取值范围是_____． 13．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 14．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，，与交于点G，若，则的长为________． 15．如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短． 三、解答题 16．如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点B与点C重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：． 17．已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． (1)找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； (2)如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 18．如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向． （1）求的度数； （2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度． 19．如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． (1)画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）； (2)在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标． 20．如图，在中，，，为上一点，， (1)求证：； (2)延长交于，连接，且． ①求证：为边的垂直平分线； ②直接写出线段与之间的数量关系． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B A D B C C D 1．【答案】D 【知识点】三线合一、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】等边对等角、全等三角形的性质 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查轴对称图形的性质及等腰三角形的特性．根据以上知识逐一判断各选项的正确性，注意对称轴是直线，而三角形的角平分线是线段即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，而三角形的角平分线是线段，不是直线，∴ A选项错误．符合题意． ∵ 关于某直线对称的两个图形可以沿着该直线翻折即可重合，∴ B选项正确．不符合题意． ∵ 轴对称图形的对称轴可能有多条，如圆有无数条对称轴，∴ C选项正确．不符合题意． ∵ 两个全等三角形组成的图形可能不对称，∴ D选项正确．不符合题意． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查求三角形周长，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 先由角平分线定义及平行线的性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质确定，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案． 【详解】解： 平分， ， 平分， ， ， ，， ，， 即， ， ， 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查的是角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形性质与全等三角形判定的综合运用．灵活运用垂直平分线的性质可得，结合角平分线的性质可得，再利用含角的直角三角形性质推导，最后通过全等三角形推导，而平分无法由题干条件直接推出． 【详解】解：如图，连接，， 垂直平分， ， ①正确； 平分，，， ， ②正确； ，平分， ， ， ， ， 同理得，， ， ③正确； 由题意得，， ， 假设平分， ， 和重合， 但仅当时，它们才重合，而题中也不能证得一定等， 不能判断一定平分， ④错误； 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确． 故选：． 11．【答案】等边三角形 【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 12．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．【答案】60 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 14．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，进而求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．【答案】100 【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答． 利用相似三角形的性质求解EC即可． 【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米， 延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点． 延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°， ∴△A1HB1是等腰直角三角形， ∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°， ∴∠A1CE=45°， ∴EC=A1E=100， ∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短， 故答案为：100． 【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键． 16．【答案】 证明：∵沿直线平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】利用平移的性质求解、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定，掌握这两个知识点是关键；由平移的性质得；由得，进而可证明结论成立． 【详解】略 17．【答案】(1)△BDF和△CEF是等腰三角形，说明见解析； (2)5. 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据平行线的判定得DB＝DF，EF＝EC，即可证得△BDF和△CEF是等腰三角形； （2）根据三角形的定义得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AE． 【详解】（1）解：∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF和△CEF是等腰三角形； （2）∵DB＝DF，EF＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝AD+DF+EF+AE ＝AD+BD+EC+AE ＝AB+AC ＝3+2 ＝5， △ADE的周长是5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 18．【答案】（1）70°；（2）15km/h 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题 【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB； （2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°， ∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°； （2）∵∠BAC=∠ACB=70°， ∴BC=AB=75km， ∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）． 【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键． 19．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键． （1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可； （2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，这时最短，则周长最短，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，关于x轴的对称图形． （2）如图所示：C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点， 有， 则，此时最短， ∵ ， ∴此时周长最短． 由图形可知，点P的坐标为． 20．【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）先证明是等边三角形，利用即可证明； （2）①利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； ②利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴； （2）①证明：∵，， ∴点B，F均在边的垂直平分线上， ∴为边的垂直平分线； ②解：． 由（2）①可知且平分， ∴为等边三角形中边上的高， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $