10.3直线与平面间的位置关系（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学“直线与平面间的位置关系”核心知识点，系统梳理线面平行、垂直的判定与性质定理，线面角计算及三垂线定理应用，形成从概念理解到定理掌握再到综合应用的递进学习支架。 资料通过13类题型的典例与变式题，结合上海等地阶段检测实例，培养学生逻辑推理（数学思维）与空间想象（数学眼光）能力，符号与图形结合强化数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺。

10.3 直线与平面间的位置关系 教学目标 1.理解直线与平面的三类位置关系 2.掌握线面平行.线面垂直的判定与性质定理 3.会求解直线与平面所成角 4.会简单运用三垂线定理 5.提升空间想象与逻辑推理论证能力 教学重难点 重点.线面平行.线面垂直的判定与性质.线面角计算 难点.定理条件甄别.线面角射影寻找.三垂线定理的应用 知识点01 线面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的_一条直线_____平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α， ⇒__ ____ 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与__交线____平行 ，a⊂β， α∩β＝b ⇒______ 知识点02 直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线____平行_____ 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线_______垂直，那么该直线与此平面垂直 知识点03 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α__相交______，但不与平面α___垂直_____，则直线l称为平面α的一条斜线．    斜足 斜线l与平面α的交点A称为斜足． 投影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影． 直线与 平面所 成的角 （1）平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． （2）直线与平面所成的角θ的取值范围是__________． 知识点04 三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果__平面内 ______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的__射影______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条__斜线______在该平面内的___射影_____垂直． 题型01 线面关系有关命题的判断 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【变式1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【变式2】（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是___________. 题型02 判断线面平行 【典例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是_________． 题型03 证明线面平行 【典例1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明： 平面. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线 平面.    题型04 线面平行的性质 【典例1】如图，在四棱台中，平面ABCD, ，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【变式1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【变式3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 题型05 由线面平行判断点的位置 【典例1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【变式2】（23-24高三上·河南·阶段检测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且 平面，则__________. 【变式3】（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型06 判断线面是否垂直 【典例1】（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 题型07 证明线面垂直 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【变式1】（25-26高二上·广西·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 题型08 线面垂直的存在性 【典例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【变式1】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【变式2】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 题型09 线面垂直的性质及其应用 【典例1】（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：； (2)求证：平面． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【变式3】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为______. 题型10 求点/直线到平面的距离 【典例1】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为______. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 题型11 求线面角 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为__________． 【变式1】（25-26高一下·上海·期末）已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为__________． 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【变式3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    题型12 由线面角求其他量 【典例1】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【变式2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【变式3】（23-24高二下·上海·阶段检测）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 题型13 求线面角最值与范围 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）设直线与平面斜交于点，动点且不与重合，若直线与平面所成角为，则直线与直线所成角的取值范围是__________. 【变式1】已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______. 【变式2】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【变式3】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 1．如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 2．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 3．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    5．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.求证:平面MCD; 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，已知是上一点，试确定点的位置，使、、三点所确定的平面与长方体的对角线平行．    8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，点为的中点. (1)求证:直线平面； (2)求点与平面的距离. 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 10．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直四棱柱中， ，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 12．（25-26高一下·上海·期末）已知是棱长为的正方体，为该正方体表面上的一个动点．若，则动点的轨迹长度为__________． 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形， ，点为棱上一点，满足 则下列结论正确的个数为（     ） ①平面； ②在棱上不存在点，使得平面； ③当 时，异面直线与所成角的余弦值为 ④点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（23-24高二下·上海·阶段检测）如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 15．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 16．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.    ① ②； ③； ④. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 直线与平面间的位置关系 教学目标 1.理解直线与平面的三类位置关系 2.掌握线面平行.线面垂直的判定与性质定理 3.会求解直线与平面所成角 4.会简单运用三垂线定理 5.提升空间想象与逻辑推理论证能力 教学重难点 重点.线面平行.线面垂直的判定与性质.线面角计算 难点.定理条件甄别.线面角射影寻找.三垂线定理的应用 知识点01 线面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的_一条直线_____平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α， ⇒__ ____ 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与__交线____平行 ，a⊂β， α∩β＝b ⇒______ 知识点02 直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线____平行_____ 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线_______垂直，那么该直线与此平面垂直 知识点03 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α__相交______，但不与平面α___垂直_____，则直线l称为平面α的一条斜线．    斜足 斜线l与平面α的交点A称为斜足． 投影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影． 直线与 平面所 成的角 （1）平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． （2）直线与平面所成的角θ的取值范围是__________． 知识点04 三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果__平面内 ______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的__射影______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条__斜线______在该平面内的___射影_____垂直． 题型01 线面关系有关命题的判断 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 【变式1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 【变式2】（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是___________. 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 题型02 判断线面平行 【典例1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定和性质即可得出判断. 【详解】直线和平面，且， 若，则可能成立，也有可能， 若，又由，此时推不出直线； 所以是的既不充分也不必要条件, 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系． 【详解】因为，，，则， 所以“”是“”的必要条件； 因为，，， 所以，且，所以， 所以“”是“”的充分条件； 则“”是“”的充要条件． 故选：C． 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是_________． 【答案】平行或相交. 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 题型03 证明线面平行 【典例1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明： 平面. 【答案】(1) (2) 由（1）知：，平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （2）根据线面平行的判定定理证明线面平行. 【详解】（1）连接，如图： 因为，分别为，的中点，所以， 又为正方体，所以， 所以. 所以即为异面直线与所成的角. 又为等边三角形，所以. 即异面直线与所成角为. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知 平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面.       【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线 平面.    【答案】 在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线 平面. 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 题型04 线面平行的性质 【典例1】如图，在四棱台中，平面ABCD, ，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行. 【详解】 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . 【变式1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【详解】证明： ， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 【变式3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【详解】证明： ， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 题型05 由线面平行判断点的位置 【典例1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 【变式2】（23-24高三上·河南·阶段检测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且 平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案． 【详解】设，连接， 由于 平面，平面，平面平面， 则， 由于,,所以， 所以． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值，即可得到的值. 【详解】（1）    过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）    假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以，所以 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 题型06 判断线面是否垂直 【典例1】（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值，即可得到的值. 【详解】（1）    过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）    假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以，所以 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解. 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 题型07 证明线面垂直 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解. 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·广西·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【答案】(1) 因为平面，平面， 所以.        因为，， 所以.             又，平面， 所以平面； (2). 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出； （2）应用线线平行得出是异面直线和所成的角或其补角，再应用边长得出角即可. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接和. 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，，. 故为等腰直角三角形. 于是有，则， 所以是异面直线和所成的角或其补角，     由勾股定理易知，所以，     即异面直线和所成的角为. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明：平面，且平面 又，，平面，故平面. (2)证明：且平面，不在平面上，平面， 又 平面，平面平面， ，且， . 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明：平面，且平面 又，，平面，故平面. (2)证明：且平面，不在平面上，平面， 又 平面，平面平面， ，且， . 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 题型08 线面垂直的存在性 【典例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 【变式1】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1) 证明：连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. (2)存在， (3) 【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论； （2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长； （3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知. 【详解】（1）略 （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 【变式2】已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1) 证明：连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. (2)存在， (3) 【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论； （2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长； （3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知. 【详解】（1）略 （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【详解】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 题型09 线面垂直的性质及其应用 【典例1】（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【分析】由平面ABC可得，，，再结合可得，为等腰直角三角形，进而分为直角顶点、为直角顶点，两种情况讨论求解即可. 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明: 连接，交于点，因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 又因为平面，所以 (2)证明： 取的中点，连接，， 又为的中点，有，， 已知，， 则有，，四边形为平行四边形， 有，即有， 平面，平面，所以平面． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【答案】/ 【分析】设S在底面的投影为O，取的中点，设，先证明平面，可得动点P在的三条边上（不包含点），进而求解即可. 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为______. 【答案】. 【分析】先利用的底面为菱形和底面，得到平面，从而得到；在上取点，使得，结合点是线段上靠近的三等分点，得到，故；在上取点，使得，通过题中条件证得，得到，从而推导出，根据线面垂直的判定定理得到平面，这样就得到了的三边即为点的轨迹，再分别求出三边的长度即可得解. 【详解】四棱柱的底面为菱形，， 底面， ， 又平面， 平面， 平面， ， 在上取点，使得，连接， 点是线段上靠近的三等分点，则， ， 在上取点，使得，设与的交点为，连接， ，，， 由余弦定理得，在中， ，， ， 在中， ，，， ，， ，， ， ，，， ， 又，平面，平面， 平面， 的三边即为点的轨迹， 点是线段上靠近的三等分点， ，在中，，在中，， 又 ，， 是等边三角形， ，则动点的轨迹长度为. 故答案为：. 题型10 求点/直线到平面的距离 【典例1】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为______. 【答案】. 【分析】先利用的底面为菱形和底面，得到平面，从而得到；在上取点，使得，结合点是线段上靠近的三等分点，得到，故；在上取点，使得，通过题中条件证得，得到，从而推导出，根据线面垂直的判定定理得到平面，这样就得到了的三边即为点的轨迹，再分别求出三边的长度即可得解. 【详解】四棱柱的底面为菱形，， 底面， ， 又平面， 平面， 平面， ， 在上取点，使得，连接， 点是线段上靠近的三等分点，则， ， 在上取点，使得，设与的交点为，连接， ，，， 由余弦定理得，在中， ，， ， 在中， ，，， ，， ，， ， ，，， ， 又，平面，平面， 平面， 的三边即为点的轨迹， 点是线段上靠近的三等分点， ，在中，，在中，， 又 ，， 是等边三角形， ，则动点的轨迹长度为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 【答案】 【分析】过点作，过点作，垂足为,可以证明 平面MBCN,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得. 【详解】 如图，过点作，分别交和于,连接,, 过点作，垂足为,∵，，∴， ∴平面与平面重合, ∵直棱柱，∴平面, 又平面,∴,又∵，且, ∴平面, ∵,∴,又∵,∴, 在三角形中，,. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 题型11 求线面角 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为__________． 【答案】/0.8 【分析】先由侧面积公式求出正六棱柱的高，再确定最长体对角线在底面的射影长度，最后结合线面角的定义计算其余弦值. 【详解】由题意得正六棱柱每个侧面的面积为，则其高， 在边长为的正六边形中，最长对角线穿过中心，其长度恰好是边长的倍， 即最长的体对角线在底面的投影长度为， 则最长体对角线长度， 因为底面，所以为最长的体对角线与底面所成的角， 则. 【变式1】（25-26高一下·上海·期末）已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为__________． 【答案】/0.8 【分析】先由侧面积公式求出正六棱柱的高，再确定最长体对角线在底面的射影长度，最后结合线面角的定义计算其余弦值. 【详解】由题意得正六棱柱每个侧面的面积为，则其高， 在边长为的正六边形中，最长对角线穿过中心，其长度恰好是边长的倍， 即最长的体对角线在底面的投影长度为， 则最长体对角线长度， 因为底面，所以为最长的体对角线与底面所成的角， 则. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【答案】 【分析】为中点，直线与平面所成角为，求出角的正切值，可得角的大小. 【详解】为中点，连接，    又为的中点，所以，由，得， 平面，平面，， 平面，，所以平面， 直线与平面所成角为， 中，，， . 因此，直线与平面所成角为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【答案】 【分析】为中点，直线与平面所成角为，求出角的正切值，可得角的大小. 【详解】为中点，连接，    又为的中点，所以，由，得， 平面，平面，， 平面，，所以平面， 直线与平面所成角为， 中，，， . 因此，直线与平面所成角为. 故答案为：. 题型12 由线面角求其他量 【典例1】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解． 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段检测）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 【答案】 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 题型13 求线面角最值与范围 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）设直线与平面斜交于点，动点且不与重合，若直线与平面所成角为，则直线与直线所成角的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据线面角的定义可知与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，直线所成角的定义知最大角为直角. 【详解】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为相交直线，则直线与所成角的最大值为， 故直线与直线所成角的取值范围是. 【变式1】已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______. 【答案】 【分析】取的中点为，连接，则可知，即为直线与平面所成的角.设边长为2，，，表示出.在以及中，根据勾股定理得出，进而求出.令，，然后根据对勾函数的单调性，求出的值域，即可得出答案. 【详解】    如图，取的中点为，连接，则可知， 所以，即为直线与平面所成的角. 设边长为2，则，设，，， 则，，. 因为，所以. 又是的中点，所以. 又 ， 所以有，整理可得. 因为，，所以有. 在中，有. 令，， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递减. 又，， 所以， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：取的中点为，连接，则可知，即可得出即为直线与平面所成的角. 【变式2】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1) 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【变式3】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1) 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 1．如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)正确，理由见解析； (3)正确，理由见解析； (4)错误，理由见解析； (5)错误，理由见解析； 【分析】先证明，根据线面平行判定定理证明（2）（3）；由条件平面，平面，结合线面平行定义证明（4）（5）． 【详解】（1）由于为的中点，为的中点，则，正确； （2）由于， 平面，平面，则平面，正确； （3）由于，平面，平面，则平面，正确； （4）由于平面，平面错误； （5）由于平面，平面错误； 2．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 【答案】平行或异面 【分析】由直线与直线没有公共点可得结论. 【详解】由直线平面得直线与平面没有公共点， 由直线在平面内可知直线与直线没有公共点，故直线与直线的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面. 3．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【分析】由 ，可知四点共面，结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以 平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【答案】 由题意可知，对角面是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【分析】由题意可知对角面是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】略 5．（第03讲直线、平面平行的判定与性质（八大题型）（讲义））如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.求证:平面MCD; 【答案】 取PA的中点S，连接SM，SC，如图所示： 又因为为PB的中点， 所以，又， 所以， 故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD， 因此平面MCD； 【分析】根据线段比例关系作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】略 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 【答案】 取的中点为，接，如下图所示： 则， 而，故， 故四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面， 所以平面. 【分析】取的中点，可证明为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可得出结论. 【详解】略 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，已知是上一点，试确定点的位置，使、、三点所确定的平面与长方体的对角线平行．    【答案】点E是的中点 【分析】由线面平行的性质可得结论. 【详解】连接交于，连接，    若平面，平面，平面平面， 则，由长方体可知是的中点， 所以是的中点. 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，点为的中点. (1)求证:直线平面； (2)求点与平面的距离. 【答案】(1) 如图所示，设和交于点，则为的中点，联结， 是的中点，， 又平面平面， 直线平面. (2) 【分析】（1）根据空间中点线面位置关系，通过长方体的性质和三角形中位线的性质，证明线面平行； （2）根据点到平面的距离定义，先证明线面垂直，找到点到面的距离，根据勾股定理，求出结果皆可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以四边形是正方形，所以， 由正方体性质可得，又，面，面， 所以平面， 则点与平面的距离为， ； 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由线面垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （2）利用垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （3）设，由线面垂直得到距离，由距离为求得的值. 【详解】（1）作于，由平面，得， ，，平面，则， 又，平面，即的长为点到平面的距离， 也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，， 直线到平面的距离为； （2） 作于，则的长即为点到的距离， 在中，，，， ， 即点到直线的距离为； （3） 在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 证明如下: 假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 过于，在中，， 可得，，则， 由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可， ，，在中，由余弦定理可得， 若，在中， 即，解得， 即在上存在一点，当时，， 又，，平面，得， 又，，平面， 即点到平面的距离为，满足条件. 故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 10．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明：在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. (2)证明：在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解. 【详解】（1）略； （2）略. 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直四棱柱中， ，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 取的中点，连接， 因该几何体为直四棱柱，平面ABCD， 因平面，则， ，，， ，，，则四边形ABED为正方形，， ， ， ，，，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出； （2）求证平面，将问题转化为求的大小即可. 【详解】（1）略 （2）因平面ABCD，平面，则， 因，，平面，则平面， 则为直线与平面所成的角， 在矩形中，，则， 则直线与平面所成的角为. 12．（25-26高一下·上海·期末）已知是棱长为的正方体，为该正方体表面上的一个动点．若，则动点的轨迹长度为__________． 【答案】 【分析】由动点满足，先在正方体中找到过且与体对角线垂直的一个平面，再结合为该正方体表面上的一个动点，所以得动点的轨迹长度为，再由正方体中计算可得. 【详解】正方体​中， 平面，平面，所以. 又因为是正方形，所以，且平面， 所以平面，平面，所以. 同理可得，且，，平面， 所以平面. 因为，所以平面，且为该正方体表面上的一个动点， 所以为的三边上的一个动点，因此动点的轨迹长度为， 因为是棱长为的正方体， 所以，所以 因此动点的轨迹长度为.​ 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形， ，点为棱上一点，满足 则下列结论正确的个数为（     ） ①平面； ②在棱上不存在点，使得平面； ③当 时，异面直线与所成角的余弦值为 ④点到直线的距离 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】若平面，而根据条件得到与不垂直，与线面垂直的性质相矛盾，即可判断命题①的正误；由命题①的结论，可推得，即可知点到直线的距离即为的长度，计算求得长，即可判断命题④的正误；采用平移法，作出异面直线与所成角，解三角形可求得与所成角的余弦值，可判断命题③的正误；结合命题③，根据线面平行的判定定理即可判断命题②的正误. 【详解】对于命题①，因为底面为直角梯形，且， 所以与不垂直，又面， 若平面，则，矛盾，所以命题①错误， 对于命题③，当时，，即为的中点， 设为的中点，连接， 则， 而，故， 故四边形为平行四边形，则， 故异面直线与所成角即为的夹角， 在中，，所以， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故命题③正确， 对于命题②，由命题③知，当时，， 因为平面，平面，所以平面， 所以时，平面，故命题②错误. 对于命题④，因为平面，平面，平面， 所以，， 故即为与底面所成的角，即， 故，而，所以， 在直角梯形中，， 则，故， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故点到直线的距离即为的长度， 因为平面，平面，故， 而，所以 即点到直线的距离，故命题④正确， 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 14．（23-24高二下·上海·阶段检测）如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出 ，即说明直线与不恒为异面直线. 【详解】①如图，当点是线段交点时，满足题意. 此时无论点在线段何处，线段都在平面上， 由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确； ②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点， 由于正方体中，由平行传递公理得， 在中，作，且交于点， 在左侧面上，延长，且； 在后侧面上，延长，且， 连接，由公理及推论可得在截面上， 由于， 所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上. 如图，当在截面上，则与重合， 则由∽得， 由∽得， 不妨设，正方体棱长为，又，设，， 则，解得 ， 此时直线与为共面直线，故②错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：判断是否是异面直线，可以作其中一条直线的平行线与另一条直线构成的平面，再判断第一条直线是否在该平面上. 15．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 【答案】 【分析】过点作底面圆，连接，根据线面角的概念可知即为直线与圆锥底面所成角的平面角，结合已知条件即可得解. 【详解】过点作底面圆，连接， 设半径为，半径为，则，解得， 所以即为直线与圆锥底面所成角的平面角， 由题意可知，，即，解得， 又因为， 其中，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 16．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.    ① ②； ③； ④. 【答案】①③④ 【分析】利用题设中的垂直关系可得、、、，利用这些直角三角形逐项计算各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项. 【详解】因为四边形是矩形，故，而， 平面，故平面. 因为四边形是矩形，故，故，而， 而平面，故平面. 而，，，. 故，，而平面， 故平面，因平面，故, 同理，. 在中，有； 在中，有； 在中，有； 故，故①正确. 在中，有， 在中，有； 故，故，故③正确. 在中，有， 在中，有； 故，故④正确. 若不成立，否则由④的结论可得，这样为锐角矛盾. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $