10.4.2 二面角-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

适当拓展 典例注解 精炼实践 【学生版】 10.4.2 二面角 【知识梳理与拓展】 1、二面角及其相关概念 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面； (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α­AB­β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P­AB­Q； 当棱记为l时，可记作α­l­β或P­l­Q. （2）二面角的平面角： ①定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足， 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 符号：⇒∠AOB是二面角的平面角； ②直二面角：平面角是直角的二面角； 【说明】1、二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°（或）；2、面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；3、构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直 2、平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β． 3、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 ⇒α⊥β 图形语言 【说明】定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线． 4、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【说明】对面面垂直的性质定理的理解；1、用于面面垂直⇒线面垂直；2、作面的垂线；3、定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；4、已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直； 【典