专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理一元二次不等式的定义、解法（含参数与不含参数）、分式高次绝对值不等式转化策略，以及恒成立、有解问题的处理方法，搭建从概念到应用的完整学习支架。 资料以9大考点分层设计，涵盖基础求解、参数确定、实际应用（如刹车距离、利润计算）等，通过“三个‘二次’关系”培养数学思维的推理能力，结合实例让学生用数学眼光观察现实问题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 2 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 4 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 7 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 8 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 11 【考点6：一元二次不等式有解问题】 13 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 15 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 18 【考点9：三个“二次”关系的应用】 22 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以，又，所以. 3．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，则， 解得，即，所以． 5．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 2．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 3．（专题06含参一元二次不等式问题（六类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程， 当时，，的解集为， 当时，的解集为， 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当或时，不等式的解集为． 4．（重难点培优04含参一元二次不等式解法题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 5．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）， ，所以原不等式的解集为. （2）， 或， 即或， 从而原不等式的解集为. 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 2．（专题02不等式（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即， 所以，解得． 3．（易错易混02不等式与不等关系、基本不等式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 5．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【详解】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解. 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得， 又由于，故，解得， 由于，且时，满足不等式， 故该不等式的4个整数解为， 因此，得且， 结合，因此且，解得， 故选：A. 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若集合，则的取值集合是__________. 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 所以，解得，所以的取值集合是. 故答案为： 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 5．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 2．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，，解得：， 综上：的取值范围是：. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，分和两种情况，结合二次函数的图象列出不等式，求解即得. 【详解】由关于x的不等式.对任意恒成立， 当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时，需使，解得, 综上，可得k的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高二下·山西·期末）（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 【考点6：一元二次不等式有解问题】 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 2．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测），则的取值范围是__________. 【答案】或 【分析】考虑，和三种情况，结合二次函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，不合要求，舍去； 当时，开口向下，满足要求； 当时，开口向上，需满足， 解得， 综上，或 故答案为：或 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据已知不等式有解得出有解，再应用基本不等式得出参数范围即可. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 5．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 2．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 5．（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 3．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的两根式，再利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）求出点的坐标，借助两点间距离公式确定形状，利用三角形面积求出最大值. 【详解】（1）由二次函数图象经过，设该二次函数解析式为， 又该函数图象过点，则，解得， 所以所求函数解析式为，即. （2）由（1）知，则点，， ，，为定值， 过分别作，垂足分别为，则， ， 因此当且仅当最小，即线段为斜边上的高时，最大， 所以. 5．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，并按是否为0分类求解. （2）求出函数图象的顶点坐标，列出不等式求解. 【详解】（1）由，得， 当时，恒成立，当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）依题意，，由的图象过点，得，即， 因此， 由顶点在第二象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 【考点9：三个“二次”关系的应用】 1．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 2 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 3 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 4 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 5 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 6 【考点6：一元二次不等式有解问题】 7 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 7 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 10 【考点9：三个“二次”关系的应用】 11 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 3．（专题06含参一元二次不等式问题（六类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）解下列关于的不等式：． 4．（重难点培优04含参一元二次不等式解法题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 5．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 2．（专题02不等式（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（易错易混02不等式与不等关系、基本不等式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（24-25高一上·四川成都·阶段检测）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若集合，则的取值集合是__________. 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 5．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 3．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 5．（25-26高二下·山西·期末）（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【考点6：一元二次不等式有解问题】 1．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 2．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测），则的取值范围是__________. 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 5．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 2．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 5．（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 5．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数． (1)当时，，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围. 【考点9：三个“二次”关系的应用】 1．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 3．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集． 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $