重难点培优01 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦复合函数性质及嵌套函数零点问题，覆盖单调性、值域、奇偶性、零点等高考核心考点。通过知识重构梳理定义与性质，题型精研分六类题型讲解技巧通法，实战检测设分层练习，形成系统复习链条，助力学生突破难点。 资料以“三阶复习法”为特色，如零点问题通过换元转化为内外函数交点问题，培养数学思维与抽象能力。分层练习匹配不同学情，配合即时反馈，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题能力与应考素养。

重难点培优01 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 复合函数的单调性（★★★★★） 4 题型02 复合函数的最值、值域（★★★★★） 5 题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）（★★★★★） 6 题型04 内外自复合型的零点问题（★★★★） 7 题型05 内外双函数复合型的零点问题（★★★★） 8 题型06 二次型因式分解型的零点问题（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 13 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 复合函数 1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2、求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 知识点02 常见奇偶性函数模型与技巧 1、常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 知识点03 函数的零点 一、函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 2、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 复合函数的单调性 【技巧通法·提分快招】 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 1．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 6．（多选题）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型02 复合函数的最值、值域 【技巧通法·提分快招】 复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 1．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 2．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 4．已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 5．函数在区间的最大值为______. 6．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 7．函数的最小值为_____. 题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式） 【技巧通法·提分快招】 1、函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·三模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 3．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．[0，1] D． 5．“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型04 内外自复合型的零点问题 【技巧通法·提分快招】 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 1．函数，则函数的所有零点之和为_________． 2．已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 3．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 4．（多选题）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 5．（多选题）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（     ）． A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 题型05 内外双函数复合型的零点问题 1．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数，若函数与都没有零点，则函数与（   ） A．恰有一个零点 B．至少有一个没有零点 C．至少有一个有零点 D．无法确定 3．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是 4．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为_________ 5．已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 题型06 二次型因式分解型的零点问题 1．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 5．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．关于函数的结论正确的是（    ） A．值域是 B．单调递增区间是 C．值域是 D．单调递增区间是 7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 10．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．已知函数若关于的方程恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 21．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 22．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 23．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为______. 创新能力提升 1．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，若满足，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 8．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 复合函数的单调性（★★★★★） 4 题型02 复合函数的最值、值域（★★★★★） 6 题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）（★★★★★） 9 题型04 内外自复合型的零点问题（★★★★） 14 题型05 内外双函数复合型的零点问题（★★★★） 18 题型06 二次型因式分解型的零点问题（★★★★★） 22 03 实战检测·分层突破验成效 27 重难知识巩固 27 创新能力提升 42 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 复合函数 1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2、求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 知识点02 常见奇偶性函数模型与技巧 1、常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 知识点03 函数的零点 一、函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 二、函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 2、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 三、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 复合函数的单调性 【技巧通法·提分快招】 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 1．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 3．若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可. 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 4．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 5．已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 6．（多选题）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 题型02 复合函数的最值、值域 【技巧通法·提分快招】 复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 1．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】直接求出函数定义域，再求复合函数值域. 【详解】要使有意义，只需有意义，即. 令，则. 又， 函数的定义域为，值域为，且. 故选：C 2．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 3．已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 4．已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 5．函数在区间的最大值为______. 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 6．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 7．函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式） 【技巧通法·提分快招】 1、函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误； 又因为，则，故D错误； 故选：A. 2．（2026·山东青岛·三模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 3．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 4．定义在上的函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．[0，1] D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得为奇函数，且为单调递增函数，把不等式转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又由，可得函数为递增函数， 则不等式，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用奇函数性质对充分性和必要性分别验证可得结论. 【详解】充分性：当时，， 易知，所以，因此其定义域为； 则, 可得,即是奇函数,即充分性成立； 必要性：因是奇函数,所以的定义域关于原点对称，则, 即所以, ，因此，可得,经检验符合题意，即必要性不成立； 故选：A 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 题型04 内外自复合型的零点问题 【技巧通法·提分快招】 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 1．函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 2．已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 3．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 4．（多选题）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 5．（多选题）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（     ）． A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】结合图像得出方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，根据方程和求出，再逐个选项进行判断. 【详解】画出函数的图像： 设，即方程有三个不同的实根， 由于在上单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，， 令， 结合图像可知，方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根， 即当且仅当，且， ， 再考虑方程和，注意， 或或， 因为，所以， 对于A，， 所以，A正确； 对于B，，， 令，则，当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以，B正确； 对于C，，因为，所以单调递增， 因为，所以无最小值，C错误； 对于D，在上单调递增， 所以，所以的最大值为，D错误. 题型05 内外双函数复合型的零点问题 1．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】设，先解出，再分别求解即可. 【详解】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数，若函数与都没有零点，则函数与（   ） A．恰有一个零点 B．至少有一个没有零点 C．至少有一个有零点 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过定义、的值域，结合已知的无零点条件，分值域的包含（或相等）关系讨论，推导与的零点情况. 【详解】设二次函数的值域为集合， 指数函数的值域为集合. 由“无零点”，得方程在时无实根； 由“无零点”，得方程在时无实根. 分三种情况讨论与的关系： ①若： 的自变量， 结合“在无实根”，得无零点； ②若： 的自变量， 结合“在无实根”，得无零点； ③若： 的自变量， 的自变量，故两者均无零点. 综上，函数与至少有一个没有零点. 故选：B 3．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是 【答案】BCD 【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解. 【详解】因为当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因为在单调递减，而单调递增， 所以在定义域内单调递减， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下： 令，则，即，根据的图象可知， 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 当且仅当时，有两个整数根或． 要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时，，则． 即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确． 解方程得或，解方程得， 此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确． 故选：BCD． 4．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为_________ 【答案】 【分析】作出函数图象，进行分析，因为最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解；当时，有3个解； 当时，有1个解；因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，.综上所述，的取值范围为. 故答案为： 5．已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由单调性求出解析式，转化为与图像有两个交点，数形结合求的取值范围即可. 【详解】由题意设，则， 因为函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 所以， 则， 设，则与的图象有2个交点． 因为在单调递增且， 所以当时，，则不会有两个交点； 当时，在单调递增，在单调递减，且，可得， 所以． 故答案为：.    题型06 二次型因式分解型的零点问题 1．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 2．已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出分段函数的图象，再通过对方程因式分解讨论分析，求解实数范围即可. 【详解】 原方程因式分解得，因此方程等价于或. 分析的实根个数，是分段函数，所以 当时，，解得或，共个正根； 当时，，得（无解），解得，共个负根， 因此总共个不同实根，题目要求总共有个实根，故需要有个不同实根. 分析（）的实根个数， 分区间讨论的性质，时，，最大值为， 时，时无实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时无实根. 时，， 时个实根；时个实根；时个实根。 要使得总共有个实根，只有两种情况： ，此时总根个数为，符合要求，对应； 时，此时总根个数为，符合要求，对应. 综上，的取值范围是. 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以与及共有四个交点， 所以，解得， 即可得正实数的取值范围. 故选：B 4．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果. 【详解】由函数， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下： 令，由函数的图象及性质可知， 当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根； 函数有且仅有5个不同零点， 就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在. 当时，只有一个零点，不符合题意； 所以，此时二次函数，且恒成立. 当时，对称轴，，，解得； 当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意. 综上可知，常数a的取值范围为. 故选：C. 5．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 3．函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 4．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 5．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 6．关于函数的结论正确的是（    ） A．值域是 B．单调递增区间是 C．值域是 D．单调递增区间是 【答案】D 【分析】求出的定义域，根据在内的单调性与值域判断的单调性与值域. 【详解】因为有意义，所以，解得，即函数的定义域为， 函数，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，故B错误，D正确； 在上有最大值4，最小值故的值域为，故A、C错误. 故选：D. 7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故a的取值范围是. 故选；B. 8．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 9．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C，根据复合函数的值域可判断D. 【详解】令，所以的定义域为，故A错误； ，所以的图象不关于轴对称，故B错误； 令，则函数在上单调递减，又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确； 因为，所以的值域为，故D错误. 故选：C 10．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 11．（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 12．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 13．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 14．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 15．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，得到的图象关于直线对称，令，证得在上为增函数，结合复合函数的单调性的判定方法，得到在上为增函数，将不等式转化为，求得的取值范围. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取且，所以，故，且，， 则 ，即， 所以函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，整理得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 16．已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】令得，令，则，画出的图象，分和两种情况，结合的解的个数和各个解的范围，以及的图象，求出零点个数，得到答案 【详解】令得， 令，则， 其中， 当时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 当时，为单调递增函数，， 令得，令得， 故当时，有三个解， 分别为，，， 其中，画出图象如下： 令，若，则有0个零点， 若，则有1个零点， 若，则有两个零点， 观察图象，与均有两个零点， 综上，的零点个数可能为， 可能为，可能为， 当时，有2个解，分别为，， 观察图象，与均有两个零点， 此时共有4个零点， 综上，不可能为3个零点. 故选：A 17．已知函数若关于的方程恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法、分段函数性质、三角函数性质对方程的根的分布进行分类讨论建立不等式解出即可. 【详解】令，则方程变为，解得：或， 即或， 当时，， 若，则，若，则，均满足题意，此时方程有两个解， 当时，，令，则， 由，所以，要使原方程有6个不同的实数解， 只需要和在上有4个不同的实数解， 因为，故不满足题意， 所以只要在上有4个不同的实数解即可， 此时在上的解依次可以为： 所以要使得在上有4个不同的实数解则： ，解得：. 18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解. 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 19．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，设，推导出，转化为方程在区间上有两解，参变分离，在区间上有两解，构造函数，得到函数单调性，数形结合得到结论. 【详解】由题意得函数与的图象关于直线对称，故， ，设， 则方程，即均在函数图象上， 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 综上，，即方程在区间上有两解， 即，在区间上有两解， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 其中，即， 画出函数在上的图象如下： 要想在区间上有两解，需要， 解得. 20．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数的单调性可求得实数a的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递增， 要使（且）有最小值， 需使的最小值大于0，则， 解得，又，所以； 当时，在上单调递减， 又没有最大值， 所以（且）没有最小值，不合题意； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 21．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 22．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 【答案】 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题. 【详解】函数的定义域为，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为． 令，则，由，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4． 23．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，由题意可得有两不同的实数根，作出函数的图象，根据分及或分别求解即可. 【详解】因为当时，， 可知函数在内单调递减，且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 因为有6个零点，可知有两不同的实数根， 所以，解得或， 令， 结合函数的图象可知： 当，时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为. 故答案为：. 创新能力提升 1．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，若满足，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数为偶函数，利用导数证明在上单调递增，结合偶函数性质，单调性性质解不等式可求结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 对求导数，得， 当时，，， 所以，，故，当且仅当时取等号， 所以，函数在上单调递增， 不等式，可化为， 所以，又， 所以，因为函数为偶函数， 所以， 因为函数在上单调递增，，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 3．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数型函数的单调性求出的值域，令，根据值域关系建立不等式求解，解指数不等式即可求解. 【详解】令，则该函数在上单调递减， 又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以，即函数在上的值域为， 令，则，令，， 因为，，有成立， 所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集， 当时，，显然不满足题意； 当时，的对称轴，且开口向上， 所以在上单调递增，且， 所以，，即，所以，所以， 所以或（与矛盾舍去），所以， 所以，即实数的取值集合为. 故选：B 4．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围. 【详解】令，则方程可化为，即， 解得或，即或. 已知，求导得 ，当时，，单调递增， 当时，；当时，. 对任意，在总有1个根； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得极大值也是在的最大值， 因此在的最小值为，且时，，时，， 所以当时，在上无根； 当时，在上有且仅有1个根； 当时，在上有2个根. 综上，当时，有1个根，当时，有2个根；当时，有3个根. 所以当时，，有且仅有1个根，有且仅有1个根，共有2个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有2个根，共有3个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有3个根，共有4个不同的实根，符合题意； 当时，，有2个根，有3个根，共有5个不同的实根，不合题意； 当时，，有3个根，有3个根，共有6个不同的实根，不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题核心考查利用导数研究函数的单调性与极值，结合换元法、分类讨论思想，通过分析绝对值函数方程的根的个数，求解参数的取值范围，是函数与导数综合应用的经典题型. 5．（多选题）已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】函数 有3个不同的零点，令（），转化为方程，求解出，等价于方程和的实根总数为 3，求解出 或 ，分类讨论求得， 的取值范围是，再对选项进行验证. 【详解】函数的定义域为，， 令，解得, 当 时， ，，单调递减， 当时， ，，单调递增， 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 当时，；当时，， 综上，的值域为 ，且： 当 时，方程有2 个不同实根； 当或时，方程有1 个实根； 当时，方程无实根； 因为 ，，令（）， 则方程变为 整理得 解得两个根：， 因为有 3 个不同零点，等价于方程和的实根总数为 3， 结合的根的分布规律，需满足一个对应 2 个根，另一个对应 1 个根，分两种情况： ① 对应 2 个根，对应 1 个根， 需满足 （对应 2 个根）且 （对应 1 个根）， 当 时， ，条件成立； ② 对应 1 个根，对应 2 个根， 需满足（对应 1 个根）且 （对应 2 个根），解得，条件成立， 设，根据根的分布： ①若 ，则（2 个根），（1 个根）， 因此，此时 ， ②若 ，则（2 个根）， （1 个根）， 因此，此时 综上， 的取值范围是 A. ，符合； B. ，符合； C. ，不符合； D. ，符合. 6．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，所以，所以或， 由有，，解得，即，故A正确； 所以有3个不等的实根， 作出的函数图像： 由图可知：，故B正确；，故C正确；由， ，所以， 由，所以，故D错误， 故选：ABC. 7．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    8．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $