06抽象函数、分段函数与二次函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抽象、分段、二次函数三大模块，以题型为载体构建从概念理解到性质应用的递进训练体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抽象函数|2类8题|定义域值域求解、解析式推导|从映射关系到函数性质的抽象思维训练| |分段函数|5类22题|求值、值域、单调性参数、性质应用、已知值求参|基于分段定义的数形结合与分类讨论| |二次函数|3类15题|值域最值、性质图象、实际模型应用|从代数性质到几何意义再到实际问题建模|

培优专练+三年真题06抽象函数、分段函数与二次函数 【考点一】抽象函数的定义域、值域 【考点六】分段函数的性质及应用 【考点二】求抽象函数的解析式 【考点七】已知分段函数的值求参数或自变量 【考点三】求分段函数的值 【考点八】求二次函数的值域或最值 【考点四】分段函数的值域或最值 【考点九】二次函数的性质与图象 【考点五】根据分段函数的单调性求参数 【考点十】二次、分段函数常见的函数模型 【题型一】抽象函数的定义域、值域 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 2．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C. 【详解】解：对于A，令，则有，即，故A错误； 对于B，令，则有， 又因为，， 所以， 令， 则有，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 令，则有，令，则有， 由B可知， 所以， 所以， 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 令，则有，故D错误. 故选：C． 3.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是__________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 4．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________． 【答案】/0.5 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故答案为： 【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题目时，常用赋值法. 【题型二】求抽象函数的解析式 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故选：C 3.（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 4．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 【题型三】求分段函数的值 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据分段函数分段处理的办法，代入求值即可. 【详解】由已知，当时，， 所以． 故选：D. 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 3．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则______. 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 5．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，则=______． 【答案】18 【分析】根据解析式直接求解. 【详解】由题意知． 故答案为：18 【题型四】分段函数的值域或最值 1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 3．（2026·山东聊城·二模）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 【答案】BCD 【分析】本题为分段函数多选题，逐个分析选项即可：代入算函数值，判断A选项；分段求导找极值，判断B选项；分段解方程，统计零点数判断C选项；分析的单调性，结合的范围判断D选项的值域. 【详解】对于，故A错误； 对于B，当时，， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故在处取极大值，故B正确； 对于C，当时，，结合B选项知在时仅有一个零点. 当时，令，解得， 所以共2个零点，故C正确； 对于D，结合B，C选项，在上的图象为 由图象可知， 若，则函数在上的值域为， 故D正确. 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选项. 【详解】对于A，根据题意，由，故A正确； 对于B，根据题意，由，故B正确； 对于C，根据题意，由 ，故C错误； 对于D，由于当时，函数， 满足， 所以图象关于直线对称， 当时，， 所以，，即； 当时，，故，； 当时，由于，所以此时； 当时，由于，所以此时， 以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 5.（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 【题型五】根据分段函数的单调性求参数 1．（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 【详解】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 2．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 3．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简不等式，得到函数单调性，再根据分段函数单调性性质求结果. 【详解】不妨设，则由得， 令，则在上单调递增， 因为 所以， 故选：A 4．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 5．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题知，，解得：. 故答案为：. 【题型六】分段函数的性质及应用 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【详解】解：在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 2．（2026·四川雅安·一模）已知函数则方程的实数根的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行分段讨论即可求解. 【详解】当时，则，可得或, 由解得符合题意； 由得无实数解，舍去. 当时，则，解得符合题意， 综上，方程有个实数根. 故选： 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，集合．若对任意，都有，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，由和两类情况讨论求解即可. 【详解】 由图象可知，在单调递减，在单调递增，单调递增，单调递减， 且， 且时，，， 如图①，当时，即，此时， 若对任意，都有， 此时，解得， 此时， 如图②，当时，即，此时， 若对任意，都有， 此时只需 故， 综上，， 故t的取值范围为. 4.（多选）（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 【题型七】已知分段函数的值求参数或自变量 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 2．（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用分段函数求值的方法进行求解. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在上的函数，且，则（    ） A．的值可以为 B．的值可以为2 C．若，则 D．若，且，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】代值检验，即可判断AB；代值计算即可判断C；结合函数的周期分析判断D. 【详解】对于A，当时，， ，符合题意，故A正确； 对于B，当时，， ，不符合题意，故B错误； 对于C，，则，即，故C正确； 对于D，当时，，则函数的周期为3，, 由，，要使最大，则，， 因为， 当时，令，取满足的最小正整数， 当时，取得最大值，又， 则的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 4.（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则_____． 【答案】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 【题型八】求二次函数的值域或最值 1．（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为. 因为在处取得最大值， 最大值为3，所以的最大值为3. 2．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 3.（2025·广东惠州·三模）函数，若成等比数列且，则值域为__________. 【答案】 【分析】根据已知有、，进而得到函数有最大值，即可求值域. 【详解】由已知得，， 由a，b，c成等比数列，则，， 所以有最大值，为， 所以值域为. 故答案为： 4.（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：ABC 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . （2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . （3）因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 【题型九】二次函数的性质与图象 1.（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 2．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分类讨论去绝对值，画出函数的大致图象，结合二次函数的性质进行分析即可求解. 【详解】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：D. 3.（2025·广东阳江·三模）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 4.．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由如下： 由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； (2)； (3) 由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）是，理由略. （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）略 【题型十】二次、分段函数常见的函数模型 1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 3．（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 【答案】每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 【分析】 设销售价为元，销售额为元，写出关于的函数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设销售价为元，销售额为元， 则，当元时，元， 所以当每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 4．（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【详解】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 5．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案. 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A.    二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则______． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故 . 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 9．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 10．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题06抽象函数、分段函数与二次函数 【考点一】抽象函数的定义域、值域 【考点六】分段函数的性质及应用 【考点二】求抽象函数的解析式 【考点七】已知分段函数的值求参数或自变量 【考点三】求分段函数的值 【考点八】求二次函数的值域或最值 【考点四】分段函数的值域或最值 【考点九】二次函数的性质与图象 【考点五】根据分段函数的单调性求参数 【考点十】二次、分段函数常见的函数模型 【题型一】抽象函数的定义域、值域 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是__________ 4．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________． 【题型二】求抽象函数的解析式 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3.（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 4．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【题型三】求分段函数的值 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则______. 5．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，则=______． 【题型四】分段函数的值域或最值 1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）已知函数则（    ） A． B．为的极大值点 C．有2个零点 D．若，则在上的值域为 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．函数的值域为 5.（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【题型五】根据分段函数的单调性求参数 1．（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为______. 5．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 【题型六】分段函数的性质及应用 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川雅安·一模）已知函数则方程的实数根的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，集合．若对任意，都有，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【题型七】已知分段函数的值求参数或自变量 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 2．（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 3．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在上的函数，且，则（    ） A．的值可以为 B．的值可以为2 C．若，则 D．若，且，则的最大值为 4.（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则_____． 【题型八】求二次函数的值域或最值 1．（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 2．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·广东惠州·三模）函数，若成等比数列且，则值域为__________. 4.（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【题型九】二次函数的性质与图象 1.（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·广东阳江·三模）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 4.．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【题型十】二次、分段函数常见的函数模型 1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   3．（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 4．（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 5．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则______． 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 8．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 9．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    10．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $