高中数学经典题型全解析：第8课 分段函数与抽象函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑链，系统构建分段函数与抽象函数的解题方法体系，通过典例变式实现方法迁移与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数概念|4典例+5变式|区间转移法、复合函数“由里到外”原则|从函数值求解到解析式确定，强化分段整体性认知| |分段函数性质|4典例+15变式|分段讨论奇偶性、单调性判定三原则|结合周期性、奇偶性、单调性的交叉应用，突出定义域端点处理| |抽象函数|6典例+18变式|赋值法、迭代法、替换法|从函数值到对称性、周期性，构建抽象问题具体化思维路径|

第八课 分段函数、抽象函数 1 分段函数概念 1.1 分段函数的函数值 1. 【解析】当时，得 不符合；当时， 得 2. 【解析】，因此 3. 【解析】当，无解；当，解得，所以 4. 【解析】令, 因为是定义在R上的奇函数,所以即 所以所以 由，解得． ∴所求零点的集合为. 5.B 【解析】因为是上的增函数，令，所以， 因为，所以是上的减函数， 由符号函数 知，. 选B. 1.2复合函数的值遵循“由里到外”原则 1. 【解析】，∴ 2. 【解析】 3．A 【解析】 1.3 区间转移法求分段函数的解析式 1. 【解析】令，则，从而，为奇函数，∴时， 2．【解析】令，则，从而， 为偶函数∴时，． ∴函数的解析式为= 3．【解析】函数是偶函数，则的图象关于对称，即， 设则， 因为，所以时，． 4．【解析】设，．根据条件可得，． ，，即时，． 5．【解析】设，．根据条件可得， ．，． 6．【解析】设，，． 因为，．所以，，． 7.【解析】由题意知是以2为周期的周期函数． 当时，． 又 ． 1．4 分段函数是一个完整的函数 1． 【解析】当，当且仅当取等号； 当，当且仅当取等号，因为，所以的最小值是． 2．【解析】当时，，，则，得；当时，不成立；当时，，即． 3． 【解析】当时，； 当时，要使的值域为R，只需，即 4.【解析】当，故，要使得函数值域是， 则的值域是的子集， 则当时，在上单调递增且值域是， 所以解得 5．(－1, －)∪(,1)【解析】当x<0时，f(x)＝2∈(0,1)， ∴f(f(x))＝f(2)＝－的值域是(－1, －); 当x＞0时，f(x)＝－2∈(－1,0), ∴f(f(x))＝f(－2)＝的值域是(,1)， ∴y= f(f(x))的值域是(－1, －)∪(,1)． 2*. 分段函数的周期性与奇偶性 2.1 的作用是将自变量的取值进行调整 1．【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，且 所以，即，，所以 2.337【解析】由题知，所以，，，，，，所以在一个周期内有， 所以． 3．-1 【解析】当① 用② ①+②得 4．-1【解析】由已知得，，， ，， ，，． 所以，所以-1 5． 【解析】，， 所以，所以=． 2.2分段的周期函数的定义区间一开一闭 1. 1 【解析】由题意可知， 2．【解析】由得， 所以， ． 3.D 【解析】当时，，所以当时，函数是周期为的周期函数， 所以，又因为当时，， 所以，故选D. 2.3 不完全周期的分段函数求值不要越界 1.3 【解析】 2. 8 【解析】 3. 0 【解析】 4. 【解析】 2.4分段函数的奇偶性判定采用分段讨论法 【典例1】 1．【解析】当x>0时； 当=． 所以是奇函数． 2．【解析】当时，，则； 当时，，则， 综上所述,为奇函数． 【典例2】 1．【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以即所以 【典例3】 1.12 【解析】，则，，则，解得，所以. 2. 2 【解析】，则，解得. 3. 【解析】当时，则，，，由， 得，即恒成立， ，即. 3. 分段函数的单调性 3.1单调的分段函数在各区间上单调性一致 1. (1,4)【解析】依题意得解得1＜a＜4． 2. (4，+∞)【解析】依题意得解得a＞4． 3. (1，+∞)【解析】依题意得解得a＞1． 4．【解析】由题意可知：． 3.2分段的单调函数不仅仅在左右区间上单调性一致 1. (1,+∞)【解析】依题意得解得a＞1． 2.【解析】依题意得解得≤k＜1．的取值范围是 3．【解析】设任意，则，因为， 所以，故为R上减函数．则，解得． 4. 【解析】由在上递减可知. 5. 【解析】依题意有，解得,实数的取值范围为. 6. 【解析】依题意有，解得,实数的取值范围为. 3.3* 数列型分段函数受定义区间的端点影响最大 1．【解析】依题意有，得． 2. 【解析】依题意有，得． 3. 【解析】依题意有，得． 4. 【解析】依题意有，得． 5. 【解析】依题意有，得． 6. 【解析】依题意有，得．即取值范围为. 7. 【解析】依题意有，得． 4 分段函数不等式 4.1分段求解分段函数不等式的解集 1．D 【解析】，不等式化为或，解得．故选D． 2．【解析】或，解得或． 4.2 根据函数的单调性求解分段函数不等式 【典例1】 1． 【解析】根据函数图象，可得解得，所以 2． 【解析】，根据函数的图象知，它在上为减函数， 且最大值为2，在为常数函数，所以，解得． 3.（1,2）【解析】，由得即 【典例2】 1. 【解析】，， 即，直接作出的图象，由图像直观解得解集为. 2．－2＜a＜1【解析】作出函数的图象，知是R上的增函数， ∴f(2－a2)＞f(a)⇒2－a2＞a⇒a2＋a－2＜0⇒－2＜a＜1． 3． 【解析】作出函数的图象可知函数单调递减，故，解得或． 4．【解析】函数在上单调增， 所以，即，解得，所以 4.3 分类确定分段函数的对应法则解不等式 1．【解析】依题意得或， 所以或，解得，即． 2． 【解析】依题意得或，得或，所以． 3.{x|x＜－3或1＜x＜3} 【解析】显然x≥0，∴f(x)＝x， 于是，原不等式或解得x＜－3或1＜x＜3． 5.存在递推关系的分段函数 5.1 含递推关系为实数）的分段函数 1． 0【解析】 2．36【解析】由题意可知，当时，，其值域为； 由于，故，由于， 所以最小的实数，有，得． 5.2 含递推关系为非零实数）的分段函数 1．5【解析】= 2. 【解析】 3. 【解析】. 5.3 含递推关系为非零实数）的分段函数 1．【解析】= 2．【解析】由可得，当时，；当时，．所以最小值是． 3. 【解析】法一：显然，由可得恒成立， 即，解得. 法二：由及在上递增可得在上恒成立得对恒成立，所以，所以. 5.4 *含递推关系的分段函数 1.1或2【解析】 可求得，当≤x≤()时，=． 记函数=(≤x≤，)图象上极大值的点为． 令，即=时，=，故Pn(，)． 分别令 1，2，3，得 P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)． 由 (k表示直线的斜率)得，或． 当时，所有极大值的点均在直线上； 当时，恒成立，此时极大值的点均在直线上． 2．【解析】当2≤x≤4时，函数图象上取极大值的点是．是函数图象上取得极大值的点．设抛物线的方程是或． ①若在抛物线上，先将点代入，求得．则，即对恒成立，从而； ②若在抛物线上，先将点代入，求得．则，即 恒成立，从而． 综上，． 6． 抽象函数概念 6．1抽象函数的函数值 【典例1】 1.【解析】(1)因为对于任意实数，总有 恒成立，令 ，得 ，所以 ． (2)令 ，得 ， 即 ．又因为是单调函数，所以． 【典例2】 1.3【解析】因为函数图象关于直线对称，所以，又函数为偶函数，所以，故． 2.0【解析】，令得，则 3.6【解析】由令得到． 再令得，因此． 又由，知，得． 4.10【解析】依题意，为常数．设，则，． 所以 ，． 结合图象知方程有唯一解． 则，． 6.2与抽象函数有关的不等式 1.【解析】（1）令y＝0代入，则，∴． 若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1． （2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0， 即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立． 2.【解析】（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数． （2）令得，又由，得． 因为当时，． 知当时． 设，∴，， ， 即 ，故f（x）在[0，＋∞）上是增函数． （3）∵f（27）＝9，又， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又，故． 6.3抽象函数的值域或最值 1.B【解析】由奇函数的性质可选B． 2.【解析】取， 则 ， ∴，www.ks5u， ∴由， ，故为奇函数． ，, 上的值域为． 3.(1)证明：设,则， 因为，所以．所以．故f(x)在定义域上是单调增函数． (2)当 时，．令，得 ，所以＝ ． 故由＝－1，得f(3)＝1． 于是， 而 ，则有． 所以x满足解得． 故实数的取值范围是[1＋，＋∞)． 7． 抽象函数的单调性 7．1抽象函数的单调性的证明 1.【证明】任取，设，则，所以， 故，即，所以在上是增函数． 2.【证明】任取，，<，则，因为当时，， 所以，而， 又，所以>,所以函数为R上的增函数． 3. 【解析】（1）证明：令，则， 所以，得证； （2）证明：设，则必，满足， 而， 即，所以在上是单调减函数. 7．2逆用单调性定义解不等式 1. 或 【解析】由题意有，解得或． 2.或 【解析】易知函数在R上单调增， ，即，解得或． 3. 【解析】由，解得． 4. 【解析】 易得，，故所求解集为. 5. 【解析】因为，而，，在上单调递减，所以，解得． 6. 【解析】由于是偶函数，故， 所以得，再根据的单调性，得，解得． 7.C【解析】由题意得，故选C 8. 【解析】函数的定义域为，且在上是增函数，所以，解得或． 9. 【解析】函数f(x)是上单调递增的奇函数，即为,故有，解得 7．3抽象函数不等式中的常数处理 【典例1】 1．【解析】，，即，所以，解得． 【典例2】 1．【解析】因为，所以．所以，即，解得． 8 抽象函数的奇偶性 8．1赋值法判断抽象函数的奇偶性 1.C【解析】令，则，故，设， 则，所以， 令，则有．故选C． 2.A【解析】设+||，由和分别是R上的偶函数和奇函数， 得+|+||=，所以+||是偶函数， 又可判断其他选项不恒成立．应选A． 3.【证明】令，得，令，得，则，即， 所以是奇函数． 4.【解析】证明:令，得； 令，得； 令，得．因此函数为奇函数． 5．【解析】函数为奇函数，则，即，替换， 得．又因为，所以，再将替换， 则，因此函数是偶函数． 8.2应用抽象函数的奇偶性求函数值 1.8【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 2.B【解析】因为，代入条件等式再相加，得． 3．C【解析】因是R上的偶函数，所以，因为，都有，可知：，所以，得求． 9．抽象函数的对称问题 9．1 一个抽象函数关于直线的对称性 1.【解析】令则点和在函数的图象上，那么对定义域内的任意，都有，即可知图象关于直线对称． 2.B【解析】因为都关于对称，所以它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，因此选B. 9．2 两个抽象函数的对称性 1．【解析】从图象平移角度去分析，容易得到关于直线对称． 或者利用特殊值法：若取，则，，那么点与关于直线对称． 2.【解析】①由，得两个图象的对称轴是直线x＝1; ②由，得两个图象的对称轴是直线x＝－1; ③由②知两个函数的图象关于点(-1,0)对称； ④猜测题④中的y = f(b x)与y = f(c x)两者图象关于直线对称． 证明: y = f(b x)，y =； 令，则与关于直线对称， 即可知时，两者图象关于直线对称． 3. 【解析】令，那么，因为和的图象关于原点对称． 由此可知，与的图象关于原点对称． 4. 【解析】令，则原题转化为函数与的图象的对称问题，显然与关于对称，即关于对称 9．3抽象函数关于点对称问题 1. 点【解析】令则点和在函数的图象上，那么对定义域内的任意，都有，即可知图象关于点对称． 10． 抽象函数的周期性问题 10．1 迭代法探究函数的周期 【典例1】 1．C 【解析】∵且，， ，，，， ∴ ，∴．故选C． 2 .【解析】由得，即，所以． 3.－【解析】由得， 所以，所以． 4.1008【解析】因为，则,，． 5. 【解析】，则T=4．， 又，则，所以. 6．【解析】】因为，所以，即函数的周期是4， ． 【典例2】 1.B【解析】由f(x)＝f(x＋6)知函数的周期为6，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012) ＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝335×1＋3＝338． 2．1 【解析】定义在上的函数的图象关于点对称，所以， 又，所以且，从而， 所以，又因为， 故． 3．A 【解析】由可得：，即，所以． 10．2 替换法求函数的周期 【典例1】 1. 1【解析】易求f(x)的周期为8，∴f(65)＝f(1)＝1． 2. 1008【解析】易求f(x)的周期为6，∴f(2017)＝f(1)＝1008． 【典例2】 1. 【解析】，，相加得，，． 2. 【解析】当，，相加得， 即，所以函数的值以6为周期重复性出现, 所以． 10．3 对称、奇偶、周期性的综合 1.2【解析】，所以，所以 故 2.1【解析】f(x)关于直线x＝－2和x＝2对称，∴f(x)的周期为8，∴f(9)＝f(1)＝1． 3.0【解析】因为， ．又，所以． 故． 4.0【解析】因为， ．又，所以．故． 5.D【解析】①不成立，可举反例： , , ． ②，， 前两式作差，可得， 结合第三式，可得, ，也有， ∴②正确，故选D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $第八课 分段函数、抽象函数 【目录】 ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 1.分段函数概念 1.1 分段函数的函数值 1.2复合函数的值遵循“由里到外”原则 1.3 区间转移法求分段函数的解析式 1.4 分段函数是一个完整的函数 2. 分段函数的周期性与奇偶性 2.1 的作用是将自变量的取值进行调整 2.2分段的周期函数的定义区间一开一闭 2.3 不完全周期的分段函数求值不要越界 2.4分段函数的奇偶性判定采用分段讨论法 3. 分段函数的单调性 3.1单调的分段函数在各区间上单调性一致 3.2分段的单调函数不仅仅在左右区间上单调性一致 3.3 数列型分段函数受定义区间的端点影响最大 4 分段函数不等式 4.1 分段求解分段函数不等式的解集 4.2 根据函数的单调性求解分段函数不等式 4.3 分类确定分段函数的对应法则解不等式 5.存在递推关系的分段函数 5.1 含递推关系为实数）的分段函数 5.2 含递推关系为非零实数）分段函数 5.3 含递推关系为非零实数）分段函数 5.4 含递推关系的分段函数 6.抽象函数概念 6.1抽象函数的函数值 6.2与抽象函数有关的不等式 6.3抽象函数的值域或最值 7.抽象函数的单调性 7.1抽象函数的单调性的证明 7.2逆用单调性定义解不等式 7.3抽象函数不等式中的常数处理 8.抽象函数的奇偶性 8.1赋值法判断抽象函数的奇偶性 8.2应用抽象函数的奇偶性求函数值 9．抽象函数的对称问题 9.1 一个抽象函数关于直线的对称性 9.2 两个抽象函数对称性 9.3抽象函数关于点对称问题 10.抽象函数的周期性问题 10.1 迭代法探究函数的周期 10.2 替换法求函数的周期 10.3 对称、奇偶、周期性的综合 1 分段函数概念 1.1 分段函数的函数值 【典例】已知函数，若，则实数（ ）． A . B . C . D. 2 【解析】(法1) 当时，由得，可见不存在实数满足条件； 当时，由得，解得， 故选A． (法2)因时，， 又因为，所以， 所以，即，解得， 故选A． 【评注】求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值不同，选择对应的解析式．若自变量的取值不确定，则需分类讨论．如本题中，因，有；而的取值不确定，的表达式就需要分类讨论． 【变式1】已知实数，函数，若，则的值为________． 【变式2】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 . 【变式3】已知函数，且，则 ． 【变式4】已知是定义在R上的奇函数,当则函数的零点的集合为 【变式5】已知符号函数 是上的增函数，，则（ ） A． 　 B． C． D． 1.2复合函数的值遵循“由里到外”原则 【典例】设函数，若，则= ． 【解析】因为所以 或， 解得． 【评注】这类试题涉及复合函数，则遵循“由里到外”的原则,例如要求的值，先求的值记为，再求的值就是的值． 【变式1】设函数则的值为 ． 【变式2】设函数的值为 ． 【变式3】已知函数则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1.3 区间转移法求分段函数的解析式 【典例】定义在R上的奇函数有最小正周期4，且在时，， 求在上的解析式． 【解析】因为是奇函数，故，最小正周期4， 故，所以 当时，，， 所以，在上的解析式为 【评注】已知函数在某个区间的解析式，探求其他区间的解析式，运用区间转移法进行求解．即把要求解析式的区间转移到已知解析式的区间上来. 如本题，要求区间上的解析式，就设，通过取相反数将区间转移到已知的区间上来，即，这样可求，根据条件奇函数就可求在区间上的解析式． 【变式1】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数 = ． 【变式2】已知是定义在上的偶函数，且时，．求函数的解析式． 【变式3】函数是偶函数，，求时的表达式． 【变式4】已知函数的最小正周期是2，当．求函数在上的解析式． 【变式5】已知函数，满足，当，求在上解析式． 【变式6】已知函数，满足，当，求函数在上的解析式． 【变式7】已知，并且当时，，求当时,的解析式． 1．4 分段函数是一个完整的函数 【典例】设函数，则的值域是（ ） A． B． C． D． 【解析】由 由 所以， 当的取值范围； 当的取值范围． 综上可知，的值域是故选D． 【评注】求分段函数的最值应该对每一段上的最值进行分析比较，不能分段回答最值．因为它就是一个函数，最值不能有多个．处理分段函数值域问题有两种：一是先分段求值域，然后取并集；二是作出函数图象，观察得到值域． 【变式1】已知函数，则的最小值是 ． 【变式2】已知函数若函数在上的最大值比最小值大则的值为 ． 【变式3】设函数，若的值域为R，则实数的取值范围是 ． 【变式4】若函数的值域是 ，则实数的取值范围是 ． 【变式5】若函数，则函数的值域是 ． 2*. 分段函数的周期性与奇偶性 2.1 的作用是将自变量的取值进行调整． 【典例*】若函数)是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则_______． 【解析】由题易知，． 【评注】根据函数的周期性和奇偶性将待求函数值的自变量值转化到已知解析式的范围内求解；若一个函数的周期是，则也是这个函数的周期．的作用是将自变量的取值由大变小，或由小变大． 【变式1】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= 【变式2】定义在上的函数满足,当时，，当时，．则 ． 【变式3】定义在上的函数满足则的值为 ． 【变式4】定义在R上的函数满足，则 的值是 ． 【变式5】设，又记则 ． 2.2分段的周期函数的定义区间一开一闭 【典例】设是定义在上且周期为的函数,在区间上,其中．若,则的值为__ __． 【解析】因为的周期为，所以得， ①； 同理，由得， ②； 联立①②得，． 所以，的值为-10. 【评注】周期函数分段表示，其定义域区间端点一般左开右闭，但是如果像本题这样的例外，那说明端点函数值可以构建关系，即隐含． 【变式1】设是定义在上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，则＝________． 【变式2】 已知定义在上的函数满足,且，则____． 【变式3】已知函数的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，；当时，，则f(6)= （ ） （A）-2 （B） （C）0 （D）2 2.3 不完全周期的分段函数求值不要越界 【典例】已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意，都有，且当时，，则= 【解析】由时，得时即周期为4，　 所以 . 故= 【评注】本题中，，其中都不能直接代入求值，都需要借助于求值．但是如果不注意这一点，很可能产生的错误结果，其实本题的周期4仅仅在上使用，不能利用周期把上的数值直接“越界”推导到上． 【变式1】已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意，都有，且当时，，则 【变式2】已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意，都有，且当时，，则= 【变式3】已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意，都有，且当时，，则= 【变式4】已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意，都有，且当时，，则= 2.4分段函数的奇偶性判定采用分段讨论法 【典例1】判断函数的奇偶性． 【解析】①设，则，； ②设，则，； ③当时，，满足； 由①、②、③知，对都有， 所以，函数为奇函数． 【评注】分段函数的奇偶性判定采用分段讨论法，讨论要全面．对各段函数采用代入法计算，并与进行比较．比较时不要看错了解析式．例如本题中，当，求时要代入下面的解析式得到，此时应与时的表达式比较，不能与比较． 【变式1】判断函数的奇偶性． 【变式2】判断函数f(x)= 的奇偶性． 【典例2】定义在的奇函数满足，且时，，则 ． 【解析】因为且 所以， 应填 【评注】根据函数的周期性和奇偶性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内求解；也可根据函数的奇偶性及时的解析式求出“时的解析式”，再求函数值． 【变式1】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有当时，则 ． 【典例3】已知函数为奇函数，则 ． 【解析】（法1）当时，则，∴，， 而，即， 所以，故． （法2）（特殊值法） 由得. 【评注】分段函数具有奇偶性，则满足函数奇偶性的定义．通法是根据时的解析式，利用奇偶性求出时的解析式，该解析式与已知解析式恒等，便可以求出相应位置系数．也可以利用特殊值法，如． 【变式1】已知为偶函数，则 ． 【变式2】已经函数是奇函数，则的值是 ． 【变式3*】已知函数是奇函数，则= ． 3. 分段函数的单调性 3.1单调的分段函数在各区间上单调性一致 【典例*】已知函数则下列结论正确的是(　　) A．是偶函数 B．是增函数 C．是周期函数 D．的值域为[－1，＋∞) 【解析】由函数的解析式知，则不是偶函数； 当时，令，则在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值； 当时，，则在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值∈[－1，1]； 所以，函数不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 故选D． 【评注】判断分段函数的单调性，先局部再整体，即先判断各段的单调性，再研究各段的分界点处的函数值的大小，从而得到整个分段函数的单调性．不能只看一段或各段得到单调性而不研究分界点． 【变式1】已知是上的减函数，那么 a 的取值范围是 ． 【变式2】已知是上的增函数，那么 a 的取值范围是 ． 【变式3】已知是上的增函数，那么 a 的取值范围是 【变式4】已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是 ． 3.2分段的单调函数不仅仅在左右区间上单调性一致 【典例】已知是上的减函数，那么 a 的取值范围是 ( )． A． B． C． D． 【解析】考虑两个方面，首先，每一段都是减函数，则有； 其次，分界点处的函数值满足左边不低于右边，则有． 所以解得, 故选C． 【评注】分段函数除非是整个定义域单调可以用并集，否则必须分段写．本题容易发生在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上是增函数的错误．比如，函数在上单调增增，增， 【变式1】已知是上的增函数，那么 a 的取值范围是 【变式2】已知函数是R上的增函数，那么的取值范围是 ． 【变式3】函数满足对任意定义域中的x1, x2成立，则实数a的取值范围是____________ ． 【变式4】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是 ． 【变式5】已知函数是增调增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式6】已知函数是增调减函数，则实数的取值范围是 ． 3.3* 数列型分段函数受定义区间的端点影响最大 【典例】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【解析】考虑两个方面，首先，每一段都是增函数，则有； 其次，分界点处的两项满足左边小于右边，即． 综上有， 解得． 所以,实数的取值范围是 【评注】数列型函数在上单调增增，增，；数列型函数在上单调增增，增，． 【变式1】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式2】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式5】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式6】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 【变式7】已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ． 4 分段函数不等式 4.1 分段求解分段函数不等式的解集 【典例】设函数则使得成立的实数的取值范围是________． 【解析】，解得 所以,实数的取值范围为． 【评注】这类综合题的关键在于自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解不等式，注意取值范围的大前提，然后把两个不等式解集并起来即可．此类问题可以分类分段求解，也可以结合图形获得满足的条件． 【变式1】设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式2】设函数，若，则的取值范围是 ． 4.2 根据函数的单调性求解分段函数不等式 【典例1】已知函数，则满足不等式的x的范围是 ． 【解析】如图，， ． 【评注】从函数图像上看，函数图象左平右高，显然时不满足条件；当时，只要即可，不用讨论的取值范围． 【变式1】已知函数，则不等式的解集是 ． 【变式2】已知函数，则不等式的解集是 ． 【变式3】已知函数，，则的解集是 . 【典例2】已知函数，则不等式的解集是 ． 【解析】作出函数的图象，知是R上的增函数， 所以由得，即． 因为恒成立，所以得，即． 所以不等式的解集是． 【评注】对于分段函数，作出函数的图象就可以直观地判断单调性，再利用单调性就可以解形如的不等式．如本题，作出函数的图象，就可知是R上的增函数，所求的不等式就可转换为．不需要分段讨论求解． 【变式1】设函数则不等式的解集是 ． 【变式2】已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知函数，则不等式解集是__ _． 4.3 分类确定分段函数的对应法则解不等式 【典例】已知，则不等式的解集是 ． 【解析】 当，即时，由 可得，解得．因此， ； 当，即时，由可得，故 满足不等式． 所以的解集是． 【评注】要解不等式，首先要解决“该等于什么“这个问题．由于是分段函数，所以要根据的取值讨论确定“该等于什么?”． 【变式1】已知函数，则不等式的解集是 ． 【变式2】已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式3】已知函数，则不等式的解集是________． 5.存在递推关系的分段函数 5.1 含递推关系为实数）的分段函数 【典例】已知函数 ． 【解析】 【评注】当，满足，即，若仍然有，则继续，如此反复，直到，则可代入第一段表达式求值.． 【变式1】, 已知函数 则 ． 【变式2】已知函数满足： ①对任意，恒有成立；② 当时，．若，则满足条件的最小的正实数是 　 　． 5.2 含递推关系为非零实数）的分段函数 【典例*】函数，函数的零点按照从小到大的顺序排成数列，则该数列的前10项的和是 ． 【解析】=0，得，画出函数和的图象，可得前10个零点分别是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故前10项的和是45． 【评注】若，，函数的周期为T，作图时可以作出一个周期的图像，然后通过左右的平移得到其他区间的图像；若，作图时可以作出一个区间的图像，然后通过左右平移和上下平移来作出其他区间的图像. 【变式1】已知，则的值为 ． 【变式2】已知函数，则= ． 【变式3】已知函数满足，当时，，则= ． 5.3 含递推关系为非零实数）的分段函数 【典例】已知函数，若与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是 ． 【解析】作出函数的图象,可知与的图象有三个交点的横坐标分别在区间内各有一个交点，由图象可知，解得. 【评注】含有f(x)＝kf(x－T)（T＞0）的分段函数，既有平移，又有放缩，作出一个区间长度为T的图像后，对于该区间右侧图像，可以向右平移T个单位，然后将图像沿竖直方向拉伸或压缩（）倍得到. 对于该区间左侧图像，可以向左平移T个单位，然后将图像沿竖直方向拉伸（）或压缩倍得到. 【变式1】已知函数，求 【变式2】定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数的最小值为_______________． 【变式3】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5.4 *含递推关系的分段函数 【典例】已知函数当时，恒有成立，且当时，，记，则________． 【解析】； ； ， 所以…． 【评注】函数满足时可以进行迭代． 【变式1】定义在上的函数满足：① (c为正常数)；②当2≤x≤4时，．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则= ． 【变式2】定义在上的函数满足：① (c为正常数)；②当2≤x≤4时，．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数= ． 6． 抽象函数概念 6．1抽象函数的函数值 【典例1】定义在R上的函数 满足 ， ，则 ＝ 【解析】令，得 得 ， 由 ． 【评注】抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质．如本题，由，要想求出，必须再求出和．令可求得；令，就可求得．最后令即可． 【变式1】已知定义在R上的单调函数满足：存在实数，使得对于任意实数 ，总有 恒成立． 求： ； 的值． 【典例2】函数对任意实数，均满足，且,则______． 【解析】令 则 即 下面来求，令,得，要求 ． 令，得, 又，所以，则． ， 所以． 【评注】抽象函数就是没有给出解析式的函数．常见的方法有赋值法、换元法、具体化等． 本题中，先赋值求出，得到后，再迭代． 【变式1】偶函数的图像关于直线对称，，则＝________． 【变式2】已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值为 【变式3】定义在的函数满足，，则= ． 【变式4】已知为上增函数，且对任意，都有，则 ． 6.2与抽象函数有关的不等式 【典例】设f（x）是定义在上的单调增函数，满足，求： （1）f（1）； （2）若，求x的取值范围． 【解析】（1）因为，所以 ． （2），从而有 ， 即，因为f（x）是上的增函数， 故 ，解之得 ． 【评注】解与抽象函数有关的不等式，应该利用函数的单调性脱去函数符号，得到关于x 的不等式解之．如本题，对于不等式，我们的思考方向是：最终把不等式变成形如的形式，就可以利用单调性脱去函数符号了．于是左边逆用已知等式变为，右边再结合其它条件寻找使成立的即．如果不知道函数的单调性，应先判断函数的单调性 【变式1】设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立．求： （1）f（0）； （2）对任意实数x，判断f（x）值的正负． 【变式2】已知函数f（x）对任意实数x、y都有，且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若且，求a的取值范围． 6.3抽象函数的值域或最值 【典例】已知函数对任意实数恒有，且当 时，有，． (Ⅰ)判断的奇偶性；(Ⅱ)求在区间上的最大值． 【解析】（Ⅰ）令则所以 令 所以对任意恒成立 所以为奇函数． （Ⅱ）任取， 则 www.ks5u 所以 所以 又为奇函数, 所以 所以在上是减函数． 所以对任意，恒有 而 所以，所以在[－3，3]上的最大值为6． 【评注】抽象函数的最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其最值．可用结论：①奇函数在对称区间上具有相同的单调性；②偶函数在对称区间上具有相反的单调性． 【变式1】如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是（ ） A． 增函数且最小值为 B． 增函数且最大值为 C． 减函数且最小值为 D． 减函数且最大值为 【变式2】已知函数对任意实数都有，且当时，，，求在上的值域． 【变式3】．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且对于任意的正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)． (1)证明：函数f(x)在定义域上是单调增函数； (2)如果f()＝－1且f(x)－f≥2，求x的取值范围． 7． 抽象函数的单调性 7．1抽象函数的单调性的证明 【典例】函数对任意的实数且当时有 (Ⅰ)求证：在(－∞，＋∞)上为增函数； (Ⅱ)若，解不等式 【解析】(Ⅰ)证明：取， 则 ，所以，www.ks5u 所以， 所以所以在(－∞，＋∞)上为增函数． (Ⅱ)因为，所以 所以 由(Ⅰ)得所以 所以原不等式的解集为 【评注】配凑法就是通过恰当的拼与凑,然后有效的使用题设中的条件，使问题简洁、明了,从而达到比较容易解决问题的一种方法．第(Ⅰ)问是利用函数单调性的定义证明，关键在于将“”变形“．常用的变形有：，等． 【变式1】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时．求证：在上是增函数． 【变式2】定义在R上的恒为正数的函数，当时，，对任意都有，证明：函数为增函数． 【变式3】定义在正实数集上的函数满足下列条件： ①存在常数，使得； ②对任意实数，当时，恒有． （1）求证：对于任意正实数，； （2）证明：在上是单调减函数； 7．2逆用单调性定义解不等式 【典例】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x>1时，f(x)<0，且对于任意的正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)． （1）证明：在上是单调减函数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：设,则， 因为，所以．所以．故f(x)在定义域上是单调减函数． （2）将不等式化为， 令，则，即，由（1）得， 恒成立，（当且仅当时取“=”）．所以，又，故． 【评注】利用单调性定义，可以解抽象函数不等式，即若为增函数，则；若为R上的减函数，则．注意偶函数的性质的妙用． 【变式1】若为R上的减函数，则． 已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是 ． 【变式2】定义在上的奇函数在单调增函数在单调增 已知奇函数在是单调增函数，则满足的x 取值范围是 ． 【变式3】函数“定义在上的减函数”不同于“在上单调递减” 若函数f(x)在定义域上单调递减，且为奇函数，则不等式的解集是 ． 【变式4】已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为 ． 【变式5】定义在上偶函数在单调减 定义在上的偶函数， 当时单调递减， 若，则的取值范围是 ． 【变式6】已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ． 【变式7】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满 ，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【变式8】非抽象函数的定义域、奇偶性、单调性性质需要自我提炼 已知函数，则不等式的解集是 ． 【变式9】已知函数．如果，则的取值范围 是 7．3抽象函数不等式中的常数处理 【典例1】已知函数是定义在上的增函数，且．求解不等式 【解析】，当，则有，所以， 所以原不等式可以变形为． 因为函数是定义在上的增函数，所以，解得， 所以，原不等式的解集为． 【评注】对于抽象函数中的常数，应该根据条件找到这个常数对应的自变量值．如本题中不等式的右边的常数2，化为． 【变式1】已知是定义在上的增函数，且，，求不等式的解集． 【典例2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，若的取值范围是 【解析】因为为偶函数，所以， 于是，原不等式可化为． 又因为在区间上是增函数， 所以，即． 【评注】借助偶函数定义和对数的性质，同化不等式中的项，再把同类项合并，产生出新的系数，最终把常数变成与新的系数相同的常数抵消掉． 【变式1】函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．如果实数满足时，那么的取值范围是____________． 8 抽象函数的奇偶性 8．1赋值法判断抽象函数的奇偶性 【典例】已知函数对任意不等于零的实数都有， 试判断函数的奇偶性． 【解析】 所以是偶函数． 【评注】抽象函数奇偶性的判断往往借助于赋值和奇偶函数的定义．要让已知等式中出现，为了找到二者的关系，有时还要求其它一些函数值，如等． 【变式1】若定义在R上的函数满足对任意都有，则下列说法一定正确的是（ ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式2】设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A．+||是偶函数 B．-||是奇函数 C．|| +是偶函数 D．||- 是奇函数 【变式3】已知函数对一切，都有，求证：是奇函数． 【变式4】已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：．判断的奇偶性，并证明你的结论． 【变式5】已知定义在R上的函数，函数为奇函数，满足，判断函数的奇偶性 8．2应用抽象函数的奇偶性求函数值 【典例】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【解析】令 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以 【评注】函数的奇偶性应用之一赋值法求函数值．常常通过赋值两个相反数来求值. 【变式1】若定义在区间上的函数为奇函数，则 ． 【变式2】已知是奇函数，是偶函数，且则等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 ( 图 ① )【变式3】已知函数是R上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．抽象函数的对称问题 9．1 一个抽象函数关于直线的对称性 【典例】若，则的图象关于_________对称． 【解析】令则点和在函数的图象上，那么对定义域内的任意，都有，可知的图象关于直线对称． 【评注】抽象函数的对称性:①以为引例：关于的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为和．那么可以解读为：互为相反的两个自变量（和）所对应的函数值相等．下面我们通过取若干个常数，来模拟的图象．分别取，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性：那么就不难理解用作为偶函数的定义，即图象关于轴呈轴对称． ②下面按照上述方式对加以解读 首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量 ( 图 ② )分别为和．因为，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量和始终保持着关于对称的位置关系． 那么可以解读为：关于对称的两个自变量对应的函数值始终相等．模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性．且其对称轴是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆． 【变式1】若，则的图象关于_________对称． 【变式2】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1） (x2,y2)，…，（xm,ym），则（ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 9．2 两个抽象函数的对称性 【典例】y = f (1+x)与y = f (1x)的图象关于_________对称． 【解析】令，那么，即可知和关于轴对称． 由此可知，y = f (1+x)与y = f (1x)的图象关于轴对称． 【评注】两个函数y = f(b x)与y = f(c x)的图象关于直线对称． 这是两个图象的对称性．注意它与一个函数图象自身的对称性是不同的．即：对于函数，若对于任意的都有，那么其图象是关于对称的轴对称图形,请读者注意二者的区别． 【变式1】y = f (2+x)与y = f (1x)的图象关于_________对称． 【变式2】 ①与的图象关于_________对称． ② 与的图象关于_________对称． ③与的图象关于_________对称． ④与两者图象关于_______对称． 【变式3】与的图象关于_________对称． 【变式4】设函数定义在实数集上，求证：函数与的图象关于直线对称． 9．3抽象函数关于点对称问题 【典例】已知，则的图象关于_________对称． ( 图 ③ )【解析】由轴对称可知关于直线对称， 那么再去对函数关于轴对称后，可知当时， 则的图象关于点中心对称． 【评注】关于抽象函数对称中心的常见结论有：①满足的函数的图象的对称中心为；②满足（或或）的函数的图象关于点对称；③满足的函数的图象关于点对称．一般的：对于函数，若对于任意的都有，那么其图象是关于点对称的中心对称图象． 事实上，我们更改关系为，那么此时应解读为：关于直线对称的两个自变量所对应的函数值互为相反数，那么模拟图象可知其图像会呈现如图③的对称性．易得此时函数图象是关于呈中心对称． 【变式1】若，则的图象关于_________对称． 10． 抽象函数的周期性问题 10．1 迭代法探究函数的周期 【典例1】函数对任意实数都满足，若，则 【解析】由得，将前者代入后者， 即，所以是周期为4的函数，， 所以． 【评注】先观察已知等式的结构特点：从左到右变成了，且函数值变成了原来的倒数．要想求函数的周期，应该找到使成立的实数的值．于是我们猜想两次利用已知等式就能达到目的，即由已知可得，再将已知等式代入就得到，周期可求．有时需要反复迭代． 【变式1】设定义在上的函数满足，若，则( ) （Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ） 【变式2】已知函数对任意实数都有，若，则 ． 【变式3】函数对任意实数都满足，若，则 ． 【变式4】设定义在上的函数满足，若，则 _________． 【变式5】已知函数满足，若，试求． 【变式6】函数是定义在R上的偶函数，且，当时，,则______________． 【典例2】已知定义在R上的函数，且，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以． ，.选C． 【评注】若函数满足、、等，则都表示以为周期的函数．记住这些常见的结论，就可以像本例一样先猜后证． 【变式1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 【变式2】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 ． 【变式3】已知定义在R上的函数，且，则（ ） A． B． C． D． 10．2 替换法求函数的周期 【典例1】已知函数的定义域为R，，且，则　　　． 【解析】，用替换，得，，所以函数f(x)的周期为6． 因为，，所以 【评注】用替换，将化成，有两个目的， 其一，这个结论很熟悉，其周期不用推导也能知道； 其二，把替换成，这是问题本质，也是替换的目标，如替换，其实质也就是把增加2个单位，让变成． 【变式1】已知奇函数图像关于对称，且，则 ． 【变式2】设定义在上的函数满足，若，则 ． 【典例2】已知函数满足：则 ． 【解析】，将替换成，得两式相加，所以，则 则．令 ，所以． 【评注】就相当于数列的相邻三项，再进一步替换，生成新的等式，考虑作差或相加，从而转化为，是常见的周期性问题． 一般地，对，得，则函数的周期是． 【变式1】若函数满足：，，，则=___ ． 【变式2】定义在R上的函数满足，则_________． 10．3 对称、奇偶、周期性的综合 【典例】奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则 (　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 【解析】因为，， 所以所以 故 【评注】奇偶性的本质是对称．对称与周期有关．轴对称相当于平面镜成像，两个对称轴相当于两个镜子，象的象是无数的，从而造成周期现象； 对称中心相当于小孔成像，两个对称中心相当于两个小孔，象的象是无数的，从而造成周期现象； 一个对称中心加一条对称轴，相当于一个小孔加一个镜子，自然也会有无数个象，造成周期现象．那么，对称性与周期的关系如何呢？自然现象很好地诠释了数学原理． 【变式1】若函数关于直线和对称，则周期是 偶函数的定义域为R，为偶函数，且，则 ． 【变式2】若函数关于直线和对称，则周期是 定义域为R的函数，满足是偶函数，且为偶函数，且，则f(9)＝ ． 【变式3】若函数关于中心对称且关于对称，则周期是 奇函数的定义域为R，若为偶函数，则 ． 【变式4】若函数关于中心对称且关于中心对称，则周期是 奇函数的定义域为R，若也为奇函数，则 ． 【变式5】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） 、①和②均为真命题 、①和②均为假命题 、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题 $