第03讲 直线与平面间的位置关系（13大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第03讲 直线与平面间的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线面关系有关的命题判断 题型8 求点到平面的距离 题型2 证明线面平行 题型9 求线到平面的距离 题型3 线面平行的性质 题型10 求线面角 题型4 由线面平行判断点的位置 题型11 由线面的大小求值 题型5 线面垂直有关的概念辨析 题型12 三垂线定理及其应用 题型6 证明线面垂直 题型13 求线面角的最值与范围 题型7 由线面垂直证明线线垂直/平行 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线面三种位置关系、图形直观判断 1.分清直线与平面相交、平行、在平面内三类位置 2.能根据立体图直观区分线面位置，规范虚实线绘图 线面平行定义、无公共点、定义证明 1.熟记线面平行定义：直线与平面无公共交点 2.掌握反证法，利用定义证明直线与平面平行 线面平行命题辨析、真假判断、反例 1.梳理线面平行相关易混命题，快速辨别正误 2.学会举正方体反例推翻错误空间命题 线面平行判定定理、平面内平行线 1.牢记线面平行判定条件：面外直线∥面内直线 2.能在几何体中找出中位线、平行线判定线面平行 线面平行证明、中位线、平行四边形 1.熟练书写线面平行完整证明步骤 2.借助中位线、平行四边形构造平行线完成证明 线面平行条件补全、判定定理要素 1.补齐判定定理缺失条件，不遗漏“直线在平面外” 2.区分充分、必要条件，完整写出线面平行前提 线面平行性质定理、交线平行 1.掌握线面平行性质：线∥面，过直线平面与已知面交线∥已知直线 2.区分判定定理与性质定理的因果逻辑 线面平行、相似三角形、线段比例、定点 1.利用线面平行推出平行线，构造相似三角形 2.根据线段比例确定线段上动点位置 线面平行、相似、线段长度计算 1.结合相似三角形边长比例求解几何体棱长 2.依托线面平行转化线段等量关系求值 线面垂直判定、两条相交垂线 1.熟记线面垂直判定：直线垂直平面内两条相交直线 2.直观判断立体图形中线面垂直关系 线面垂直证明、相交垂线、勾股证垂直 1.规范线面垂直证明书写流程 2.用勾股定理证明平面内两条相交直线与已知直线垂直 线面垂直条件补全、相交直线前提 1.补齐线面垂直判定条件，不可遗漏“两条相交直线” 2.区分平行直线、相交直线对线面垂直判定的影响 点面距离、垂线段、最短距离 1.理解点到平面距离定义：点向平面作垂线段长度 2.明确垂线段是点到平面所有连线中最短线段 求点面距离、等体积法、作垂线 1.两种方法：直接作垂线段测量、等体积转换法 2.能在棱锥中用体积相等求解垂线段长 线面距离、线∥面、线上任意点到面距离 1.掌握线面距离前提：直线与平面平行 2.线面距离等于直线上任意一点到平面的垂距 求线面距离、转化点面距离 1.将线面距离转化为线上定点到平面的距离求解 2.结合等体积法统一计算长度 线面垂直推线线垂直、线⊥面⇒线⊥面内所有直线 1.核心推论：若直线垂直平面，则垂直平面内任意直线 2.以此证明异面、共面直线互相垂直 线面角定义、射影、范围 1.理解线面角构造：直线与其平面射影的锐角/直角 2.辨析直线垂直平面、直线平行平面两种特殊线面角 求线面角、作射影、直角三角形、正弦 1.标准三步：作垂线找射影→确定线面角→解直角三角形 2.利用计算角度 三垂线定理、射影垂直⇒斜线、射影垂直⇒斜线垂直 1.熟记定理：平面内直线垂直斜线射影，则垂直斜线 2.分清斜线、射影、平面内垂线三者位置关系 学习重点： 1.线面平行判定定理、性质定理及证明书写 2.线面垂直判定定理，线面垂直推线线平行/垂直 3.点面距离求解（等体积法）、线面距离转化思路 4.线面角定义、找角步骤与三角函数计算 5.三垂线定理结构与几何应用 学习难点： 1.线面平行判定易遗漏“直线在平面外”关键条件 2.线面垂直判定混淆“两条相交直线”与“两条平行直线” 3.复杂棱锥中等体积法求点面距离 4.立体图形中准确作出斜线在平面内的射影，定位线面角 5.判定定理与性质定理因果逻辑区分，综合证明混用出错 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 直线在平面内 ____________ 直线上所有的点都是公共点 直线和平面相交 ____________ 有且只有一个公共点 直线和平面平行 ____________ 没有公共点 【易错提醒】 1.混淆“直线与平面无公共点”仅代表线面平行，忽略直线在平面内有无数公共点、相交有1个公共点 2.绘图不区分虚实，遮挡线段未画虚线，无法分辨相交、平行、面内三类位置 3.命题判断时遗漏前提，误将局部平面内结论直接套用至整个空间 即时即练 1.（24-25高二上·上海·阶段检测）直线与平面的位置关系有________. 【答案】直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【分析】根据空间中的线面关系概念即可求解. 【详解】按照直线与平面公共点的个数为无数个，1个，和0个可知， 空间中直线与平面的位置关系有三种：. 故答案为：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）若，且，则______（填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 知识点02 直线与平面平行的性质定理和判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面__相交______，那么该直线就与___交线_____平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） 因为，，，所以 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的__一条直线____平行，那么该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行） 因为，，，所以 【易错提醒】 1.用判定定理时遗漏关键条件，直线本身在平面内不能判定线面平行 2.判定定理中错把两条平行直线当作条件，必须是平面内一条直线即可 3.混淆判定、性质因果：判定由线线平行推线面平行，性质由线面平行推线线平行 4.作辅助平面使用性质定理时，忽略辅助平面要同时经过已知直线 即时即练 1.（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦. 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以 . 所以异面直线与所成的角为：. 2.（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    【答案】与平面平行，理由见解析 【分析】利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得解. 【详解】与平面平行，理由如下， 连接，再连接，如图，    因为在长方体中，四边形是长方形， 所以是的中点，又E是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 知识点03 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义及有关概念 定义 一般地，如果直线与平面内的_任意一条____直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直 记法 _____ 有关概念 直线叫做平面的_垂线____，平面叫做直线的_垂面____，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_垂足____ 图示    性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_垂足____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_长度____叫做这个点到该平面的距离 2.性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_平行_____ ______、______⇒a//b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的_两条相交_____直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ______、______、______、______、______⇒ 【易错提醒】 1.判定定理错用两条平行直线，必须是平面内两条相交直线才能证线面垂直 2.误认为直线垂直平面内无数条直线就线面垂直，无数条若互相平行不成立 3.推论记错：垂直同一平面的直线互相平行；垂直同一直线的平面互相平行，易颠倒逻辑 4.无法区分异面垂直、共面垂直，只要线面垂直，直线垂直平面内全部直线 即时即练 1.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 2.（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 知识点04 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α__相交______，但不与平面α___垂直_____，则直线l称为平面α的一条斜线．    斜足 斜线l与平面α的交点A称为斜足． 投影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影． 直线与 平面所 成的角 （1）平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． （2）直线与平面所成的角θ的取值范围是__________． 2.最小角定理 （1）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的__最小______的角． （2）如果直线、直线与平面所成的角相等，直线、的位置关系是_相交、平行、异面_______ 3.三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果__平面内______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的_射影_______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条__斜线______在该平面内的___射影_____垂直． 【易错提醒】 1.记错取值范围，写成，正确范围（平行/在面内为，垂直为） 2.找角时不用垂线作射影，直接取直线与面内任意斜线夹角 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直找到所求线面角，再利用边长关系计算可得. 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 由平面易得，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 2.（25-26高二下·上海浦东新·期末）在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 知识点05 点到平面的距离 1.点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面及一个点，过可以作而且只可以作平面的一条垂线．如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，___的长_____为点到平面的距离． 2.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行，这条直线上_任意一点_________到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离． 【易错提醒】 1.把斜线段长度当作点面距离，只有垂线段长度才是真实距离 2.等体积法计算高时分不清底面与对应高，底面积和高不匹配 3.线面距离无前提直接计算，只有直线平行平面时，才可转化为点面距离求解 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据条件，易得平面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得平面，再根据条件，利用几何关系，即可求解. 【详解】由题意得，又平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过作于， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，，所以， 在中，，所以， 所以直线到平面的距离为. 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 【答案】 【分析】过点作，过点作，垂足为,可以证明 平面MBCN,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得. 【详解】 如图，过点作，分别交和于,连接,, 过点作，垂足为,∵，，∴， ∴平面与平面重合, ∵直棱柱，∴平面, 又平面,∴,又∵，且, ∴平面, ∵,∴,又∵,∴, 在三角形中，,. 故答案为：. 题型1 线面关系有关的命题判断 【例1】（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 【例2】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. 【技巧归纳】 公式结论 1.线面三类位置：（无数公共点）、（1个公共点）、（无公共点） 方法技巧 1.举正方体、长方体模型反例快速推翻假命题 2.逐条核对定理全部条件，缺任一条件命题即为错 【变式1-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【分析】由线面平行的判定定理，对直线的位置进行讨论可得结果. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得， 且由和得；所以直线平面和直线平面至少有一个成立． 故选：D. 题型2 证明线面平行 【例1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 【例2】（25-26高二上·上海静安·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，证明，从而得到异面直线与所成角的平面角，然后由余弦定理求得结果； （2）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行. 【详解】（1）取中点，连接， ∵是的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在△中，，，所以异面直线与所成的角的大小为； （2）连接，与交于点， 则为中点，又为中点， ∴，又平面，不在平面内， ∴平面． 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.中位线平移、平行四边形对边构造平行线 2.证明三步：找平行线→写清直线不在平面内→下结论 【变式2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明： 平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （2）根据线面平行的判定定理证明线面平行. 【详解】（1）连接，如图： 因为，分别为，的中点，所以， 又为正方体，所以， 所以. 所以即为异面直线与所成的角. 又为等边三角形，所以. 即异面直线与所成角为. （2）由（1）知：，平面，平面， 所以平面. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)见详解. 【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. （2）取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 题型3 线面平行的性质 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 【例2】已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，由平行四边形可得，进而可得平面，然后根据由直线与平面平行的性质可得． 【详解】如图所示，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，平面，且平面， 所以． 【技巧归纳】 公式结论 性质定理： 方法技巧 1.过已知直线作辅助平面，取两平面交线得到平行线 2.区分判定（线线→线面）、性质（线面→线线）因果逻辑 【变式3-1】如图，在四棱台中，平面ABCD, ，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行. 【详解】 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，异面直线，且，，是上两点，是上两点，分别交于四点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若与所成的角为θ，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，同理，推得，结合平行传递性得，证明四边形是平行四边形； （2）根据题中条件找到异面直线a与b所成的角，结合平行四边形面积公式计算得答案； 【详解】（1）因为，平面，平面，所以，同理， 所以；同理可得，所以四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，因为，， 所以是异面直线a与b所成的角或其补角， 即或，. 题型4 由线面平行判断点的位置 【例1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 【例2】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 平行线分线段成比例 方法技巧 1.线面平行推出线线平行，构造相似三角形 2.利用线段比例锁定动点在线段上的位置 【变式4-1】（23-24高三上·上海浦东新·期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若 平面，则______．    【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解. 【详解】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为 平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 题型5 线面垂直有关的概念辨析 【例1】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】①由直线与平面的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由直线与平面的位置关系判断；④由直线与平面垂直的性质判断. 【详解】①或，故错误； ②，或与相交，故错误； ③或，故错误； ④由直线与平面垂直的性质知，正确， 故选：C. 【例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知直线l与平面相交，现有以下两个命题： ①平面上不存在与直线l平行的直线； ②平面上存在与直线l垂直的直线； 则判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】利用反证法证明命题①正确，分情况证明命题②即可. 【详解】对于命题①，如图，假设平面内存在直线与平行， 假设存在直线且，那么由于，可得，与矛盾， 平面内不存在直线与直线平行，故命题①正确； 对于命题②，若直线与平面垂直，则任取直线，都有， 即平面内存在与直线垂直的直线； 若直线与平面不垂直，如图， ，在直线任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接, 在平面过点作，平面，，， 又，，平面， 平面，直线平面， 故直线，故平面上存在与直线l垂直的直线，故命题②正确. 故选：A. 【技巧归纳】 公式结论 若，则垂直平面内任意一条直线 方法技巧 1.判定线面垂直必须垂直平面内两条相交直线，平行直线无效 2.分清：无数条平行线垂直直线≠线面垂直 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期中）直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理、性质，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，若，，，可得，， 若、，，，不一定能得到， 比如时，就不一定能得到， 所以“”是“、”的充分非必要条件. 故选：A 【变式5-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 题型6 证明线面垂直 【例1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明： 平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； 【例2】（25-26高二上·上海·期中）在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.    (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在平面中过点D作，交于H，利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，再根据线面垂直的判定定理即可证明平面． （2）法一：假设存在棱上点F，使得，连接，取其中点N，有，即可证明与重合，即就是，由与相交，矛盾，即可问题得证．法二：假设存在棱上点F，使得，显然F与点C不同，可得P，M，F，C四点在同一个平面α中，即，α就是点A，B，C确定的平面，且，这与为四棱锥矛盾，即可得出假设错误，问题得证． 【详解】（1）    在平面中过点作，交于， 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，， 所以平面； （2）法一：    假设存在棱上点，使得， 连接，取其中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合， 所以点在线段上，所以是，的交点， 即就是， 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 ； 法二： 假设存在棱上点，使得，显然与点不同， 所以四点在同一个平面中， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以就是点确定的平面 ，且 ， 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.勾股定理证平面内两组相交线与已知直线垂直 2.优先找底面内互相垂直的棱简化证明 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 利用线面垂直的性质定理可知四个面都是直角三角形，然后可求表面积. 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面，所以, 因为平面，平面，所以， 因为,所以由勾股定理可得： 【变式6-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，利用勾股定理有，即，最后由线面垂直的判定定理即可得证； （2）将四棱锥放到长方体中，即证，，即为异面直线与所成的角或其补角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 题型7 由线面垂直证明线线垂直/平行 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）根据异面直线垂直的定义作图. （2）根据长方体的性质，利用线面垂直的判定定理和定义证明. 【详解】（1）过点作， 因为长方体中，， 因为，所以，即. 那么直线即是直线，如图所示. （2）因为长方体中，平面，平面,所以. 又因为，平面,， 所以平面, 又因为平面, 所以，即. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. 【详解】（1）证明：因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以. （2）连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 【技巧归纳】 公式结论 1.（证线线垂直） 2.（证线线平行） 方法技巧 1.证垂直：直线垂直平面，即可垂直面内所有直线 2.证平行：两条直线同时垂直同一个平面直接平行 【变式7-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 【变式7-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意有直棱柱的棱长均为2，由等边三角形性质、线面垂直性质有、 ，再由线面垂直的性质证结论； （2）证，转化为求与所成角，利用余弦定理、反三角函数求角的大小. 【详解】（1）由题意，易知直棱柱的棱长均为2，即为等边三角形，是中点， 所以，又面，面，则 ， 所以都在面内，故面，而， 所以面，面，可得. （2）由分别是，的中点，则，又， 所以为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为与所成角， 由题意，有， 所以，在中. 所以与所成角为，故异面直线与所成角为. 题型8 求点到平面的距离 【例1】（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明：取 中点 ，连接、， 由于 是 的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于 ，平面 ， 所以 平面 . (2) 【分析】（1）设 是 的中点，连接， ，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）设点 到平面的距离为 ， 因为 平面 ，平面 ，所以， 由于，，所以四边形 是平行四边形， 由于 ，所以 ， 由于平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 【例2】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 【技巧归纳】 公式结论 棱锥等体积公式： 方法技巧 1.直接法：过点作平面垂线，计算垂线段长度 2.等体积转化法：换底面、换高计算垂距 【变式8-1】（25-26高二上·上海静安·期中）在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到点到平面的距离为，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以点到平面的距离，即为， 又因为正三棱柱的各棱长均为，可得, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取AC中点为O，连接，通过证明可完成证明； （2）如图做，垂足为F，由题可证平面，据此可得到平面的距离 【详解】（1）取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； （2）如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则.    题型9 求线到平面的距离 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【答案】2 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连结，与交点为，    因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 前提：，线面距离=直线上任意一点到平面的距离 方法技巧 1.在直线上任取定点，转化为求该点的点面距离 2.直线不平行平面时，无线面距离概念 【变式9-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面 为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面 平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面 平面 （2）平面 平面， 平面 平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义可得即为所求，解直角三角形即可求解； （2）在正方体中，证明面，即可得出点面距离也即线面距离. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为，由勾股定理得， 故，所以； （2）连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 题型10 求线面角 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知正四棱柱底面是边长为3，高为5，则与平面所成角为__________（结果用反三角表示） 【答案】 【详解】由正四棱柱的性质可知，底面，则， 即为与平面所成角， ， ，即与平面所成角为． 【例2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【答案】 【分析】为中点，直线与平面所成角为，求出角的正切值，可得角的大小. 【详解】为中点，连接，    又为的中点，所以，由，得， 平面，平面，， 平面，，所以平面， 直线与平面所成角为， 中，，， . 因此，直线与平面所成角为. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 线面角范围，， 方法技巧 1.三步标准流程：作垂线→找射影→确定线面角 2.构造直角三角形，利用三角函数计算角度 【变式10-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明，由此可完成证明； （2）先证明平面，然后可知直线与平面所成角即为，利用线段长度结合正切值计算出结果； 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面 平面，所以， 由，，可知. （2）因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为； 因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. 题型11 由线面角的大小求值 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径. (1)若是弦的中点，且 平面，求的值； (2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1) (2)（或）. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，从而得解； （2）根据题意，是在平面上的射影，从而，且，作圆柱的母线，则连接，则或其补角为异面直线与所成的角，余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 平面平面， 所以，又是弦的中点， 所以为的中点，； （2）依题意，在中，， 所以， 因为平面 是在平面上的射影，从而， 则， 作圆柱的母线，则连接，则四边形是矩形， 或其补角为异面直线与所成的角， 在中，， 异面直线与所成的角为（或）. 【例2】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解． 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 【技巧归纳】 1.由线面角三角函数反向推导几何体棱长、高 2.结合勾股、体积公式综合计算边长、面积 【变式11-1】（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【答案】arccos 【分析】根据与平面所成角为计算出，然后把平移至，则为异面直线与所成的角，最后用余弦定理计算即可. 【详解】如图，连接， 因为平面，所以为与平面所成的角，即， 所以，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，所以. 故答案为： 【变式11-2】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面， ，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 题型12 三垂线定理及其应用 【例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为_____________. 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由三垂线定理证明，即可得到E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点，连接，    则，所以， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】根据线面垂直可得线线垂直，将问题转化为即可由勾股定理求解. 【详解】∵P是定点，要使的值最小，只需即可． 要使，由于平面， ∴由三垂线定理知只需使即可， ∵，，∴． ∴． ∴， 故的最小值为. 【技巧归纳】 公式结论 平面内直线垂直斜线射影平面内直线垂直斜线 方法技巧 1.分层梳理：垂线→射影→斜线三层线段关系 2.快速证明异面直线垂直，省去平移步骤 【变式12-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)90°； (2)证明见解析 【分析】（1）依据三垂线定理，直线垂直于斜线在这个平面上的射影，就垂直于这条直线，从而发现恒与垂直． （2）根据三垂线定理即可求解. 【详解】（1）取中点，则平面，为在平面上的射影， 在正方形中，，，△ 由三垂线定理可知，故直线与所成角的大小为90°    （2）由于平面，所以是直线在平面上的射影， 由于，且，所以，故， 由三垂线定理得    【变式12-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为________． 【答案】/ 【分析】过作交于点，连接， 由三垂线定理证即可得E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过作交于点，连接， 则，所以， 因为平面，平面、平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 题型13 求线面角的最值与范围 【例1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别表示三棱锥在各个顶点处的离散曲率，根据三角形内角和为，求得三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）①根据异面直线所成角的定义，作出直线与直线所成的角，根据余弦定理求得直线与直线所成角的余弦值；；②设，用直线 与平面 所成角的正弦值，结合二次函数的最值求法，求得直线与平面所成的角的最大值. 【详解】（1）由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得： . （2）①如图，分别取的中点，连接， 则 ， ，所以为异面直线与所成角或其补角. 设，因为，所以，所以.    因为平面平面，所以，， 因为，所以平面，又因为平面，所以，所以. 由三棱锥在顶点处的离散曲率为，得. 所以. 所以，. 所以， 所以直线与直线所成的角为的补角，其余弦值为. ②设 由，且平面，得到平面的距离为， . 设直线 与平面所成的角为，则， 当且仅当，即，即与重合时，等号成立. 因为，所以，所以直线 与平面所成角的最大值为. 【例2】已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【分析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 【技巧归纳】 1.分析动点运动时射影长度变化，判断增减 2.边界位置单独计算，锁定角度取值区间 【变式13-1】（24-25高二下·上海·开学考试）如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，，连接，根据已知得到点是线段上的动点，构造出，分别求出，比较后可得结论. 【详解】设平面与直线交于点，连接，易知为的中点， 分别取的中点，，连接， ∵平面平面， ∴平面．同理可得平面， ∵平面， ∴平面平面，结合平面， 可得直线平面，即点是线段上的动点． 由直线与平面所成角为，运动点并加以观察， 可得当与（或重合时，与平面所成角等于， 此时所成角达到最小值，满足； 当与中点重合时，与平面所成角达到最大值， 满足，所以与平面所成角的正切取值范围是． 由直线与所成的角为，因为， 所以与所成的角即为与所成的角，运动点并加以观察， 可得当与（或）重合时，与所成的角等于， 此时所成角达到最小值， 满足，可得，所以， 当与中点重合时，与所成的角达到最大值，满足， 因为，，又，所以． 故选：D． 【变式13-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）新的几何体是大圆锥减去小圆锥的部分，结合圆锥体积公式可计算出结果； （2）作出辅助线先证明与底面所成角即为，利用线段长度表示出，根据的范围求解出的取值范围. 【详解】（1）连接，在中，由题可得 ， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】B 【分析】对于①，作出辅助线，得到，进而得到平面，故①正确；对于②，先作出，由垂直的判定定理，进行判断即可. 【详解】对于①，取中点，中点，连接，所以， 又为的中点，所以，所以四点共面， 因为平面，平面， 所以平面，故①正确；    对于②，取中点，可证≌，所以， 所以，故. 若平面上存在一条直线，与平面垂直，则一定与垂直， 即与平行，但与不垂直， 故平面上不存在直线，与平面垂直.故②错误.    故选：B． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 3．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且 平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 【答案】A 【分析】根据题意作图，首先找到点的轨迹，构造出，再分析极端位置的情况，分别求出后，找到进行比较即可得到结果. 【详解】 如图，取的中点，连接； 设正方体的棱长为， 因为，且平面，平面， 平面； 同理 平面，且； ∴平面 平面，∴; ∵面，所以与平面所成的角为； 又， 所以与所成的角为（或其补角）； ； 当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为； 当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为； ，； 对于，当为中点时，； 当与或重合时，最小，又， ， ， ，，故A正确，BC错误， 又，，所以D选项错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先分析出点轨迹，再根据线线角和线面角的定义在图中找到该角，分析极端情况即可得到其角度范围. 二、填空题 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·开学考试）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________.    【答案】 【分析】由题意作中点为，连接，利用几何知识证明平面，则得，从而可再证明平面，从而可求得的长，从而可求解. 【详解】如图所示，作中点为，连接，因为，所以，    又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以，所以， ，平面，平面，所以平面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以为点到平面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）如图（1），为外一点，两两垂直，，则点到平面的距离为________．    （2）如图（2），在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、上的点，，，则直线到平面的距离为________． 【答案】 ； . 【分析】（1）过作平面于点，连接，即为点到平面的距离，根据条件求即可； （2）过作，交于点，即为到所求平面的距离，过点作于点，连接，根据条件求即可. 【详解】（1）过作平面于点，连接，如图①所示， ∴，，． 又， ∴， ∴， ∴为的外心. ∵、、两两互相垂直， ∴， 为等边三角形， ∴， ∴． 因此点到平面的距离为． （2）过作，交于点，如图②所示， 由已知平面平面且两平面交于， 所以即为到所求平面的距离. 过点作于点，连接． 在直角中，，， 所以．又在中， ，故， 即到平面的距离为． 故答案为：①，②. 9．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是___________. 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 10．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列命题中，是两条直线，是一点，，是两个平面，则所有假命题的序号为__________. ①：若，，则        ②：若，，则 ③：若，，，则   ④：若，，则过点一定存在一平面与，都平行 【答案】①②④ 【分析】举出反例可得①④、结合平行的性质可得②③. 【详解】对①：当直线也位于平面内时，且，成立时，结论不成立（此时），故①错误； 对②：若，，则，可能平行或相交或异面，故②错误； 对③：由，，则或，又，故，故③正确； 对④：若、、在同一平面内，且与相交时， 此时过点不存在平面与，都平行，故④错误. 故答案为：①②④. 11．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 12．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 【答案】/ 【分析】根据线面角的定义，结合线面垂直找出线面角对应的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】取中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形，所以. 同理可得，. 因为，，所以，所以为等腰直角三角形， 且，. 又，，所以，所以为等腰直角三角形， 且. 在中，，所以. 又，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角. 在中，，所以. 三、解答题 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知平面，，四边形为正方形． (1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每一个面的直角，并加以证明：若不是，请说明理由． (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析； (2). 【分析】（1）推导出，，，从而，进而面，知，从而得到四面体是鳖臑． （2）根据已知求出相关线段长，结合线面角的定义求角的大小即可． 【详解】（1）底面，，，都在底面上， ，，， 四边形是正方形， ，，平面， 平面，又平面， ， 四面体是鳖臑； （2）由平面，即平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面， 所以到平面的距离，即为到直线的距离， 由题设及（1）知，，， 所以，可得，故， 由等面积法知，，得， 若直线与平面所成角为，则，可得. 14．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． (1)求异面直线与所成角的大小 (2)设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由异面直线所成角的概念可知或其补角就是异面直线与所成角，在中求解即可； （2）连接，由线面角的概念可得就是直线与平面所成角，在中求解即可. 【详解】（1）因为，所以或其补角就是异面直线与所成角， 在中， ，所以， 即异面直线与所成角的大小为. （2）连接， 由直三棱柱可知平面， 故为直线与平面所成角，又， 所以在中，，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 15．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明：连接AC.在中，因为、分别是，的中点，可得. 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. (2)证明：在长方体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面，可得. 由于，平面，平面，所以AC⊥平面. (3) 【分析】（1）连接AC.运用中位线得到，依据直线与平面平行的判定定理得到平面. （2）运用正方体性质得到，依据直线与平面垂直的判定定理得到平面. （3）通过平移其中一条直线，使它们相交，得到所成角，再结合长方体的棱长等条件进行求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知，在长方体中，，所以就是异面直线EF与所成的角（或其补角）. 因为底面是正方形，，所以是等腰直角三角形，，即异面直线与所成角为. 16．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明：平面，且平面 又，，平面，故平面. (2)证明：且平面，不在平面上，平面， 又 平面，平面平面， ，且， . 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 18．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时，使得点到平面的距离为 【分析】（1）首先证明平面得到，再由得到为异面直线与所成角，最后由锐角三角函数计算可得； （2）假设边上存在一点满足题设条件，作，即可得到平面，再由三角形相似求出，即可求出. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以， 所以为异面直线与所成的角， 又因为，, 所以， 在中，， 故异面直线与所成角的大小为； （2）假设边上存在一点满足题设条件，过点作于点，如图所示： 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，所以为点到平面的距离，即， 又，，， 所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 故存在点，当时，使得点到平面的距离为； 19．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值，即可得到的值. 【详解】（1）    过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）    假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以，所以 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 20．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，为直角三角形，而是的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 即， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 21．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 22．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面 , 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 23．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． (1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行推出线面平行即可，即证明. （2）异面直线与所成角是直线与所成角，然后根据线段长度求出该角即可. 【详解】（1）点为的中点时使得平面，理由如下 令的交点为，连接. 则在中，. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）连接，则. 所以异面直线与所成角是直线与所成角，即. 因为，所以. 所以在中，. 在中，. 所以所以. 所以异面直线与所成角的大小为. 24．（22-23高二上·上海浦东新·阶段检测）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线与平面间的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线面关系有关的命题判断 题型8 求点到平面的距离 题型2 证明线面平行 题型9 求线到平面的距离 题型3 线面平行的性质 题型10 求线面角 题型4 由线面平行判断点的位置 题型11 由线面的大小求值 题型5 线面垂直有关的概念辨析 题型12 三垂线定理及其应用 题型6 证明线面垂直 题型13 求线面角的最值与范围 题型7 由线面垂直证明线线垂直/平行 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线面三种位置关系、图形直观判断 1.分清直线与平面相交、平行、在平面内三类位置 2.能根据立体图直观区分线面位置，规范虚实线绘图 线面平行定义、无公共点、定义证明 1.熟记线面平行定义：直线与平面无公共交点 2.掌握反证法，利用定义证明直线与平面平行 线面平行命题辨析、真假判断、反例 1.梳理线面平行相关易混命题，快速辨别正误 2.学会举正方体反例推翻错误空间命题 线面平行判定定理、平面内平行线 1.牢记线面平行判定条件：面外直线∥面内直线 2.能在几何体中找出中位线、平行线判定线面平行 线面平行证明、中位线、平行四边形 1.熟练书写线面平行完整证明步骤 2.借助中位线、平行四边形构造平行线完成证明 线面平行条件补全、判定定理要素 1.补齐判定定理缺失条件，不遗漏“直线在平面外” 2.区分充分、必要条件，完整写出线面平行前提 线面平行性质定理、交线平行 1.掌握线面平行性质：线∥面，过直线平面与已知面交线∥已知直线 2.区分判定定理与性质定理的因果逻辑 线面平行、相似三角形、线段比例、定点 1.利用线面平行推出平行线，构造相似三角形 2.根据线段比例确定线段上动点位置 线面平行、相似、线段长度计算 1.结合相似三角形边长比例求解几何体棱长 2.依托线面平行转化线段等量关系求值 线面垂直判定、两条相交垂线 1.熟记线面垂直判定：直线垂直平面内两条相交直线 2.直观判断立体图形中线面垂直关系 线面垂直证明、相交垂线、勾股证垂直 1.规范线面垂直证明书写流程 2.用勾股定理证明平面内两条相交直线与已知直线垂直 线面垂直条件补全、相交直线前提 1.补齐线面垂直判定条件，不可遗漏“两条相交直线” 2.区分平行直线、相交直线对线面垂直判定的影响 点面距离、垂线段、最短距离 1.理解点到平面距离定义：点向平面作垂线段长度 2.明确垂线段是点到平面所有连线中最短线段 求点面距离、等体积法、作垂线 1.两种方法：直接作垂线段测量、等体积转换法 2.能在棱锥中用体积相等求解垂线段长 线面距离、线∥面、线上任意点到面距离 1.掌握线面距离前提：直线与平面平行 2.线面距离等于直线上任意一点到平面的垂距 求线面距离、转化点面距离 1.将线面距离转化为线上定点到平面的距离求解 2.结合等体积法统一计算长度 线面垂直推线线垂直、线⊥面⇒线⊥面内所有直线 1.核心推论：若直线垂直平面，则垂直平面内任意直线 2.以此证明异面、共面直线互相垂直 线面角定义、射影、范围 1.理解线面角构造：直线与其平面射影的锐角/直角 2.辨析直线垂直平面、直线平行平面两种特殊线面角 求线面角、作射影、直角三角形、正弦 1.标准三步：作垂线找射影→确定线面角→解直角三角形 2.利用计算角度 三垂线定理、射影垂直⇒斜线、射影垂直⇒斜线垂直 1.熟记定理：平面内直线垂直斜线射影，则垂直斜线 2.分清斜线、射影、平面内垂线三者位置关系 学习重点： 1.线面平行判定定理、性质定理及证明书写 2.线面垂直判定定理，线面垂直推线线平行/垂直 3.点面距离求解（等体积法）、线面距离转化思路 4.线面角定义、找角步骤与三角函数计算 5.三垂线定理结构与几何应用 学习难点： 1.线面平行判定易遗漏“直线在平面外”关键条件 2.线面垂直判定混淆“两条相交直线”与“两条平行直线” 3.复杂棱锥中等体积法求点面距离 4.立体图形中准确作出斜线在平面内的射影，定位线面角 5.判定定理与性质定理因果逻辑区分，综合证明混用出错 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 直线在平面内 ____________ 直线上所有的点都是公共点 直线和平面相交 ____________ 有且只有一个公共点 直线和平面平行 ____________ 没有公共点 【易错提醒】 1.混淆“直线与平面无公共点”仅代表线面平行，忽略直线在平面内有无数公共点、相交有1个公共点 2.绘图不区分虚实，遮挡线段未画虚线，无法分辨相交、平行、面内三类位置 3.命题判断时遗漏前提，误将局部平面内结论直接套用至整个空间 即时即练 1.（24-25高二上·上海·阶段检测）直线与平面的位置关系有________. 【答案】直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【分析】根据空间中的线面关系概念即可求解. 【详解】按照直线与平面公共点的个数为无数个，1个，和0个可知， 空间中直线与平面的位置关系有三种：. 故答案为：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 2.（24-25高一下·上海嘉定·期末）若，且，则______（填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 知识点02 直线与平面平行的性质定理和判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面__相交______，那么该直线就与___交线_____平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） 因为，，，所以 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的__一条直线____平行，那么该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行） 因为，，，所以 【易错提醒】 1.用判定定理时遗漏关键条件，直线本身在平面内不能判定线面平行 2.判定定理中错把两条平行直线当作条件，必须是平面内一条直线即可 3.混淆判定、性质因果：判定由线线平行推线面平行，性质由线面平行推线线平行 4.作辅助平面使用性质定理时，忽略辅助平面要同时经过已知直线 即时即练 1.（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 2.（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    知识点03 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义及有关概念 定义 一般地，如果直线与平面内的_任意一条____直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直 记法 _____ 有关概念 直线叫做平面的_垂线____，平面叫做直线的_垂面____，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_垂足____ 图示    性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_垂足____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_长度____叫做这个点到该平面的距离 2.性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_平行_____ ______、______⇒a//b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的_两条相交_____直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ______、______、______、______、______⇒ 【易错提醒】 1.判定定理错用两条平行直线，必须是平面内两条相交直线才能证线面垂直 2.误认为直线垂直平面内无数条直线就线面垂直，无数条若互相平行不成立 3.推论记错：垂直同一平面的直线互相平行；垂直同一直线的平面互相平行，易颠倒逻辑 4.无法区分异面垂直、共面垂直，只要线面垂直，直线垂直平面内全部直线 即时即练 1.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 2.（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 知识点04 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α__相交______，但不与平面α___垂直_____，则直线l称为平面α的一条斜线．    斜足 斜线l与平面α的交点A称为斜足． 投影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影． 直线与 平面所 成的角 （1）平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． （2）直线与平面所成的角θ的取值范围是__________． 2.最小角定理 （1）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的__最小______的角． （2）如果直线、直线与平面所成的角相等，直线、的位置关系是_相交、平行、异面_______ 3.三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果__平面内______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的_射影_______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条__斜线______在该平面内的___射影_____垂直． 【易错提醒】 1.记错取值范围，写成，正确范围（平行/在面内为，垂直为） 2.找角时不用垂线作射影，直接取直线与面内任意斜线夹角 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 2.（25-26高二下·上海浦东新·期末）在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 知识点05 点到平面的距离 1.点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面及一个点，过可以作而且只可以作平面的一条垂线．如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，___的长_____为点到平面的距离． 2.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行，这条直线上_任意一点_________到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离． 【易错提醒】 1.把斜线段长度当作点面距离，只有垂线段长度才是真实距离 2.等体积法计算高时分不清底面与对应高，底面积和高不匹配 3.线面距离无前提直接计算，只有直线平行平面时，才可转化为点面距离求解 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期末）在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 题型1 线面关系有关的命题判断 【例1】（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【例2】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【技巧归纳】 公式结论 1.线面三类位置：（无数公共点）、（1个公共点）、（无公共点） 方法技巧 1.举正方体、长方体模型反例快速推翻假命题 2.逐条核对定理全部条件，缺任一条件命题即为错 【变式1-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 题型2 证明线面平行 【例1】（25-26高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【例2】（25-26高二上·上海静安·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.中位线平移、平行四边形对边构造平行线 2.证明三步：找平行线→写清直线不在平面内→下结论 【变式2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明： 平面. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 题型3 线面平行的性质 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【例2】已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 【技巧归纳】 公式结论 性质定理： 方法技巧 1.过已知直线作辅助平面，取两平面交线得到平行线 2.区分判定（线线→线面）、性质（线面→线线）因果逻辑 【变式3-1】如图，在四棱台中，平面ABCD, ，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，异面直线，且，，是上两点，是上两点，分别交于四点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若与所成的角为θ，求四边形的面积． 题型4 由线面平行判断点的位置 【例1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【例2】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________． 【技巧归纳】 公式结论 平行线分线段成比例 方法技巧 1.线面平行推出线线平行，构造相似三角形 2.利用线段比例锁定动点在线段上的位置 【变式4-1】（23-24高三上·上海浦东新·期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若 平面，则______．    【变式4-2】（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 题型5 线面垂直有关的概念辨析 【例1】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知直线l与平面相交，现有以下两个命题： ①平面上不存在与直线l平行的直线； ②平面上存在与直线l垂直的直线； 则判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【技巧归纳】 公式结论 若，则垂直平面内任意一条直线 方法技巧 1.判定线面垂直必须垂直平面内两条相交直线，平行直线无效 2.分清：无数条平行线垂直直线≠线面垂直 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期中）直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式5-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型6 证明线面垂直 【例1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.    (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理： 方法技巧 1.勾股定理证平面内两组相交线与已知直线垂直 2.优先找底面内互相垂直的棱简化证明 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【变式6-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 题型7 由线面垂直证明线线垂直/平行 【例1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【技巧归纳】 公式结论 1.（证线线垂直） 2.（证线线平行） 方法技巧 1.证垂直：直线垂直平面，即可垂直面内所有直线 2.证平行：两条直线同时垂直同一个平面直接平行 【变式7-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式7-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 题型8 求点到平面的距离 【例1】（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【例2】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【技巧归纳】 公式结论 棱锥等体积公式： 方法技巧 1.直接法：过点作平面垂线，计算垂线段长度 2.等体积转化法：换底面、换高计算垂距 【变式8-1】（25-26高二上·上海静安·期中）在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为__________. 【变式8-2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 题型9 求线到平面的距离 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【技巧归纳】 公式结论 前提：，线面距离=直线上任意一点到平面的距离 方法技巧 1.在直线上任取定点，转化为求该点的点面距离 2.直线不平行平面时，无线面距离概念 【变式9-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面 为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面 平面 (2)求直线到平面的距离. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 题型10 求线面角 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知正四棱柱底面是边长为3，高为5，则与平面所成角为__________（结果用反三角表示） 【例2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【技巧归纳】 公式结论 线面角范围，， 方法技巧 1.三步标准流程：作垂线→找射影→确定线面角 2.构造直角三角形，利用三角函数计算角度 【变式10-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 题型11 由线面角的大小求值 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径. (1)若是弦的中点，且 平面，求的值； (2)若，直线与平面所成的角为，求异面直线与所成角的大小. 【例2】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【技巧归纳】 1.由线面角三角函数反向推导几何体棱长、高 2.结合勾股、体积公式综合计算边长、面积 【变式11-1】（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【变式11-2】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 题型12 三垂线定理及其应用 【例1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为_____________. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【技巧归纳】 公式结论 平面内直线垂直斜线射影平面内直线垂直斜线 方法技巧 1.分层梳理：垂线→射影→斜线三层线段关系 2.快速证明异面直线垂直，省去平移步骤 【变式12-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 【变式12-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为________． 题型13 求线面角的最值与范围 【例1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 【例2】已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【技巧归纳】 1.分析动点运动时射影长度变化，判断增减 2.边界位置单独计算，锁定角度取值区间 【变式13-1】（24-25高二下·上海·开学考试）如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且 平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 二、填空题 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 7．（25-26高三上·上海·开学考试）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为___________.    8．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）如图（1），为外一点，两两垂直，，则点到平面的距离为________．    （2）如图（2），在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、上的点，，，则直线到平面的距离为________． 9．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是___________. 10．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列命题中，是两条直线，是一点，，是两个平面，则所有假命题的序号为__________. ①：若，，则        ②：若，，则 ③：若，，，则   ④：若，，则过点一定存在一平面与，都平行 11．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 12．（22-23高二上·上海虹口·阶段检测）如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 三、解答题 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知平面，，四边形为正方形． (1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每一个面的直角，并加以证明：若不是，请说明理由． (2)求直线与平面所成角的大小． 14．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． (1)求异面直线与所成角的大小 (2)设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 15．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 16．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 18．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 21．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 22．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 23．（25-26高二上·上海·开学考试）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． (1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 24．（22-23高二上·上海浦东新·阶段检测）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $