专题09函数图象与图象变换训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“方法归纳-典例示范-分层训练”构建函数图象专项体系，系统整合描点法与变换法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点归纳|3类方法+8条结论|描点法步骤、平移/伸缩/对称/翻折变换规则、奇偶性与对称性结论|从基础作图到变换规律，形成“方法-结论-应用”逻辑链| |典型例题|3例|图象绘制→值域求解→方程根问题递进|覆盖作图象、用图象解决综合问题的核心考法| |练习作业|3组练习+15道题|作图技能训练、变换逆向应用、零点个数分析|从单一变换到多变换综合，衔接高考高频题型|

专题09 函数图象与图象变换 【知识点归纳】 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 ①y＝f(x)y＝f(ax)． ②y＝f(x)y＝af(x)． (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 3.常见结论 (1)奇函数（f(-x)=-f(x)）的图象关于原点对称； 偶函数（f(-x)=f(x)）的图象关于y轴对称 (2) 若f(-x)=-f(x+2)则f(x)的图象关于点（1,0）对称 若f(-x)=f(x+2)则f(x)的图象关于直线x=1对称 若y＝f(x+1)是奇函数则y＝f(x)的图象关于点（1,0）对称 若y＝f(x+1)是偶函数则y＝f(x)的图象关于直线x=1对称 区别y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称 y＝f(x+1)与y＝f(1-x)的图象关于y轴对称 【典型例题】 例1.先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域： ①，；②，； ③，； ④， 【解析】①列表如下： 所以值域为：； ②列表如下： 作出其图象如图所示： 因为在上单调递增，，，所以值域为； ③列表如下： 作出其图象如图所示： 因为在上单调递减，，，所以值域为； ④.作出函数的图象与函数的图象，如图所示： 由图可知，函数的图象是函数的图象向右平移一个单位得到，值域为.． 例2.作出下列图象 已知.     ⑴ 作出函数的图象； ⑵ 写出集合 M m | 使方程f(x)=m有四个不相等的实根. 【答案】(1)见解析; (2)M={m|0<m<1} 【分析】⑴由题得，再画出函数的图象. (2)利用数形结合得到m的取值范围. 【解析】(1) 由题得，再画出函数的图像如图所示， (2)由图象可得m∈(0,1)时，方程f x m有四个不相等的实根.则M={m|0<m<1}. 变式2 作出下列函数图象 (1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图象；（2）根据函数图象的平移和翻折结合对数函数图象即可得解. 【解析】（1）因为， 所以， 所以函数为偶函数，关于轴对称， 因此只需要画时的函数图形即可， ， 再利用对称性即可得解. （2）将函数 的图象向左平移 1个单位, 再将 轴下方的部分沿 轴翻折上去, 即可得到函数 的图象, 如图所示. 【练习】 1．作出下列函数的大致图象： ①； ②； ③； 【分析】根据函数图象的变换规则及指数函数的图象与性质作出函数图象. 【解析】①函数的图象为指数函数的图象的纵坐标伸长为原来的2倍，如图1所示； ②函数的图象向下平移两个单位的到函数的图象，将函数在x轴上方的图象不变、x轴下方的图象沿x轴翻折即可得到函数的图象，如图2所示； ③作出的图象如图3所示；             2 根据的图像，作出下列函数的图像： ①；②；③；④； 【分析】根据对数函数的图像，结合绝对值的性质，通过平移、对称的方法在直角坐标系内画出函数图像即可. 【解析】①作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示： ②把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分， 函数图像如下图所示： ③作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示： ④把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示： 3作出下列函数的图象： ①y＝；②y＝|x2－4x＋3| ③y＝x2－|x|－2.④ 【解析】①y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示． ②先用描点法作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示． ③函数y＝x2－|x|－2为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示． ④因为， 所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图： 【作业】 一、单选题 1.若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）． A． B．C． D． 【答案】C 【解析】从变成，应先将向左平移个单位，再关于轴对称，故选C． 2.将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数式为，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将变换后的函数的解析式化为顶点式，利用逆向变换，即先将该函数向上平移个单位，再向左平移个单位，得出函数的解析式，表示为一般形式后可得出、的值. 【解析】将二次函数的解析式表示为顶点式得. 利用逆向变换，先将该函数向上平移个单位，所得函数的解析式为，再将所得函数的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为， 因此，，，故选C. 3.函数在区间的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【解析】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 4.函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 5.设函数的定义域为R，则下列命题： ①若是偶函数，则的图像关于轴对称； ②若是偶函数，则的图像关于直线对称； ③若，则函数的图像关于直线对称； ④与的图像关于直线对称． 其中正确（ ） A.①③ B.②④ C. ① ② D.③④ 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可. 【解析】若是偶函数，则， 所以的图象关于对称，①错误，②正确； ，令即，所以是偶函数， 图象关于轴对称，③错误； 是将的图象向右平移2个单位而得， 是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得， 因此与的图象关于对称，④正确. 故答案为：B 6.奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为奇函数，可得，即和同号，所以 或，再结合函数的大致图象即可求解． 【解析】解：在定义域上为奇函数，， ， 或， 由题可知的大致图象如图： ∴该不等式的解集为, 故选：D. 7.若函数，则函数的零点个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可. 【解析】函数，的零点即的根， 设，则，先解方程的根t，再计算的解. 时得；时得. 如图所示，函数的图像， 方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个. 故选：B.      8.已知函数，若函数 恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 恰有3个零点，即函数与的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果. 【详解】函数 恰有3个零点，即函数与的图象有三个交点，分别画出与的图象，如图所示，， 观察图象可得，当时，两图象有3个交点，即函数恰有3个零点. 故选：A. 二、多选题 9.（多选）为了得到函数的图象，可将函数的图象（     ） A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 C．向上平移一个单位长度 D．向下平移一个单位长度 【答案】BC 【分析】根据函数图像变换求得结果. 【解析】解：由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的， 可得到函数的图象，则错误，B正确； 因为， 则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象， 则C正确，D错误. 故选：BC. 10.下面关于函数的性质，说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 【答案】AD 【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断； 【解析】解： 由向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为关于对称，所以关于对称，故D正确； 函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误； 函数在和上单调递减，故C错误； 故选：AD 11.已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围不可以的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题得或，求出的解为，命题等价于方程有两个不同的实根，利用数形结合求出的取值范围. 【解析】由题得， 所以或， 所以或， 所以或 的解为， 所以方程有两个不同的实根， 函数的图象如图所示， 所以， 所以. 故选ABC 三、填空题 12.若曲线与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出函数与函数的图象，观察图象得出当直线与函数的图象有两个交点时，实数的取值范围． 【解析】作出函数与的图象，如下图所示： 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是，故答案为． 13.有以下结论∶ ①将函数的图像向右平移1个单位得到的图像； ②函数与= lnx的图像关于直线y= x对称； ③对于函数(a>0且a≠1)，一定有 ④函数的图像恒在x轴上方， 其中不正确结论的序号为____- 【答案】① 【分析】根据函数平移、指对数关系、指对数函数的性质，判断各项的正误即可. 【解析】①将函数的图像向右平移1个单位得到的图像，故错误； ②由指对数的关系知：函数与= lnx的图像关于直线y= x对称，故正确； ③由指数函数的性质，如下图示，对于函数(a>0且a≠1)，一定有，故正确. ④由在上恒成立，即，故正确. 故① 14.已知是R上的奇函数，当时，，则的解集为_____． 【答案】 【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式，在同一坐标系中做出 和的图像，求出交点的坐标，根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集. 【解析】当时， ，所以 ， 又f（x）是R上的奇函数，所以 ，所以， 所以，即， 做出 和的图像如下图所示， 不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合， 由得所以， 由得，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15解答题 已知 ，求函数的零点个数？ 【答案】5 【分析】函数 的零点，即方程 和的根，画出函数的图象，数形结合可得答案． 【解析】 由得即方程 和 作出函数的图象． 由图象知与的图象有2个交点，与的图象有3个交点． 因此函数的零点有5个． 16.已知函数，方程有4个不同的实数根，求实数的取值范围？ 【答案】 【分析】分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可. 【解析】因为函数，可得函数图像如图： 由图知函数有2个零点，故A选项正确； 函数没有最值，故C选项正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误； 由于方程有4个不同的实数根， 令则有4个不同的实数根， 因为恒成立， 设两个不等的实根为， 由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 所以，解得， 故实数的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数图象与图象变换 【知识点归纳】 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 ①y＝f(x)y＝f(ax)． ②y＝f(x)y＝af(x)． (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 3.常见结论 (1)奇函数（f(-x)=-f(x)）的图象关于原点对称； 偶函数（f(-x)=f(x)）的图象关于y轴对称 (2) 若f(-x)=-f(x+2)则f(x)的图象关于点（1,0）对称 若f(-x)=f(x+2)则f(x)的图象关于直线x=1对称 若y＝f(x+1)是奇函数则y＝f(x)的图象关于点（1,0）对称 若y＝f(x+1)是偶函数则y＝f(x)的图象关于直线x=1对称 区别y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称 y＝f(x+1)与y＝f(1-x)的图象关于y轴对称 【典型例题】 例1.先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域： ①，；②，； ③，； ④， 例2.作出下列图象 已知.     ⑴ 作出函数的图象； ⑵ 写出集合 M m | 使方程f(x)=m有四个不相等的实根. 例3.作出下列函数图象 (1) (2) 【练习】 练习1．作出下列函数的大致图象： ①； ②； ③； 练习2 根据的图像，作出下列函数的图像： ①； ②； ③； ④； 练习3作出下列函数的图象： ①y＝ ②y＝|x2－4x＋3| ③y＝x2－|x|－2. ④ 【作 业】 一、单选题 1.若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）． A．B．C． D． 2.将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数式为，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.函数在区间的图象大致为（     ） A．B．C．D． 4.函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 5.设函数的定义域为R，则下列命题： ①若是偶函数，则的图像关于轴对称； ②若是偶函数，则的图像关于直线对称； ③若，则函数的图像关于直线对称； ④与的图像关于直线对称． 其中正确（ ） A.①③ B.②④ C. ① ② D.③④ 6.奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 7.若函数，则函数的零点个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8.已知函数，若函数 恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（多选）为了得到函数的图象，可将函数的图象（     ） A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 C．向上平移一个单位长度 D．向下平移一个单位长度 10.下面关于函数的性质，说法正确的是（     ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 11.已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围不可以的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12.若曲线与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是_______． 13.有以下结论∶ ①将函数的图像向右平移1个单位得到的图像； ②函数与= lnx的图像关于直线y= x对称； ③对于函数(a>0且a≠1)，一定有 ④函数的图像恒在x轴上方， 其中不正确结论的序号为____- A．1 B．2 C．3 D．4 14.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为_____． 四、解答题 15.已知 ，求函数的零点个数？ 16.已知函数，方程有4个不同的实数根，求实数的取值范围？ 学科网（北京）股份有限公司 $