专题07复合函数专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以定义为基础，系统整合解析式、定义域、值域、单调性四大核心问题的求解方法，形成“概念-方法-应用”的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识要点|5要点|换元法、配凑法等4种解析式求法；“同增异减”单调性判定步骤；指数/对数型值域转化策略|从定义出发，通过性质推导方法，形成“定义-性质-应用”递进关系| |典型例题|≥5例|奇偶性判断、定义法证明单调性等综合应用|覆盖核心考法，体现方法迁移，强化模型观念| |练习|8题|填空/选择/解答题梯度设计，聚焦单调区间、值域等高频考点|题型与方法对应，巩固知识逻辑应用| |作业|8题|综合考查奇偶性、单调性及参数范围问题|深化知识内在联系，提升问题解决能力|

专题07 复合函数 【知识要点归纳】 1. 复合函数的定义和性质 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为， 则当时，函数为与在上的复合函数， 其中叫做内层函数，叫做外层函数 2. 复合函数解析式的求法 (1)换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3)待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与 的关系式时，经常通过构造方程组来求解.易错点：写解析式时，忘记注明定义域. 3. 复合函数定义域的求法 4.复合函数值域： 指数型形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 对数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 5.复合函数单调性的求法 一般地对于复合函数，如果在上是单调函数，并且在或者上也是单调函数，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 讨论复合函数单调性的步骤： ① 求出复合函数的定义域；② 复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； ③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。 【典型例题】 例4．已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）用定义法证明是定义域内的增函数． 例5．已知函数，则值域为 【练习】 （1-3填空题） 2．函数的单调增区间是______________． 3．函数的值域为 ． 4．（单选题）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解答题（5-8） 5.已知,求的解析式 6．已知函数． 判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 7.已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求关于不等式的解集. 8. 已知函数. （1）已知，求函数的单调增区间； （2）若函数的最小值是，求实数的值； （3）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【作业】 1.（单选题）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（单选题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（单选题）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 4．（填空题）若函数为上的偶函数，则______ 5.（填空题）已知点在幂函数的图象上，则函数的单调减区间为 . 解答题（6-8） 6.已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 7．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 8．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复合函数 【知识要点归纳】 1. 复合函数的定义和性质 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为， 则当时，函数为与在上的复合函数， 其中叫做内层函数，叫做外层函数 2. 复合函数解析式的求法 (1)换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. 3. 复合函数定义域的求法 4.复合函数值域 指数型形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 对数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 5.复合函数单调性的求法 一般地对于复合函数，如果在上是单调函数，并且在或者上也是单调函数，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 讨论复合函数单调性的步骤： ① 求出复合函数的定义域；② 复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； ③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。 【典型例题】 【解析】定义域为[-1,1] 令 递增 递减 递增 递增 递增 递减 所以的单调递增区间[-1,0]; 单调递减区间（0，1] 例4．已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）用定义法证明是定义域内的增函数． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出定义域，计算即可判断； （2）任取，计算，化简并判断正负即可证明. 【解析】（1）， ，解得，则的定义域关于原点对称， ， 为奇函数； （2）， 任取， 则， ，，， 则，， ，即， 是定义域内的增函数. 例5．已知函数，则值域为 【答案】 【解析】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 【练习】 （1-3填空题） 【解析】 2．函数的单调增区间是______________． 【答案】 【分析】求出给定函数定义域，再求出函数的单调区间，然后借助复合函数单调性即可得解. 【解析】函数中，，而恒成立，即函数定义域为R， 因函数在上单调递减，在上单调递增，又指数函数在R上单调递减， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调增区间是. 故答案为： 3．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 4．（单选题）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 解答题（5-8） 5.已知,求的解析式 【解析】 （配凑法）　，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴ 6．已知函数． 判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 【答案】在上单调递减，证明见解析 【解析】在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 7.已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求关于不等式的解集. 【答案】(1) 函数为非奇非偶函数，理由如下： 由函数， 所以， 由， 所以函数的定义域为：， 由定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数. (2)当时，的解集为：；当时，的解集为：. 【分析】（1）先求函数定义域，然后利用函数奇偶性判断即可； （2）对对数函数的底数分，进行讨论，结合函数单调性解不等式即可. 【解析】（1）略 （2）由，即， 当时，函数在上单调递增， 所以不等式的解集等价于： ， 所以当时，的解集为：； 当时，函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于： ， 所以当时，的解集为：， 综上所述，当时，的解集为：； 当时，的解集为：. 8. 已知函数. （1）已知，求函数的单调增区间； （2）若函数的最小值是，求实数的值； （3）若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）可以或者也可以；（2）；（3）. 【分析】（1）根据得，进而根据复合函数同增异减，结合定义域即可得解； （2）令，，讨论和，结合二次函数和对数函数求最值即可； （3）要使的值域为，应使能取遍上所有实数，分和求解即可. 【解析】当时，得，所以， 则，解得， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，    即函数的单调增区间是，（或者）； 令，， 当时，，的值域为， 当时， 由于有最小值是，所以有最小值， 因此必有，解得， 即当有最小值时，实数a的值为； 要使的值域为，应使能取遍上所有实数， 当时，，的值域为， 当时，， 所以，解得 综上： 【作业】 1.（单选题）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的定义及函数单调性定义得到答案. 【解析】函数为非奇非偶函数， 函数为奇函数且在定义域上不单调． 在上单调递增且为奇函数． 故选：A 2．（单选题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上是减函数，， 故单调递减，故需满足，解得. 故选：C 3．（单选题）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【答案】A 【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 4．若函数为上的偶函数，则______ 【答案】 【解析】函数， ， 函数为上的偶函数， ， 即， 故， 化简得， 则 解得 故答案为 5.已知点在幂函数的图象上，则函数的单调减区间为 . 【答案】(-1,2) 【解析】因为是幂函数，所以，则， 又点在幂函数的图象上，所以，得， 函数化为. 令，由，得， 因为外函数为定义域内的减函数， 而内函数的对称轴为，且在上为增函数， 所以函数的单调减区间为. 6.已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【答案】(1)， (2). 【分析】 【详解】（1），即，则. 由题意得解得，故的定义域为. （2）， 令，设， 的对称轴：， 在上单调递增，在上单调递减. 在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增. ， 在上的值域为. 7．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【答案】(1) (2) (3) 函数的值域是；单调递增区间是，单调递减区间是. 【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解； （2）首先化简，再根据对数函数的单调性解不等式； （3）根据复合函数的单调性，结合二次函数和对数函数的性质，即可求解. 【解析】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 8．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $