第2章 第9讲 函数的图象 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦函数图象与性质，以“图象变换-性质应用-综合创新”为逻辑主线，通过高考真题与模拟题系统提炼数形结合、性质转化等解题方法，培养数学直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象变换|3题（含平移、对称）|解析式变形法、对称点代入法|从基本变换到复合图象，构建“解析式-图象-性质”关联| |性质应用|7题（奇偶性、周期性等）|定义域分析、数形结合法、特殊值排除法|性质判断→应用→综合不等式求解，形成逻辑推理链| |新定义与综合|4题（含鹊桥函数、m型增函数）|定义转化、分段函数处理法|基础方法迁移至创新情境，提升数学语言表达能力|

1．要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象(　　) A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：选A．y＝＝＝1＋，故需将y＝的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y＝的图象． 2．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选D．由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除选项A，B；由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D． 3．如图，已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 解析：选D．依题意，在函数y＝|x|的图象上取点(0，0)，点(0，0)关于直线x＝1的对称点(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上，则有|2－m|＝0，解得m＝2，经检验符合题意，故m＝2. 4．(2026·福州质检)若函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象如图所示，则函数g(x)＝logax＋loga(2－x)的图象大致为(　　) 解析：选A．函数g(x)＝logax＋loga(2－x)＝loga(2x－x2)＝loga[－(x－1)2＋1]， 由得0<x<2， 所以函数g(x)的定义域为(0，2). 由函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象可得0<a<1，而0<－(x－1)2＋1≤1，则g(x)≥0恒成立，所以B，C，D错误，A正确． 5．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)＜g(x)的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选A．由题知f(x)＝＋1＝g(x)＝f(x－2)＋1＝在同一平面直角坐 标系中画出y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示，由图可知f(x)＜g(x)的解集为(－∞，1). 6．(多选)设函数f(x)＝ln x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象与函数y＝ln (－x)的图象关于x轴对称 B．函数f(|x|)的图象关于y轴对称 C．函数|f(x＋1)|在(0，＋∞)上单调递增 D．<|f(4)| 解析：选BCD．函数f(x)＝ln x的图象如图1所示，对于A，由函数图象变换可知，y＝ln (－x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误；对于B，由函数图象变换可知，f(|x|)的图象如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确；对于C，由函数图象变换可知，函数|f(x＋1)|的图象如图4所示，函数在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 对于D，|f()|＝|ln |＝ln 3， |f(4)|＝|ln 4|＝ln 4， 因为y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln 3<ln 4，则|f()|<|f(4)|，故D正确． 7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________． 解析： 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图．由图易知a<2. 答案：(－∞，2) 8．函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________． 解析：因为f(x)＝＝＋1，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线y＝kx＋1过点(0，1)，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2. 答案：2 9．(13分)如图所示是函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成． (1)求F(x)的解析式；(6分) (2)若方程F(x－2 026)－ t2－t＝0存在实数解，求t的取值范围．(7分) 解：(1)由题意得解得 所以F(x)＝ (2)F(x－2 026)－t2－t＝0存在实数解，即F(x－2 026)＝t2＋t有解，即函数y＝F(x－2 026)的图象与函数y＝t2＋t的图象有交点，所以t2＋t≥，解得t≤－1或t≥.故t的取值范围为(－∞，－1]∪.　 10．(2026·重庆月考)已知函数f(x)＝ 将函数h(x)的图象向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度后得到函数y＝－的图象．若f(x＋2)<f(x2)，则实数x的取值范围为(　　) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．[－2，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：选C．因为函数h(x)的图象向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度后得到函数y＝－的图象，所以h(x)＝－－1. 所以当x<0时，f(x)单调递增， 又0<－<4，所以－1<f(x)<3； 当x≥0时，f(x)＝－()x－1单调递增，又－1≤－()x<0，所以－2≤f(x)<－1. 作出f(x)的大致图象，如图所示． 因为x2≥0，所以若f(x＋2)＜f(x2)，则0≤x＋2<x2，解得－2≤x<－1或x>2，所以实数x的取值范围为[－2，－1)∪(2，＋∞). 11．(多选)(2026·衡阳开学考)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，b2－4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象，如图所示，下列关于该函数的结论正确的是(　　) A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大 C．当x＝－1或x＝3时，函数取最小值0 D．当x＝1时，函数取最大值4 解析：选ABC．观察题图可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝－＝1，故A正确； 令|x2－2x－3|＝0可得x2－2x－3＝0， 所以(x＋1)(x－3)＝0，所以x1＝－1，x2＝3，所以(－1，0)和(3，0)是函数图象与x轴的交点坐标． 又因为对称轴是直线x＝1，所以当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确； 由题图可知点(－1，0)和(3，0)是函数图象的最低点，则当x＝－1或x＝3时，函数取最小值0，故C正确； 由题图可知，当x＜－1时，函数值y随x值的减小而增大，当x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于x＝1时所对应的函数值，故当x＝1时，函数值4并非最大值，故D错误． 12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，所以当x∈(2，4]时，f(x)＝2(x－2)·[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)； 当x∈(4，6]时，f(x)＝4[(x－2)－2]·[4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x). 函数f(x)的部分图象如图所示，由4(x－4)(6－x)＝3，得4x2－40x＋99＝0， 解得x＝或x＝， 因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3， 所以由图可知m≤. 答案：(－∞，] 13．(15分)定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝logax，且f()＝1. (1)当x∈[－1，1]时，画出函数f(x)的图象，并求其单调区间；(7分) (2)求函数f(x)在区间[5，7]上的解析式．(8分)　 解：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期的周期函数，f()＝f(－8)＝f(－)＝－f()＝1， f(0)＝0，所以f()＝loga＝－1， 解得a＝2，则当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x. 令x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]， f(－x)＝log2(－x)＝－f(x)， 则f(x)＝－log2(－x). 综上， 当x∈[－1，1]时，函数f(x)的图象如图所示， 由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0)，(0，1]，无单调递减区间． (2)因为f(x＋2)＝f(x)，则f(x－6)＝f(x)，当x∈[5，6)时，x－6∈[－1，0)，f(x)＝f(x－6)＝－log2[－(x－6)]＝－log2(6－x)，当x＝6时，f(6)＝f(0)＝0，当x∈(6，7]时，x－6∈(0，1]，f(x)＝f(x－6)＝log2(x－6)，则 14．(新定义)设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f(x＋m)>f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－a， 所以f(x)＝ 因为f(x)为R上的“20型增函数”， 所以f(x＋20)>f(x)在R上恒成立． ①当a≤0时，由y＝f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得y＝f(x＋20)的图象(图略)，显然f(x＋20)的图象在f(x)图象的上方，满足f(x＋20)>f(x). ②当a>0时，由y＝f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到y＝f(x＋20)的图象，要保证f(x＋20)的图象在f(x)图象的上方，需满足2a－20<－2a，可得0<a<5.综上可知实数a的取值范围为(－∞，5). 答案：(－∞，5) 学科网（北京）股份有限公司 $