专题08抽象函数及其性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“方法-模型-题型”三维架构系统突破抽象函数，通过赋值法、单调性判定等核心方法，结合具体模型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|3模块（赋值法/单调性/模型）|赋值法分4类（特值/单调性/奇偶性/周期性）；单调性判断含“凑定义”“赋值变形”（和型/积型）；4类具体函数模型归纳|从方法原理到模型具象，构建“抽象问题具象化”思维链| |题型应用|5类题型（含例+变式）|求函数值用特值赋值；证单调性用定义+赋值变形；求值域结合单调性与奇偶性|题型与方法一一对应，覆盖抽象函数核心考法（性质证明/求值/解析式）| |高考真题|4道（2024-2026年新高考）|结合周期性/奇偶性综合应用|对接高考命题趋势，强化知识迁移与综合推理能力|

专题08 抽象函数及其性质 一、抽象函数的赋值法 赋值法一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 三、常见的抽象函数模型 1、可看做的抽象表达式； 2、可看做的抽象表达式（且）； 3、可看做的抽象表达式（且）； 4、可看做的抽象表达式. 题型一 求抽象函数的函数值：赋值法 【例1】定义在上的函数满足，，则等于______． 【解析】∵，， ∴令，得， 再令，，得， ∴，故答案为0. 【变式1-1】已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得， 因为，所以， 则. 【变式1-2】函数满足：①②，．则的最大值等于__________． 【答案】/0.5 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故答案为： 题型二 求抽象函数的解析式 【例2】已知函数对于一切实数、都有成立，且． 求的解析式． 【分析】形如,这类双变量关系式，需要靠赋值、换元推导奇偶、周期、单调性。①赋值优先令求；令判断奇偶；令递推；②判断单调性：构造，作差判断正负；③写满足条件的抽象函数：先找原型函数，再检验全部条件。 【解析】令，，因为，， 所以，即； 因为， 令，则，所以. 【变式2-1】已知函数对一切的实数，，都满足，且.求的解析式； 【解析】令则 令则； 【变式2-2】（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 题型三 证明抽象函数的单调性 【例3】已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的a，b∈R，有. （1）求的值；（2）根据定义证明是增函数； 【解析】（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)•f(0)，解得f(0)=0，或f(0)=1， 若f(0)=0，令a>0，由题意得f（a）>1， 当f(a+0)=f(0)•f(a)=0，矛盾，故f(0)=0不成立， 显然f(0)=1，满足，故f(0)=1即为所求； （2）证明：由（1）知，f(0)=1，令x<0，则－x>0， 所以由已知得f(0)=f(x－x)=f(x)•f(－x)=1，则， 故x<0时，0<f(x)<1， 设0<x1<x2，令a+b=x2，b=x1，则a=x2－x1>0， 所以f（x2）=f（x2－x1）•f（x1），可得， 所以f(x2)>f(x1)>1=f（0），即f(x)在（0，+∞）上单调递增； 任取x1<x2<0，则－x1>－x2>0，由上可知，f(－x1)>f(－x2)>1，即，所以f(x1)<f(x2)<1=f(0)，综上所述，对任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)恒成立，故y=f(x)是增函数. 【变式3-1】定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值；（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）求满足的的取值集合． 【解析】（1）得，则，而， 且，则； （2）取定义域中的任意的，，且，， 当时，，， ，在上为减函数． （3）由条件①及（1）的结果得，， ， ，，解得，故的取值集合为. 【变式3-2】已知函数对任意的，，都有，且当时，（1）判断并证明的单调性； （2）若，解不等式． 【解析】（1）设是上任意两个不等的实数，且，则， ， 由已知条件当时，，所以，即，所以函数在上为增函数； （2），∴， ∴，∴，∴． 题型四 证明抽象函数的奇偶性 【例4】已知函数对∀x，y∈R，都有，证明函数在R上的奇偶性.【解析】因为函数的定义域为R， 令，所以，即， 令，所以，即，所以函数为奇函数． 【变式4-1】已知函数满足，当时，成立，且．求，并证明函数的奇偶性； 【解析】令，可得，令，则，所以， 所以，所以为奇函数. 【变式4-2】若对于任意实数，函数，都有，求证：为偶函数. 【解析】令，得， 令，得， 所以，即，所以是偶函数. 题型五 求抽象函数的值域 【例5】定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ） A．R B． C． D． 【解析】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足， 且，令，可得， 再令，可得， 又在上的值域为，因此在上的值域为 则在R上的值域是.故选：C 【变式5-1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域. 【解析】（1）可令时，=-； 令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）； （2）函数在上为增函数. 证明：当时，有，可令，即有，则， 可得，则在上递增； （3）由在上为增函数，可得在递增， 可得为最小值，为最大值， 由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，则的值域为. 【变式5-2】已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域． 【解析】设，则， ∵当时，，∴， ∵， ∴，即，∴为增函数 在条件中，令，则，再令，则， ∴，故，为奇函数， ∴，又，∴的值域为 【作 业】 单选题（1-4） 1.设函数设函数满足，且对任意、都有，则（ ） A．2027 B．-2025 C．2026 D．2025 【解析】对任意、都有，且， 令，得， 令，可得，， 因此，2027，故选：A 2.（2026·新高考Ⅱ卷T8）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】，则，，即周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而，则，于是，即，解得. 故选：D. 3.（2025·新高考Ⅰ卷T5）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4.（2024·新高考Ⅰ卷T8）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 填空题（5-9） 5.已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____． 【解析】令，则 所以由可得 因为，所以故答案为： 6.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是__________________ 【答案】 【解析】解:由得, ,得 7.定义在区间[-2,2]上的函数满足：，且在[0,2]上为增函数。若恒成立，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 【解析】解:由得,,则 8.已知函数是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_____________________. 【答案】 【解析】解：令，则，则………..① ∵函数是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴,……………………………………………………② 由①②得，不等式的解集为。 9.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】解:由已知 ∴. 10.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。 解：等价于 11.已知函数当时，恒有. (1)求证: 是奇函数; (2)若. 【解析】（1）证明：令，得 所以 令，则 ∴ ∴是奇函数。 （2）∵ 又∵ 12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式. 【解析】解：(1)∵对任意，函数满足，且 ∴ ∵，∴=f(a)=a (2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得 ∴对任意，有 上式中，令，则 ∵，故 若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故 若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得 ∴ 13.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 【解析】(1)任取,则 F=[ ∵, ∴∴ 又∵函数是定义在R上的增函数, ∴, 故 ∴>0 ∴是R上的增函数; (2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则 ,故 ∵把代入F得, =- ∴函数=的图象关于点(成中心对称图形. 14.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象. 【解析】(1)解:∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,令则 ∴=0 (2)证明: ∵为R上的奇函数, ∴对任意都有, ∵的图象关于直线对称, ∴对任意都有, ∴ 用代得, ∴,即 ∴是周期函数,4是其周期. (3)当时， 当时，， 当时，， ∴ 图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 抽象函数及其性质 一、抽象函数的赋值法 赋值法一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 三、常见的抽象函数模型 1、可看做的抽象表达式； 2、可看做的抽象表达式（且）； 3、可看做的抽象表达式（且）； 4、可看做的抽象表达式. 题型一 求抽象函数的函数值 【例1】定义在上的函数满足，，则等于______． 【变式1】已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二 求抽象函数的解析式 【例2】已知函数对于一切实数、都有成立，且． 求的解析式． 【变式2】已知函数对一切的实数，，都满足，且.求的解析式； 题型三 证明抽象函数的单调性 【例3】已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的a，b∈R，有. （1）求的值；（2）根据定义证明是增函数； 【变式3-1】定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值；（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）求满足的的取值集合． 【变式3-2】已知函数对任意的，，都有，且当时，（1）判断并证明的单调性； （2）若，解不等式． 题型四 证明抽象函数的奇偶性 【例4】已知函数对∀x，y∈R，都有，证明函数在R上的奇偶性. 【变式4-1】已知函数满足，当时，成立，且．求，并证明函数的奇偶性； 【变式4-2】若对于任意实数，函数，都有，求证：为偶函数. 题型五 求抽象函数的值域 【例5】定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ） A．R B． C． D． 【变式5-1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域. 【变式5-2】已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域． 【作 业】 单选题（1-4） 1.设函数满足，且对任意、都有，则（ ） A．2027 B．-2025 C．2026 D．2025 2.（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5.已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____． 6.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是__________________ 7.定义在区间[-2,2]上的函数满足：，且在[0,2]上为增函数。若恒成立，则实数的取值范围是___________________. 8.已知函数是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_____________________. 9.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是______. 10.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。 11.已知函数当时，恒有. (1)求证: 是奇函数; (2)若. 12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式. 13.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 14.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $