重难专题02 嵌套函数、倍增函数与类周期函数（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦嵌套函数、类周期函数与倍增函数重难专题，涵盖零点个数、参数范围、函数值求解等九类核心题型，构建从基础方法到综合应用的知识体系。 清单采用题型脑图归纳考法，分步骤拆解解题逻辑，如嵌套函数零点“求外层零点-内层交点-求和”三步法，培养数学思维与直观想象素养。特设考法深研与关键技巧提示，如类周期函数区间迭代策略，助力学生自主突破难点，教师可精准指导复习方向。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 嵌套函数、类周期函数与倍增函数 题型脑图重难考法归纳 题型1嵌套函数求零点个数 题型6倍增函数 题型2嵌套函数求参数（范用） 题型7类周期函数零点问题 题型3嵌套函数求函数值（值域） 嵌套函数、倍增函数与类周期函数 题型8类周期函数求参问题 题型4一元二次嵌套 题型9类周期函数求值域问题 题型5自嵌套与双函数互嵌 考法深研•解题技能通关 题型01 嵌套函数求零点（方程根）的个数 方法技巧 解决嵌套函数y=f儿g(】的零点个数问愿的解瑟步骤： 1.求外层函数的零点：令f0=0,求出t的值(，)： 2求内层函数的交点：分别将1的值代入1=8()，求对应方程的解的个数（即求直线y=1与函数 y=gx)图像的交点个数)： 3.求和：原复合函数的零点个数=各t值对应交点个数之和。 关键技巧：结合函数图象（数形结合）判断交点的个数，注意内层函数的定义域对解的限制。 2-1,x≤1， 1. (25-26高三上·福建漳州阶段检测)已知函数()- 2-x,x>1,则方程f(f()》=)的解的个数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的 1/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系，结合图象，可得答案 【详解】函数儿冈的图象如图所示： .1=0.5 y=f(x) 设=1，则方程U)御0-片由图象可知，与，=问有三个交点 横坐标分别为56<4<4），其中1<0,0<4<1,6> 方程f(f(x》=7解的个数转化为方程f(x)=4,f(x)=5,f(x)=4解的个数之和， 由图象可知， y4与=因有-个交点，=6与=国 有三个交点， y=与= 没有交点， 所以方程f(f(刃》=2解的个数为1+3=4 故选：B. Inx,x>0 2,(25-26高一上：吉林长春阶段检测)已知四 -x2-2x+1,x≤0，则函数y=4[f(x)]了-8f(x)+3的 零点个数为() A.8 B.7 c.5 D.3 【答案】B 【分析】根据函数零点定义，结合函数图象进行求解即可 【详I由y=4-87)+3=0→f(创=分·或f-房. 西数J( 的图象如下图所示： 1 3 由数形结合思想可知：函数f(x)的图象与函数y=2、y=2的图象一共有7个交点， 2/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以函数=4[✉町-8(+3有7个零点。 f(x) 3 2 故选：B 3.《多选)(2526高=下广东深圳期末)已知西数（个=r-3x,则方程fU()=aa∈）的实数 根个数可能为() A.1 B.5 C.6 D.9 【答案】ABD 【详解】令1=fx),则f0=a. 因为/国=-3x,代)=3-3=3(-+D,当<-1或>1时f>0,f四单调通指：当 -1<x<1时厂(<0，f单调递藏，且-)-2，f0=-2,且因的值域为R,图像如图： y=f(x) 2主 故当1<-2或t>2时1=f()均有一个根，当1<-2时f0单调递增且值域为(0，-2)：当t>2时f0单调 递增且值域为(2，+∞)： 当t=-2时1=f9有两个根，分别为x=-2和x=1,此时f)=f(-2)=-2: 当t=2时1=()有两个根，分别为x=-1和x=2,此时f(0=f(2)=2: 3/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当-2<1<2时(=f:有3个根，且f0单调递减且值域为(-2,2)： 故当a<-2或a>2时f0=a均有-个根，即方程fU(》aaeR)有-个实数根，放A正确： 当a=-2时0=0有两个根，分别为1=-2和1=1，此时方程/U()=aaeR)有5个实数根，放B正确。 当a=2时0=“有两个根，分别为=-1和1=2，此时方程f()=(aeR)也有5个实数根： 枚当2<a<2时0=0均有3个根，分别为 2<4<-1-1<t2<11<6<2 ,此时方程 ff()-a(aeR)有9个实数根，故D正确 x-2k,x≤2 4.（25-26高三上陕西西安期末)已知函数/(0)= n(x-1),x>2,若函数g(x)=ff(x0-l血4，则下 列说法错误的是() A,当>0时， (冈有2个零点 B.当k<0时，8的可能有2个零点 C.当k<0时， g() 能有4个零点 D.当k<0时，8（因不可能有3个零点 【答案】D 【分折1根据题查，画出函数（✉的图像，令(=，由8(=0，得到0=血4，分>0和k<0 结合函数的图像，确定函数8) 的零点个数，即可得到答案 c-2k,x≤2 【详解】由函数()= n(x-),x>2,画出函数f(x)的图像，如图所示， 令(=1，由()=0，可得0=血4。 当>0时，由0=l血4，可得a(-)=h4,解得=5， 结合图像知，(-5有2个解，即当>0时，8()有2个零点，故A正确 4/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当k<0时，由f)=n4,可得1=5或1= 产+2，又/-5有2个解 0当4+2<0时，V(=+2无解，比时8问有2个零点 当4+2-0时./-+2有1个解，此时g问有3个零点： ②当 +2>0时，/例=+2有2个解.此时问有4个零点 ③当k 所以BC正确，D错误。 故选：D. 环 y=f(x) y=f(x) 0/2 2 >0 k<0 x+ ,x<0 5.(多选)(25-26高三上广东佛山阶段检测)函数f()= 3x 关于的方程 e*,t≥0 f2(x)-mf(x=0(m∈R) ,下列说法正确的是() 3 -00, A.函数f()的值域为 e B.函数f冈的单调减区同为，0)，（，+) C.当m=2时，则方程有6个不相等的实数根 ,+00 D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是(e 【答案】ACD 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A 和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D 5/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解】当g<0时，)-生-1+则了在（一0单调莲流。且有近线为y箱和，=相有 f(x)<1 当x0时。f)=,f)-c-e30- ex, (e) et. 当0<x<1,f(>0.f在0)单调送增 当>1时，()小k0,f四在L+切)单调递藏 数四0-名.且恒有f0, 综上可知，f)-3 ,作出函数大致图象，如下图。 VA e y=f(x) -10 3 -00, 由图像可知f(x)函数的值域为e, 故A正确， 函数( 的单调递减区同由图可知为心，0)，（化+切），故B错误 当m=时，则方程广()-/-0可化为了=0或/（✉-=2， 由/=0 得x=0或x=1,有两个实数根： e y=x)儿=1 -10 6/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由图象可知，由(-2，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为-1 所以当m=2时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确， 若关于x的方程()m(训0meR)有3个不相等的实数根。 即=0与/=m 共有3个不相等的实数根， 又因为/6=0 已有两个不相等的实数根0，-1， 则方程广=m 有且仅有一个根，且不为0，-1 所以'=与'=m有且仅有一个公共点， 3 3 m> 由图象可知e,满足题意，即m的取值范围是e 故D正确 y-m y=/x) ○ f(x)= logzx,x>0 6.(25-26高一上湖南常德·期末)已知函 x2+2x+1,x≤0，则函数 g因)=(r-3[f((✉川+2零点的个数为() A.9 B.14 C.16 D.18 【答案】C 【分折1令8（④）=0，求出U(》=或f)=2, 然后分别讨论函数的零点个数： 【详解】因为脑数)=g,>0 x2+2x+1,x≤0，所以f(x)≥0. 7/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令8()=0，则[f((✉川-3[/(/（小+2=0，得到f(f(》=1或fU(=2. 当f()=l时，设f(=4,4,4a,(a<0=4<4<1<a) 当间4=0时，2个要点：当)=4(0时，4个零点：当f)=a>1时.3个季点 所以/（刃=l时共9个零点： 当fU(刃=2时，设f(=6,6,6(6<0<6<1<6） 当f()=6∈(0,1 时，4个零点：当 (x)=b>1 时，3个零点： 所以/V(x》=2 时共7个零点： 综上共有9+7=16个零点： 故选：C 2x 7.(25-26高三下·湖北武汉阶段检测)已知函数 )=2+1,若 <0< 2,则函数 g(x)=f(f(x))-cose 的零点个数是 【答案】4 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通 过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题 【开1有意利的定义线有g由心-释（小-2兴-因. 所以函数) 是偶函数， 当0陈.er国-2 x>0 (x2+12 当0<x<1时，(>0 当*>1时，f田<0 8/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故（因在0）上单调递境 (亿，+0)上单调递减， 又（四为偶函数。 所以f东(，-) 在 上单调递增，在 -1,0 上单调递减， 1 y=f(t) y=cos0 t-1o14 所以[/（✉]=f0=1,又f0)=0.x→切时，f倒→0，所以f冈的值域为0 令f)=1,则1e0.则，由8(=0，得0=os0 因为0<0<乞，所以cos0∈(0，)，画出y=f0与y=cos0的图象如图所示， 所以f0os0在区间D,有唯一零点5。 令()5,4∈(0)，函数儿因的图象与函数'=的图象有4个交点，故函数 的零点个数是4. x-1,0≤x<2 8.(25-26高一上~山东枣庄期中)已知函数(x -2(x-3)}2+3,x≥2，则函数 r-f(f(x))-j 23 3 的零点个数为 【答案】5 【分析】计算可得 :2}5,令何，求0-，网保，有可影位，再分类时论求 出所有符合要求的x的值即可得. 2}+2g+ 9/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令)=1，则冷f0= 则当≥2时，则21-3到+3= 1=3+25 ,解得 Γ3 处3一3<2故舍去，故 3: 当051<2时.-兮解利1=双1-号 39 即/0 ,3+2542 3有三解，分别为3、3与3： 而f)=1 由0≤x<2时，f)=r-e[0,1 则当0s<2时.f四-号与-3+2 3无解， 由x22时，f=-2(x-3)}+3s3 则当x22时，f()=3+23 3无解： 当0sx<2令-号即k-小子解得-改x 当x22,令-，回2-旷+3- *=330 3,解得 6； 令-号.即2-+ 3,解得*=3土 6, ,3 <2 由6，故舍去，故 3+42 6: 10/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可得，函数)=f(/)- 3 .3t5303+4 的零点有：3、3、 6、 61 题型02 嵌套函数求参数 （范围） 点 方法技巧 此类题型的解题步骤： 1,换元：令t=内层函数，将方程或不等式转化为关于t的方程（如f()=0或f)=k): 2数形结合：分析外层函数y=f()的图像，确定t的取值范围（即水平线y=(与y=f0)图像的交 点横坐标范围)； 3.逆向求解：结合内层函数t=8()的图象，将t的取值范围转化为关于Q的不等式（或不等式组）， 求解参数的取值范围。 关键技巧：注意分类讨论，结合函数的值域和单调性进行边界分析。 2+2 1.(25-26高一上浙江杭州期末)已知四) og,(x-1,x>1:则实数a满 f[fa=0'则满足条 件的实数a的值的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【详解】令/（四0 解得x=2, 因为/a]= ,所以a=2 作出函数'f(x ,直线y=2的图象，如图， 珠 yf(x) y=2 11/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由图象可知，直线与函数图象有3个交点， 所以(a)=2 根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个. 2.(25-26高二下浙江嘉兴期末)设f(x)是定义在(0，+0)上的单调函数，且满足 是方程)-)-的解，且无ea-la)(acN),则a=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B f(x) 【分析】先根据题意求出 函数的解析式，再根据关于的方程算出0的范围，从而求出“的取值。 【详解】因为儿冈是定义在0，+四)上的单词函数， = 所以方程 别员电，子只行有-个常瑞足， 令1=+2>0，即f(=12, 所以0=1之 当0=1宁名时.解特12 所以4=)+2=2，即f=2,所以)- 2x 因为5是方程八-了(-的解， 所)f2,2-兴是- 所以2*=2+2h2,即=lbg,(2+21h2)=log,2(1+h2)=1+log,(1+n2) 所以∈(，2)，因为e(a-l,aaeN）. 所以a=2. 12/84 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x2-2x+2,x≤0 3.(25-26高三上山东期中)已知函数 f(x)= lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)-a时(x)+6有8 个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.(26,5] B.(26,5) c.(4,5] D.(4,5) 【答案】B 【分折】先作出因的大致图象，令儿冈1，报新一元=次方程根的分布，结合图象计算即可。 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出冈 的大致图象如下： y=3 y=2 /y=x) 设)=1，则8()=f-+6=0 8个不同的零点， 需-1+6= 有两个不同零点5，不妨设<5 同时八=f)=分别对应4个零点， 若6e(23) △=a2-24>0 即5+h=a 42=6 (4-2)(42-2)>0 则4+42=a>0∴a>26,且4-3%2-3)>0， 6-2a+4>0 即6-3a+9>0,解之得2√6<a<5 13/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则仍需∈(23 者12 ,此时a=5,5=3 ,不符合题意，舍去： 2W6<a<5 综上： 故选：B Inx,x> 4。（多选)(25-26高三上·四川宜宾阶段检测)已知函数f(✉= 2.x≤0， g(x)=-x2+2x+3 h()=f(g(》m,则下列结论中正确的有(） A当m=0时'h 有1个零点 B.当0<m<1时（因有4个零点 C.当（幻有6个不同零点时，实数m的取值范国为 ,ln3)un4} 0.当 '的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3,In4] 【答案】BC 【分折1转化为方程8（刃=m的解的个数，令=8凶，画出0,8(）的图象，数形结合对四个 选项一一判断，得到答案 【详解】A选项， h()的零点个数等价于关于x的方程g(刃= 的解的个数， 令‘-g),画业0,8（四的图象如下： 当m=0时。f代0=0的解为=l,令8(1，结合图象可知，有2个解， 故m=0时，h( 有2个零点，A错误： 14/84 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =g(x) y=f(t) -101 B选项，当0<m<1时，0=m有2个解，设为6 e1解粉'-政，不做量小ke l= y=f(t) y=m 对应两个解，x,8(x)=4∈（山，）对应两个解，x, 4 i=g(x) 3 ，共四个解，当 时 有4个零点，B正确： -10 x<x3<x4<x2 0<m<1,h(x) CD选项，当m≥1时，f0=m 3个解，分别为5，，5 易得5≤0,0<4≤4≥e, e y=f(t) y=m 均有2个解， g(x)=4g(x)=4 15/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当≤%<3或5=4时，8()=5有2个解，此时/s(刃=m 6个解， =Inesm=f(i)<In3_m=f(ts)=In4 故 或 当 有6个不同零点时，实数m的取值范国是L血3U血4 ,C正确： 8()=4最多有4个解，所以(g(刃=m最多有8个解， 当8()=5 有4个解时， 3<4<4,即h3<m=f6)k血4 h(x) 即当 的零点个数最多时，的取值范围为 n3,ln4),D错误 故选：BC a2,x≤0 5.(25-26高三下·天津红桥开学考试)已知函数f()= 1gx、x>0,若关于的方程[f]-0有 2 且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是 【答案】（-∞，0)U(0,) 【分析】根据x>0时的解析式，结合条件，可得x=2为符合条件的解，则x≤0时，f)=1没有实数解， 分别讨论a<0、a=0和a>0三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案， 【详解1今=f田，由[)=0有且仅有一个实数解，得0=0有且仅有一个实数解， f(t)=logt=0 当1>0时，令 2,解得t=1, 所以(=f,=1有且仅有一个实数解， 当x>0时，令f)=1,解得x=2,为一个确定的解，符合题意， 所以当x≤0时，f(x)=1没有实数解， 当a<0 f(x)=a2<0 时， 符合题意： 16/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a=0时，f()=0,在(-o,0]上恒成立， 所以[/()]=0=/0)=0在（←，0上有无数个解，不待合题意： 当a>0时.f)=a-2 时， 单调递增，只需0)=a< 即可， 综上，实数a的取值范围是(o,0U(0,) e',x≤0 6.(2023陕西安康模拟预测)己知函数 f()= lnx,x>0,g(x)=f(f(x)-a,若g(x)有2个不同的零 点，则实数a的取值范围是 答案】∞，川 【分析】设()=f(f(》 根据x的范围，讨论求得()的解析式根据解析式得出函数的性质，作出 h()的图象，根据函数图象，即可得出答案 【详解】设(=f(f() 当x≤0时，e*>0,f(f(x刃=ne*=x 当0<x≤l时，nr≤0，f(f(x)=er=x 当x>l时，lnx>0,f(f(x)=lh(nr) x,x≤1 综上可得， h(x)= n(nx),x>1. 函数'=h血x) 1,+o) 的定义域为 y=In (Inx) 由复合函数单调性可知函数 单调递增。 又e)=h(he)=0 17/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h(x) 作出 的图象如图所示 由图象可知，当a≤1时，曲 线（与y=“恒有两个交点， 即8( 有两个零点， 所以的取值范围是 -0,1] (-0, 故答案为： 7.(2525高三全国一轮复习》已知两数f儿冈为定义在0，+)上的单调函数，且 fU(闭-，x-2)=3,若函数8()=f(-“在L2)内有唯一零点，则实数“的取值范围是 (3,6) 【答案】 【分析】根据单调性得出 0=3,求出=：+2x+,再利用0=3求 3求出=1，最后结合零点存 在性定理可得 【详解】因为 f 为单调函数，所以存在唯一实数'，使0=3 令=f)-log-2x,则f)=log,x+2x+t, 又0-e,3-3n因为年数。a,13x1=3 且 则田=1ogx+2x+1 18/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为3（冈-f闪0在仙2）内有唯-零点，且8因在L2)上单调递增。 所以80=/0-a=3-a<0,g2)=f2)-a=6-4>0 得3<a<6 故实数“的取值范围是 3,6) x+,x>0 f(x)= 8.(25-26高一上·福建泉州期中)已知函数 1) ,x<0 ,若方程 2 g(x)=x2+ax+b g[f(x]=0 有且仅有5个不相等的解，则a-b的取值范围是 【答案】(（-0-8) 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有5个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的 解等价于80 0有两根，其中一根1=2，另根5>2， ,进而列式计算求解. 【详解1法：当x>0时，)=x+≥2(x=1时等号成立)， 当x<0时.f闭=2在， 时， 单调递减且>1f)。 的图象如图所示， y=fx) y-t2 令=f,=0,即80=f+m+b=0, 由8Lf(x]=0有5个不等解等价于80=0有两根， 其中一根4=2，月一根>2 2+42=-a242=ba=-2-42b=242 根据韦达定理， ，则 19/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a-b=-2-3t2 ,42>2 a-b∈(-o,-8) ,由 ,所以 法二：可知由 8训=0有5个不等解等价于80=0有两根，其中一根=2，另根>2 4+2a+b=0① 所以 △=a2-4b>0② 号20 由①得b=-4-2a④，则a-b=4+3a, a2-4b=a2+8a+16=(a+4)2>0 将④代入②得： ⑤ 又由③得a<4⑥， 由⑤⑥可知a<-4,所以a-b=4+3a<-8. x 9。（25-26高三上湖南怀化开学考试)已知函数/() 3>0 22-2,x≤0： 若函数 g()=(+2x+m)m恰有6个零点，则m的取值范围为 0, 【答案】 2 【分析】目标函数内外两层是不同的解析式，可以分层化归为已知函数来求解 (f(t)=m 【详解】令-x2+2x+m=1,则g(x)恰有6个零点， 等价于f)= 有三个不同的解，，56<%<5) 且对应-x2+2x+m=1有6个实数根， 由函数 的图象，如图， 20/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yf(x) t t0 所以0<m<25=3m 要满足-+2x+m=1有6个实数根，则需5<(r+2x+m） 1 即1+m>3m解得m< 1 0, 故m的取值范围为”2) 故答案为： 02 10.(2026高三全国专腿练习)已知函数f(x)- ①时论（四的图象与直线y=m的交点个数。 1+x -x2 2,x≤0 (2)已知函数 (x)= /(P+财()-2a,x>0'有五个不同的零点 ,且 ,2,5,x4,X3x<x2<为3<x4<x5 求a的取值范围. 【答案】(1) 当m>。时，f()的图象与直线y=m的交点个数为0： 当m= e或m≤0时，f(x)的图象与直线y=m的交点个数为1： 当0<m<。时，f(x)的图象与直线y=m的交点个数为2 0、1 (22e2-e 【分析】(1)利用导数研究函数单调性和函数值情况，数形结合即可得分析交点个数： 21/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)利用零点概念求解第一段函数零点，第二段函数利用复合函数思想，结合二次方程根的分布来确定 参数范围； 【详14南题意求号可得了)-严(x0)。 所以当r∈Qc)时，)>0，f(在*e(0,e)E单调造增， 当re(eo时，f()K0(冈在xe化+)上单调递减， 则fax=f(e)=1 当>1时，f闪>0，当x+时，)→0，当x→0时，)→0。 所以) 的大致图象如图所示。 yf(x) 则由图可知当m>。时，f(x)的图象与直线y=m的交点个数为0： 1 当m=。或m≤0时，f(x)的图象与直线y=m的交点个数为1： 当0<m<。时，因的图象与直线)=m的交点个数为2 1+x2 -2=0 3 (2)当x≤0时，由1-x2 ,解得x=-√5或3 5 所以当x≤0时，函数有两个零点-V5或3， 因为5<<5，所以=5，= 3 22/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以当x>0时， 8(x) 有三个零点，由(1)可知方程（四=m 多有两个根， 所以令/=f儿冈），则子+1-2a=0有两个不同的实数根6 且两个方程=/儿，5=因-个只有一根、另一个有两根， 不妨记两个方程4=(，5=f()分别有一个根和两个根， 1 t= e 1≤0 则由(1)可得二次方程 根的分布为 1或 1, t2+at-2a=0 0<t2 e 0<52< e +a.1-2a=0 e e 1 02+0-2a>0 当 41= e 时， 0<、 ,无解。 1 2e 0<2< e a2+8a>0 02+0-2a≤0 当 4≤0 1 时 1 +a-2a>0,解得 e 1 0<2< a2+8a>0 <a< 2e2-e 综上可得，a的取值范围为 0,2e-e 题型03 嵌套函数求函数值（如/儿/(x]=常数） 点 方法技巧 此类题型解题步骤： 1换元：令t=f(W),转化为f0=常数，求出t的值： 2逆向求解：将求出的t值代入()，求出x的值，利用单调性、方程思想求特定点的函数值： 1.(2026高三下全国专题练习)已知()是定义域为R的单调函数，且对任意实数X,都有 23/84 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 r品片.e（ A B.5 C.1 D.0 【答案】A 【分行1由题意可知21必为常数。令)214，结合换元法得到Z1}:构造通数 21 2 8()=x一2，根据单调性求出（的值，进而求解即可 【解1电题套必常数，令7+异1，则f0-写 由24，雨-t则r0-12号 令8)=2片，可知g(问在定义蛟R内单调递增，且80= 2 由80=3，易得1=1 1-21 所以)-22，g:3121-香2 2 2.(2026安徽池州二模)设函数f(四的定义域为R,f(》+》=fx+)+3,若=)的 P(x,0) 图象与x轴相交于点 ,则() A.七0 8.0=3 c.f(+1 是奇函数 D.J(x-1) 奇函数 【答案】D 【分析】通过令=0和（冈，确定函数儿冈为一次届数，通过特定系数法确定解折式，再逐项刘断 即可 【详解】令y=0可得：f(✉刃+f(f(o)=f)+3 24/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再今1=/（四，可得0=+3-f(/(o) 即函数（四为一次函数。 设f)=x+b,代入给定等式ff()+ffO》=fx+)+3, f(f(x))+f(f(y))=k(kx+b)+b+k(ky+b)+b=k2(x+y)+2kb+2b 左边： 右边：f(x+)+3=k(x+y)+b+3 对比系数得： k2=k 2kb+2b=b+3 若k=0,得b=3,f(9=3,与x无交点，舍去： 若k=1,得b=1,即f(x)=x+1,验证满足原等式。 已知f)=0.即6+1=0组6=1 即 ,得 对于选项A:。=0 ，错误： 对于选项B:f0=1+1=2≠3，错误： 对于选项C:fx+)=(x+)+1=x+2,显然不是奇函数，错误； 对于选项D,令8田=f(x-)=(x-)+1=x,定义域为R, 满足8-为=-x=-8田，是奇函数，正确。 3.(多选)(2526高一上四川成都期末)设函数（的定义域为R,且 f+-r=9..0=0,则() 25/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.f(0)=1 ,函数+的植城为0,2 c.f()=3 D.函数fog,-2)在2，+w)上单调递减 【答案】ABD x-1 【分析】利用赋值法计算得f(O)=1可判断A;利用赋值计算可求得f(x)=1-x,进而求得x+1的值 域判断B,求得)=2判断C,利用复合函数的单调性可判断面数(e,心-2)在2，+o)上的单调性 【1对于A令0-：期[r-o份- 知2f@=0,解程/0)=1，故A正商 对于B:取y=0得，f[乃-ff(o)=0,f[f(✉]}=f( 取x=1,y=1,则[f-}-f0f(-0=1,f{[f-]}=4, 令1-4=2，则1=1-2，：f[f(2]奶}=1-z.即f{[f(奶}=1-x. x+1+1, :≥0，：’丙+1在0，o)上单调递减并大于零， 2 x-1 :y+1是偶函数，“函数气+的值域为(0,2，故B正确： 对FC儿倒=1-，f-)=2,故c销误 对于D::fo,(t-2x)=1-log(-2x的定义域为(-m,0u(2+), 26/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为u=2-2x在2+)上单调递增，y=lg,“在定义域上单调递增，故y=1-g,(口-2)在(2，)上 单调递减，故D正确： 故选：ABD. 4.(2026高三下全国专题练习)已知函数(x)在定义域(0，+)上是单调函数， -2.则 【答案】6 【分新】分析可知：存在唯一的1e0网)，使得了0=2，结合面数了)的单调性得出f)-士4，甲 f儿网士，再由)=2可求出4的做，可得出商数/儿包的解折式。进而可得出 5)的值 【带解1因名数儿四定义经Q网)上是华两面克，且因-月-？ 则存在唯的常数(0，+w）,使得0=2 f()1,也即f()=+1. x 于是：由0-+1=2，解得1=1故f)+1, 所-5+1=6 5.(2026商三下全国专题练习)f(是定义在Q+四）上的减函数，且对任意(0，m）,部有 创-，则02到-_ 27/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 【答案】 【分折】根貂题意可得()。必须是一个常数，设f八)。=6，求得)。+c,构造函数 8(x)= 。+x,根据导数与单调性的关系判断单调性，求出c的值，进而求解即可 【详解】由题意知，()。必须是一个带数：设()。=c,则()。+1， 由=c,得)-+c,则@+e1, e 今8-+>0)，8（四=+1>0，所以问在0+四）上单调通。 所以e=1,故f)=+1 所拟h2)=女+1=多 3 6.(2025江苏准安校拟预测)已知函数冈为R上的奇西数，9在0，+)上单调递带，x>0都有 re子0he.则a的a 【答案】 {0U1,+o) 【分折】设=+子，结合单调性可得=)+子，利用反证法得出小-女，结合正弦西数的他 域，即可求解。 【详解1设1=(e)+子，其中x>0 用为到-1,0-1 西010+引-1，意-0 28/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而x>0f)+2>0,故f0+2=x 若当x>0时，f,则fe)至> 而10而0子×，茅猫 若当x>0时，四-，则f(+子1< x 故f0+21+21 +二=<x,矛盾， 故()=正，而f问)为奇画数：救f=,其中x≠0 0,x=0 f(x)= 1 而f,)为R上的奇函数，故f0)=0:故 x≠0. 当sinx=0时，(sinx=0 (sinx)|= 11 当sinx≠0时，则 sinxsin, 1 ∈[l,+o) 因为sinxe-l,,则s小ine0,,则sint,且f(o)=0, 所以广(sin列的值域为oUL,+o) {0UL,+o) 故答案为： 题型04一元二次嵌套问题（如时(w)+bf()+c=0) 点 方法技巧 此类题型的解题步骤： 1.换元：令t=f(0,转化为一元二次方程at+bt+c=0,求出t的根(，5)： 29/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2转化问题：将原问题转化为求方程f()=4和()=的解的个数之和： 3.数形结合：结合()的图像，分析不同的值对应的图像交点个数，结合参数讨论解的分布。 -x2-2x+3,x≤0 1. (2025贵州毕节一模)已知函数)=血，x>0 ,则函数y=[f)-5fx)+6的零点个数 为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分折1由a-5)+6=0可得)=2或f闭=3，作出图形，结合图形即可求解 【详解】由题意， 多r-5e+6=0,解释四-2t因=3 作出y=f(x)的图象，如图， =3 y=f(x) y=2 由图可知，直线y=2与y=f)图象有3个交点， 直线y=3与y=f(闭图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数y=/(x-5f+6有7个零点 故选：C x)=+3x+1 2.(25-26高三上海南海口期中)设函数 e 则方程了()4ef()5e=0的实数根的个 数可能为() A.2 B.3 C.4 D.5 30/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分折1先对因求导，利用导求出因的单调区间和极值，画出④的大致图象，然后令f 则F-4e-58=0,可得方程-4e-5e2=0有两个不相等的实根，设为，4，将问题转化为=f(四与 y=l y=t 交点个数，利用图象求解即可 【详解】()】 的定义域为R, 由/间-2+x41,物ra=+e-+3x+.+-2.-M+2) (e) e* 由)>0，得21，由)<0，得<-2或>1 所以因在-21上递增，在-2》和L+四)上递减， 所以问的极大值为70=。极小值为(-2列=46+1心。 则( 当x>0时，f)》0, 的大致图象如图所示， WSD 5 y=f(x) e -2 01 y=l 令=f(因，则f-4e-5c-t-5e+e=0 31/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以方程-4e1-5e2=0 4=-et2=5e 两个不相等的实根， 所以由图可知， y=的图象与’=4有2个不同的交点，’=冈的图象与'=4有1个不同的交点 所以原方程有3个不同的根。 故选：B 3,(24-25高二下黑龙江牡丹江期末)定义在上的函数f)= 1,x=2 ,关于的方程 R V-时国+m-1-0m>2有”个不同的实根5，与，一，，则+巧++)小卢() 1 1 A.8 B.8 C.12 D.12 【答案】A 【分析】作出函数 的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程()1和()=m-1> 的根， 即可求解，得到答案 【详解1由题意，关于x的方程[f(灯-mM()+m-1=0m>2,即((-儿()-(m-]-0,解得： )1或/)=m-1>1 作出函数田= t2t*2 的大致图像，如图所示， 1,x=2 当()小=1 ，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线x=2对称； 当f(=m-1>1 时，有两个根，这两个根也关于直线=2对称 所以原方程一共有5个根，可得f(名+名++)=f0)=8,故A正确。 故选：A 32/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x) 2,1) 4.(25-26高一上天津萄州阶段检测)已知定义在R上的奇函数四，当>0时， 2-1-1,0<x≤2 &-2x2,则天守的方程6一/-1：0的所有实数很的和呢 A.-2 B.0 C.7 D.6 【答案】A 【分析1先设=（冈，求出方程6[（灯-(）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x>0时的图 象，利用数形结合即可得到结论 【详解】解：设=f(四)，则关于x的方程[/(-f(-1=0。 等价62-1-1=0， 1 1 解得1=2或1=3 当=0时.和)=0，此时不满足方程 若2<x54,则0<x-2≤2，即/()=2/(-2)=(21-， 若4<x≤6，则2<x-254,即f()-206x-2到=2*-. 2-1-1,0<x≤2 作出当x>0时， 2(c-2).x>2的图象如图 33/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x) 2 0123456 当1=2时，f()=2对应3个交点.即X+x,+X,=2×1+4=6, :函数()是奇函数， 当x<0时，由f= 3 可得当x>0时，f(x)=3,此时函数图象对应4个交点， 即+x++名=2x(-)+2x(-3)=-8 方程的7个实根和为-2， 故选：A 5《25-26高三上四川泸州开学考试)设函数8x+3x+ 则方程(+mg()-5e=0( m∈R)的实数根的个数可能为() A.1 B.3 C.1或3 D.3或5 【答案】B 【分析】先对8(x)求导，利用导求出8(x)的单调区间和极值，画出8(x)的大致图象，然后令1=8(x),则 t2+mt-5e=0 可得方程+m-50= 有两个不相等的实根，设为，将问思转化为'=8闭与' y=4 交点个数，分类讨论利用图象求解即可 【详解】8g()的定义域为R, 34/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由s-+3x+1,的8()-2+3水-+3x+e.-子+-2-c-X+2 e一，得 (e) e e 由8"（以小0 得2×x1,由8)0 ,得<-2或x>1, 所以g)在(-2，)上递增，在(-0，-2)和(L,+∞)上递减， 所以g倒的极大值为80-乏。极小值为82)4二61.-心， e-2 当x>0时，g(x)>0,则g(x)的大致图象如图所示， 珠 5 2 e y=8(x) y=t 令t=8(x),则2+ml-5e=0, 因为△=m2+20e>0,所以方程2+mt-5e=0有两个不相等的实根， 设方程+m-5e=0的两个实根为女，则 42=-5e<0 所以4与5异号.不就设4<0，则5>0,6=文 4, 11 0>-> 0<-5e<-5e-5 当4<e2时，0>>e,所以04<e, 所以0<5< e 所以由图可知， y=g(x 的图象与”无交点，y=8四的图象与”有3个不同的交点， y=h. 所以原方程有3个不同的根， 11 -5e、-5e5 5 当e<4<0时，4e,所以1之ee,所以h>e 一≤ -> 35/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以由图可知，y=8) 的图象与 有2个不同的交点，y=四的图象与'=有1个交点， v=h 所以原方程有3个不同的根， -5e5 当4=-e2时，=。2=。，则由图可知，y=g,)的图象与y=4有1个的交点，y=g(x)的图象与y=4, 有2个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根， 综上，原方程有3个不同的根 故选：B 6(25-26高三全国一轮复习)设定义域为R的函数/)=gK-1小，x≠1 0,x=1 ,则关于x的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 ,有7个不同实数根的充要条件是() A.b<0且c>0 B.b<0且c<0 c.b<0且c=0 D.b≥0且c=0 【答案】C 【分析】此题为复合函数零点问题，关键是换元后，通过函数图象和数形结合思想把每个函数零点研究清 楚 【详解】令1=f),考虑方程+b1+c=0的根，该方程必有解，设解为=，1=， 题设方程1-f) 和方程树 的解即为方程 f2(x)+bf(x)+c=0 的解， f2(x)+bf(x)+c=0 因为方程 有7个不同的解， 根据 的图象（如图所示）可得，直线'=4与’=f 的图象有3个不同公共点， y=与y=f 直线 的图象有4个不同公共点， 故=06>0所以=06=-6>0，即b<0, 所以 <0,故选C 36/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x) y 7.(25-26高三·全国一轮复习)若函数f)=r+m+bx+ 有极值点，点，且<，若)=， f,)=,则关于的方程 (f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数 【详解】f四=r+a2+bx+c。 c,且5，”是极值点。 则f田=3x2+2ar+b 3x2+2ax+b=3(x-x)(x-x2): 故 令1=f田，则方程3+2at+b=0即 为3--，)=0，解得=或=5， f(x)=x2 f(x)=x 因此原方程等价于 ,示意图如下，可得实根个数为4. y=fx儿 y-X2 X=X2/ y=x [4sinx,0≤x≤1 f(x)= 8.(24-25高一上·重庆期末)已知函数 /x-小>1.老画数y=国-4r在 [0,+o)有8个不同零点，则实数a的取值范围是（） 37/84 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ( (6 c(到 。分 【答案】D 【分析】画出函数图象，设y=产()-3(x)-4d2 0,解得解得=0或)，然后分a=0 a>0和a<0讨论，结合条件根据图象求解即可 【详解】令=f()3r()-4a=0,每[-4a[/+d]=0, 解得)=4a或（=- 作出函数代的图象如图所示 (1)当a=0时，fy=0 无数个解，不符合： (2当a>0时，则方程J)=-”无解， 因为函数”=f(闪3河)4“在0+o)有8个不同零点， 所以方程()=0在0+切)有8个不同的实根。 即函数”=f)与（④）=“的图象在0+切)有8个不同的交点。 1 由图可知，44a<2,所以16<a<8: 3)当a<0时，则方程)4 无解， 38/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则方程闪=-0在0，+o 有8个不同的实根， 即西数'=/儿冈.y=-0的图象在0切)有8个不同的交点， 1 1 由图可知，4了-a<2,所以2 <a<- 4 家上所述，实数度位布起（令扑信》 故选：D 9.(多选)25-26高-上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)函数八田=0g,x0) 关于x的方程： [f-2(p+2)f)+p2+4p=0有六个零点，则下列选项正确的(） A.读区间为-0，-2，(Q,2 B.0≤p≤2 C.p=0或P>2 D.函数y=2与’= 有5个交点 【答案】CD 【分析】根据函数解析式画出图象，再由方程根的个数利用换元法得出二次函数对称轴以及区间内的交点 个数可得结果， x2+4x+2(x≤0) 【详解】作出函数() logx(x>0) 的图象如下图所示， 减区间为 ,A选项错误； f(x) （-0,-2](0,1 函数=2与=有5个交点，D选项正确 令f()= ,则方程()2+2)/(+pp+4)=0化为-2(2+2+p(p+4)=0 化为 39/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要使关于x的方程产(-2(p+2)f()+pp+4)=0 好有六个不同的实数根， 则方程 2-2(p+2)t+p(p+4)=0 有两个不同实数根=P,5=p+4 因此需满足 △=4(p+2)2-4p(p+4)>0 △=4(p+2)}2-4p(p+4)>0△=4(p+2)2-4p(p+4)>0 0<p+4≤2 或 p+4>2 或p+4>2 -2<p<0 p=0 p>2 解得P=0或P>2,B选项错误，C选项正确： 故选：CD 2,x≤1 10.(26-27高三全国一轮复习》已知函数()= 1og,(x+1),x>1,若方程[fx-(a+3)f()+3a=0 恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是 【答案】(1,2] 【分析】根据题意得方程的根即为方程f(x)=3与f(x)=a的根，画出函数的图象，再数形结合即可求出a 的取值范围 【详解】由/(P-(a+3f+3a=/)-3f)-a-0 则方Ea-a+3+a=0的银即为方程=3与因=a的能 函数()的图象如下： y=f(x) 结合函数f)的图象可知，f,=3有2个不同的根， 则(x)=a要有3个不同的根，才能使方程有5个实数根， 40/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以由图象可知a∈(L,2]」 2+1,x≤0 1,(2526高三上福建福州阶段检测)已知两数() log2x-1,x>0,关于x的方程 f2(x)-2f(x)=1-a2 的解的个数可能是 【答案】0,2,4,5 【分析】令(=f( ,方程转化为-21+口-1=0，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段 函数得出方程(-2f)=1-d 的解的个数情况， 【详解】函数冈 的图像如下： =f(x) 令1=f(,则2-21+a2-1=0,则A=42-） 当40 0时，即>2.a<V2市a>V2 t2-2t+a2-1=0 或 方程 无解， 即f()-2f()=1-42 无解； 当A=0时，0=21=1，由图可知=1与'=f； 的图象有两个交点，即方程 f(x)-2f(x)=1-a2 解的 个数为2个， 当A>0时，即<2,2<x<2,t=l±2-日，则0<2-云s2 故1<1+2-云≤1+2.1-2≤1-v2-a<1 41/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当4=1-2-时f()=1-2-a(-l,,则x有两解， 当1=1+2-G时，若42习，则x有三解，若1(2,1+]， 则x有两解， 故方程()2f()=1-a2 解的个数为4或5个， 综上方程(-2f)=1-a 解的个数可能为02,45个 故答案为：0,2,4,5. 题型05 自嵌套ff(与双函数互嵌fg(x问题 点方法技巧 此类题目解题技巧：两者解题思路完全一致，均通过换元“解套”。对于儿/()，换元4=f)后， 需注意内层与外层为同一函数，需结合圆函数的单调性和图像进行迭代分析。 1.（25-26高三上北京海淀阶段检测)设函数)+ar+68=2+ ,若函 y=fg》与 y=g(f(x)) y=f(f(x))y=g(g(x)) 都没有零点，则函数 () A.恰有一个零点 B.至少有一个没有零点 C.至少有一个有零点 D.无法确定 【答案】B 【分析】通过定义（女、8(） 的值域，结合已知的无零点条件，分值域的包含（或相等）关系讨论，推 导f(()与8(g(✉》 的零点情况 【详解】设二次函数 f(x)=x2+ax+b 的值域为集合4， 指数函数8()=2+c B=(c,+o) 的值域为集 由=儿g(》无零点”，得方程0=0在1∈B时无实根 42/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由y=8((》无零点”，得方程8()=0在s∈A时无实根 分三种情况讨论A与B的关系： D若4cB:f(》的自变量f(eAcB, 结合f0=0在1∈B无实粮”，得'=fW/(刃无零点 ②若BcA:8(s(》的自安量8()eBc4 结合8⊙=0在eA无实根”，得”=8g(》无零点： ③若A=B:》的自变里四)eA=B, 8(》的自变量8（国eB=A,故两者均无零点 综上，西数'=fW(刃与"=8(8)至少有个没有零点 故选：B f(x)= 2,x<1 2.（多选)(25-26高三上河南阶段检测)已知函 13-x,x≥1，g(x)=f(f(x)=a的零点个数 为m,a为实数，则下列正确的有() A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 c.8(四在o,1) 上单调递增 D.8(在2) 上单调递增 【答案】AD 【分析】作出函数 f() 的图象，数形结合可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断CD选项. 2,x<1 【详解】因为函数 3-x,x≥1，函数f(x)的图象如下图所示： 43/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yf(x) 当a=2时，由fU)》=2可得)=1 当1时由倒=2可得-0：当*之1所，南)=3= ，可得x=2 综上所述，当a=2时，m=2,A对： 对于B选顶，当a,2)时.令国)=，则0=0有两解4.4，且40).4e2）, y=fx) y-a t11t22 方程（个=6有两解，方程（④=与有两解，救当1<a<2时，m=4,B错： 令=f四，则8()=0 当xe(o,1)时.t=f()=2e(l,2) 函数因在@1)上单调道增，函数0在L2)上单调递诚， 由复合函数的单调性可知，函数8（在(（0， 在 上单调递减，C错： 当e2)时，=-2e(24 函数因在L2)上单调速减：函数0在24)上单调道减， 由复合函数的单调性可知，函数8)在，2)上单调递增，D对 故选：AD. 44/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 f(x)= x+-,x>0, 3.（多选)(25-26高一上·河北承德·期中)已知函数 log2(1-x,x<0,’g(x)=x2+x+b,若方 程8(V》= 有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是() A.a=9 B.b=20 C.最大的整数解是4 D.最小的整数解是-31 【答案】BCD 【分析】作出函数)的大致图象，令()1，由方程8（刃=0 有且仅有5个不相等的整数解，转 换成8()= 有两个不等根6化<4），且因)=‘有两个整数根，f儿国=女有三个整数根，即可求解 4 【详解】因为当x>0时，x+x2x: =4 x x,当且仅当x=2时取等号， 当x<0时，y=og,1-x) 因为=1-在,0单调递减，而=1g单调递增， 所以'=18,1-)在定义域内单调递减。 结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数儿冈 的大致图象，如下： VA yf(x) y=4 -15 02 令)=1，则()=0，即0=0，根据f)的图象可知。 要满足腿意必须80=0有两个不等根，5<4），且(=4有两个整数根， f(冈)=有三个整数根， 45/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当/(=4=4 ，有两个整数根x=2或x=-l15 要满足儿冈=b有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有=1符合题意，当=1时，f0-5,则5=5 即80=+a1+h=0 的两个不相等的根为4和5，所以a=-9,b=20.故A错误，B正确. 解方程x+ =5得x=4或x=1,解方程og,(1-x)=5得x=-31, 此时五个整数根从小到大依次是-31，-15,1,2,4，故C,D正确. 故选：BCD。 4.(2026辽宁大连模拟预测)已知f()=r+r+c(a≠0），则方程W()= 的互异的实根个数不可 能是() A.1 B.2 c.3 D.4 【答案】C 【分析】由题意可知 (x)=x2+xf(x)=x2f(x)=x2-1 时可得实根个数为1,2,4，进而证明3个实 根不可能即可得结论 【详解】方程()刃=x 的互异的实根个数可能为，举例如下： 当f)+时，方程（圳=x台f儿+x分+2+2=0分(r+2x+2)=0台x=0 故若（四=r+x,则方程(/（刃=x只有1个实根 当f)=时，fU(圳=x分=x,解得x=0或x=1, 故者(=，则)有2个实根， 若()=x-1,则ff(刃=x台(x-=x+1台x(x+1(x2-x-)=0 .1±5 解得x=0或x=-1或=2，故有4个实根， 46/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下证明3个实根不可能， f(f(x))-x=a(f(x))'+bf(x)+c-x=a(f(x)-x)f(x)+af(x)+b(f(x)-x)+bx+c-x =(f(x)-x)(@f(x)+b)+ax(f(x)-x)+ax2+(b-1)x+c =(f(x)-x)(a2x2+a(b+1)x+ac+b+1)=(f(x)-x)F(x) 设/()-x=0的判别式A=(b-少-4ac F()=0的判别式4=(6+2b+-4(ac+b+)=G6-4ac-2b-3到=(a-4) 若4<4m4,<0 ,则 ,最多有两个实根， b+1 若A,=4,4,=0.则x=-2a是F(x)的二重根， 代入f-X=+s+c-=m+6-x+c行 )(+6-+ .b+2b+1_B2-+c=2+2b+1-2b2+2+4ac=0 =a 4a22a 4a 则F()-0的根也是儿)x=0的根，则有两个实根。 若△>4，则f()-x的根满足2= +1±△，，F(x)的相满足4=o土△ 2a 2a 若儿)-=0与F(=0有公共根，可推出A=4,与4>4的假设不盾， 故两方程没有公共根，因此，当A>4时，方程f(✉刃=x 有4个互异的实根， 故选：C. x+4x>0 f(x)= 5.(25-26高三上·福建漳州阶段检测)已知函数 1og,x-,x<0,g()=x2+m+b:若方程 47/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g[f(x]=0 有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于() A.-28 B.-27 C.27 D.28 【答案】B 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可· 【详解】先作出 的大致图象，如下： y=f(x) y=4 -15 02 令f(=1,则（刃-0分g0=0,根据）的图象可知： 要满是题意必须)=0有两个不等款46化<4)，且)-5有丙个整数根。 ()=有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数y=,y=x x相切时符合题意， 4 「4 X+-≥2 /x. =4 因为x 当且仅当x=2时取得等号， 又=l6e:k-los,1-x<0),易知其定义域内单调遥减。 即f()=4=4 此时有两个整数根x=4或x=-15, 而要满足儿)6有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有=1符合题意，当x=1时有0=5，则=5 4 解方程x+:5得5=5的另一个正根为x=4, 义g,什-列5-3引，时五个整数根依次是-3-15L24 48/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 显然最大的根和最小的根和为一31+4=-27 故选：B 6.(多选)(25-26高三上山东泰安期末)已知定义在R上的函数f(田满足ff(x》=x,且fx-)为 奇函数，则下列选项正确的是() A.f(x)的图象关于直线y=对称 B.f(0)+f(-1)=-2 c.f(-x)+f(x)=-2 D.f(①)+f(2)+…+f(40)=-860 【答案】ACD (Xo2 Yo),(Yo,Xo) 【分析】对于A项，可证明点 同时满足'=田即可：对干B项，可利用》=，且 f(x-1) （-1,0) y=x 为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点 对称，再结合函数关于对称，即 f(x)=-f(-x-2) 可证明：对于D项，应用f(-x)+f(x)=-2,可证明f(x+2)-f(x)=-2,可得f(0),f(2),f3),…, f(40) 依次构成等差数列，进而可判断正误， 【详解】对于A项，设点 点，W是'=图象上任意一点， 则6=）.而f0w)=》=. (Yo,Xo 所以点 也是y=f) 图象上的点， 所以()的图象关于直线y=x对称，故A项正确： 对于B项，因为x-)为奇函数， 所以-f(x-)=f(-x-),取x=0,可知-f(-l)=f(-),所以f(-1)=0: 又因为ffx》=x,所以-1=ff(-l)=f(O), 49/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于是f(0)+f(-)=-,故B项错误： 对于C项，因为f(x-)为奇函数，所以f(x-)=f(-x-), 即f()=-f(-x-2),令f:)=-f(-x-2)=m, 则fm）=ff)=x,f(-m)=ff(-x-2)=-x-2, 所以f(m)+f(-m=x-x-2=-2, 因为(：的值域为R,所以该结论对任意实数都成立， 即f(-)+f()=-2,故C项正确： f(x)=-f(-x-2) 对于D项，由以上推理知f(-x)+f(x)=-2, 所以f:=-f-x-2)=（-2-fx+2》=2+fx+2), 所以f(x+2)-f(x)=-2: 又因为f(-)=0,f0)=-1, 所以f0=-2,f(2)=-3,f3)=4,f(4=-5,f⑤)=6，…，f(40)=-41依次构成等差数列，其 首项为-2，公差为-1， 所以f0+f(2)++f(40)=-860,故D项正确： 故选：ACD. 题型06 倍增函数 点方位技巧 倍增函数的一般形式为fx+m)=f(x)或f(m)=f(,(k,m∈R)。 50/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数，fc+m)=f()(k,m>0)表示函数f()每向右移m个单位，纵坐标扩大为原来的k倍，也 即图象从左向右一次“倍增”的： 函数f(mw)=付(x)）(k>0,m>1)表示函数fx)的横坐标每扩大为原来的m倍，纵坐标扩大为原 来的k倍，其图象从左向右也是一次“倍增”的。 解题策略：首项识别问题中的倍增关系，明确自变量每倍增一次时函数值的变化规律（如 f(20)=());其次根据倍增特征建立指数型函数模型，可转化为f(w)=ab”(m为倍增间 隔)；然后代入已知条件求解模型参数；最后结合实际情境，利用模型解决增长、衰减类问题，同时验 证结果是否符合定义域与实际意义。 1,+o) 1.(多选)(23-24高一上江苏苏州阶段检测)已知定义在 上的函数 -4(x-1)(x-2),1≤x≤2 2rx>2 ,下列结论正确的为() A.函数的值域为+) B.f(12)=8 C,图数因在e016上第调道减 D.当48时，函数 的最大值为4 【答案】ABD 【分析】通过对函数 儿的分析，可以得到函数)的图象，进而求出函数() 的值域，以及BCD三个 选项的正确与否 【详】当2sx≤4时，12， 所国-2r)位〔后-2-2-2x-4) 当4sx≤8时，2≤号s4. Γ2 re=2r[4任-2-4-6-4x-8列 51/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当8≤xs16时.4≤s8, =2}=-2545-8=x-8-16) 以此类推，我们作出函数儿闪的图象，如图。 10 9 910111213141516171819x 对于A,由图可知，面数（的值域为Q+切），故A正确。 对于8，f2)=2-82-16)=8,故B正确： 对于C,由图可知，函数儿四在0,16 上先增后减，故C错误： 对于D, 由图可知，当48到时，函数（的最大值为4，故D正确： 故选：ABD 2,《多选)(23-24高=下黑龙江哈尔资明未)已知函数（清足对任意0，），有 f+0--2.且=2周. 且当0≤x≤：，≤1时，有(：)≤f(:),则下列说法中正确的是 () 52/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A} .- c-() 。6小始 【答案】ACD 【分析】对于A,可直接根据已知得到结论：对于B,先证明 然后利用等比数列求和公式 1 162 即可：对于C,先证明对6 6有f()=1,然后利用已知即可：对于D,由 253 结合已知条件 即可验证 【详解】对于A,由已知有 》}:.份》-份)，数 对于B.白于00-2，f10-20.数0-0,0-2.前白=2（周0对推 意正整数k,有 9g 故B错误： 对)-？0=日0-2，黄得)- 对6君，有or目)，回1 这就表明 岛01，故-20.1-0-2)4 53/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故C正确： 对0,由6器，) )-品)品o.为6，m 故选：ACD, 11 3.（多选)(25-26高三上·安徽六安阶段检测)定义在R上的函数fx的图象关于点乞2对称，且有 f)=2f学，当0≤5<x,≤1时，恒有fx)≤f),则（） 、1 A.f(0)=0 B.f令=6 C,当xs时温有 1 .1 D.f八2025)=128 【答案】ACD 11 【分析】利用赋值法可判断AB:由f)的图象关于点2)对称，可得f)+f0-)=1,结合赋值以及 已知条件可得当x≤时、宜有因分，判断c:根据八234学结合c的结论，可到斯D, 1 9 【详解1由恩意知)=2f学，令x=0,则f0)=2f(0),f0)=0,A正确： 11 fx)的图象关于点22对称，故f+f0-x)=1, 令x=0,则f0)+f0=1,∴f)=1 令方.-》9. 0=29.测克，所9=9号 54/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1 又当0≤x<5≤1时，恒有f)sf)所以当3x≤2时，恒有(=2，C正确： r0) 2得- 的)得)发，防 91 9、1 1 。111 2,f2-2f八2023}64×228,0正确， 故选：ACD 4.(多选)(2425高三下·江苏盐城阶段检测)定义在0，]上的函数f)同时满足以下条件：① f)=1-f0-x),② )=2f ③当x<,时，f(:)≤f(:).则下列结论正确的有() A,f(y)在0，刂上单调递增 c.(ex) 11 D.f八2025)128 【答案】BCD 【分析】先计算 55/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1） 由条件③即可得 2025. 【1-=2r. 令x=0→f(0)=2f(0)→f(0)=0,又f)=1-f0-),令x=1得 f(0)=1-f(0)=1 令=中)1-f=):.文0=2=.所 故A错误： B正确： 国为1-))2 故C正确： 图为0-得-'r))话 )-)-s)8)s. 1「11 因为当<2时，f(:)≤f(),20252187'1458」 故选：BCD 1-|2x-3,1≤x≤2 与.（多速)（高数学开学换版考02江苏专用开学摸取专试）已知画数付}>2 则下列说法正确的是() A.若函数y=因-：有4个零点，则实数k的取值范围为246 56/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.关于x的方程f)2=0n∈N)有2m+4个不同的解 C.对于实数x∈[山，+)，不等式2f()-3≤0恒成立 T2”1M∈N时，函数/的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A,C利用数形结合进行判断，对于B,D利用特值法 进行判断 【详解】当≤x≤)时，f=2x-2 3 当2<x≤2时，f)=4-2x: 2s.国登.m)到 3<52 当3<x≤4，则22 -}2- 34四-周)-14 当6<x≤8，则2 依次类推，作出函数(x)的图像： y木y 3 m 345678x 57/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于A,函数y=f()-c有4个零点，即y=f(:与y=有4个交点， 如图，直线y=x的斜率应该在直线m,I之间， 故A正确； 对于8，当n=1时，f心)=2有3个交点，与2n+4=6不符合，故8错误： 3 对于C,对于实数xL,四)，不等式2对-3<0恒成立，即f)≤2x恒成立， 3 由图知函数f)的每一个上顶点都在曲线y=2上，故国 2x恒成立，故C正确： 对于D,当x∈[2,2](n∈N)时，由图象可知：所求图象为高为2后的三角形， 11 所以函数f因的图像与x轴围成的图形的面积为2×2-2）×2一-2，故D正确： 故选：ACD 6（多孩）c2425商二下喷州入益水期末)定义在区间®上的正数需足因-4周 0=4付-.里对意的0s5<%1.格有6儿/)小≥0，则《) a)月 .)o C.不等式/（因5“在区同则上恒成立 D.若∈m小[a,bl,都有f(e》=,则b-a的最小值为 3 【答案】AB 58/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「11 【分析】由题可得 年24eN时，)不，其他假西数不稀定，指比可逐项到断 【闲-周.0京eN r0=1→)，4)(4)女份. 6-6e)小，No-2 对于A0=r周=周片.装A 时年2+.卓应， 11 对于C根据题查只能推号在24中eN时.京， f份)-子0=1,06=07他符合超意，放c错误： 对于.年24eN时.-京，6-汇U6月0， [11 0e-,-,a] 111 则b-a的最小值为2.49一40=40，故D错误： 故选：AB. 7.（多选)(2026陕西价林模拟预测)定文在0上的函数f冈同时满足以下条件： 0+0--1,@)=2, ③当0≤x<≤1时，f(:)f(), 59/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则下列说法正确的是() A.f(I)=1 c.(ex) 1-1 D.f八2026)厂128 【答案】ACD 【分析】先利用条件①②求出 o.r0 等特殊值，验证选项A、B:再通过迭代递推与条件①推导 3一 1 1 3 的表达式，验证选项C;最后利用条件②求出 2187与1458， 结合单调性得到 、2026 的值，验证选项D 【详解】对于A因为 所以f0)=2f0),即f0)=0, 因为/)=1-f-,所以f0=1-fo)=1, A正确： 对r8,为=1-.)-1付.据)片， 因为=2周.两0-2)-'解闲付)，8 对，国为小=1-)6)1)其周 所京2学c 年.-得)-2)--品片 60/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 付-君-食-ra-a-r-片. 1「11 因为当0≤x<x≤1时，f(G)≤f(:),且2026儿2187'1458， [1-2x-3,1≤x≤2 8.(多选)(25-26高三上·江苏常州阶段检测)已知函数 ，则下列说法正确的 是() A.若函数y=f()-c恰有4个零点，则54 9 。关于x的方程四-=0有10个不同的实数解 C.当2+)时，不等武-10恒成立 11 D.函数f(x)的图象与直线x=3,x=10及x轴所围成图形的面积为27 【答案】BCD 【分析】由题作出函数图象，利用数形结合，对于A,将题意转化为 =冈与’= “有4个交点，结合图 象分析判断：对于B,将恩意转化为y=)与V=1O0的交点个数，分析判断：对于C,转化为()s 恒成立，即可判断；对于D:根据图象结合题意运算求解. 3 I详解】当1≤x≤2时，f(x)=2x-2, 3 当2<x≤2时，f因)=4-2x, 61/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1<3 当22时，即2<x≤3时， r}2×2-2》.)- 当252时，即3s4时.-()-4-2}-4- 3<x≤2 当253时.x≤6，-兮)-5后.1o 当3s4,同6<8时 周4引4别 专子6.8m.-(后-.m四-方. 告65s8,即12<≤16时 )}4到 当812 时，即16<x≤24时， r四-f)g-2.248 依次类推，作出函数) 的大致图象， x=3 x=10 = y=kx 12 468 1012 对于A,若函数'=f()- 恰有5个零点，即'=)与'=有5个交点，如图所示， 1 6 1 1 -=6k k= 此时直线y=过点（9， 所以9，解得54， 62/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理，若函数'=f(- 恰有3个零点，即=f与y=: 有3个交点， 1 =3k 1 k= 此时直线y=过点 3 所以3，解得9， 则高数y=(倒-在怡有4个零点时，有34<k<),故A错误 1 1 对于B,由图象规律可知y=fx)与y=1O0的交点个数是10，故B正确： 对于c,由f)-分，16=fBx2)=京，f2)=fBx2),f24)=B×2)=京，… fBx2）=(a≥LneN), 任意实数x2,o,不等式(x)-1s0恒成立，等价于f(:)≤恒成立， 由图知函数f(s)在x∈2，+o)的每一个上顶点的纵坐标为f3x2)=3(n≥1，neN),且 2）3332. 即f()恒成立，放C正确： 对于D,函数因的图象与直线=3，x=10及轴所固成图形的面积为 21x3+2 11 1,2,111 3 ×g×2x2+2×2xf0)=6+号+5427，故D正确. 2 故选：BCD 题型07类周期函数的零点问题 方法技巧 1类周期函数的定义：从周期函数fx+T)=f进行延伸拓展，若函数 g(x+T)=ag()+C(a,b>0,c∈R),我们可称8)为类周期函数。其中a=b=l,c=0情形就是 63/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 周期函数。注意：倍增函数f(x+m)=f()也可看做广义类周期函数。 2类周期函数的零点问题求解策略：先明确类周期函数（如f(x+T)=f(x),求解一个基础周期内 的零点；再依据类周期函数特性递推其它区间的零点。 1.(2026山西晋中·模拟预测)定文域为R的函数（满足J(+)-2四，当r∈0，）时，f=r 则当*∈(46 时，函数=2f(-x- 的零点个数为() A.95 B.96 C.97 D.98 【答案】B 2f(x) 【分析】根据递推关系可得 的解折式，将问题转化为函数”=2（闪与直线）=x+1交点个数问题， 采用数形结合的方式可求得结果， 【详解】 “f(x+1)=2f(x)·f(x+2)=22f(x)f(x+3)=2f(x).f(x+m)=2”f()(neZ) f(x)=2f(x-n）=2(x-m}'(n≤x<n+l,neZ)∴2f(x)=2(x-n2 函数”=2()-1的零点个数等价于西数”=2因与直线少=x+1的交点个数 作出=2f与y=x+1 的图象如下图所示， 8 y=2f(x) =x+1 -4-3-2210123 结合图象可知：当0≥1时，y=x+1与”=2（因在每个区同+）上有且仪有一个交点：则当L96) 时，y=x+1与=2共有5个交点 64/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n=0时，y=+1与=2因没有交点，即当e0时，=x+1与’=2没有交点： 当”=-时，y=x+1与’=2f()有且仅有一个交点x=-1,即当x1,0)时，y=x+1与'=2f(有且 仅有1个交点： 当<-时.y=+1<0,)=2)20,三者设有交点，即当e(4-》时，y=+1与=2因设有 交点： 综上所述：当∈(4,96) 时，函数 y=2f(x)-x-1 的零点个数为95+1=96个 1-x2,-1≤x≤1 2.(多选)(2026海南预拟预测)设函数f四的定义域为[-1，且0=2x2,1<55,则 () A.函数()的值域为0,2] B.函数f()在(2,3)上单调递减 C.方程四)=2有3个不同的解 D.若方程/r-+1=0有10个不同的解，则2<1 2 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出函数()，分段求出值域判断A:确定单调性判断B;求出方程的解判断 C;转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当1≤x≤1时，f)=1-t, 当<xs 3时，1<-2≤1，则/四=2/-2)=2-6x-2]=-2x-2+2。 当3<x5时，1<x-2≤3，则f)=2fx-2)=21-2x-4+2]=-4x-4+4 对于A,当x∈-l,时，f)∈[0，：当xe(0,3]时，f)e[0,2],当x∈(3,5]时， 65/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)∈[0,4 f(x) [0,4] ,函数的值域为，A错误 对于B,当xe2,3)时.f=-2x-2+2卖（2,3 时， 在 上单调递减，B正确： 对于C,由选项A及=2，得2-2》+2=2或4x-4+4=2 或 解得七2 或*4 2,方程∫)=2有3个不同的解，C正确： 对于D,观察图象，令闭=mmc0,利，方程P-+1=0 10个不同的解， 等价于方程8m侧=㎡-伽+1=0在0.，2) 内各有一个实数根， g(0)=1>0 g(0)=2-1<0 因此 g(2)=5-21>0'解得2<1<5，D正确， 2 4 y=f(x) -10 12345 3.(多选)(2026湖北荆州一模)“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期 函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究函数 1-x2,-1≤x≤1 f(x)=2f(x-2),1<x≤5 +4x+5,x<-或r>5就是一个“局部周期递归函数”则下列说法正确的有（) A.函数f( 的值域为（∞】 B.函数在4+切)上单调递减 C.方程f(x)=1有5个不同的解 D,若方程[f(-f(x)+1=0有10个不同的解，则2<1< 【答案】BCD 【分析】作出函数 的图象，结合图象判断ABC,令f()=n∈(-∞，4 f(x 将问题转化为方程 66/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -m+1=0有两个不相等的实数根，且这两个根分别在 0,)、L,2)内，进而求解判断0 【详解】当1≤x≤1时，冈=1- 当1<x≤3时，-1<x-2≤1，则/()=2f(-2)=21-(x-2]=-2(x-2+2, 当3<x≤5时，1<x-2≤3，则f()=2f(-2)=2[-2(x-4}+2]=4(x-4+4: 当x<-或>5时，f(x=-r+4x+5 作出函数( 的图象如下： V 45 fx) 由图可知，函数（的值域为o,4利，故A错误： 函数四在任切)上单调递减，赦B正确： 由于函数=f儿冈与=1有5个交点， 则方程(=1 5个不同的解，故C正确： 对于D,令f(=mne(-∞，4利 因为方程[(]-()+1=0有10个不同的解， 所以方程n2-m+1=0有两个不相等的实数根， 设8（回=开-m+1,显然8(0）=1≠0 67/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则这两个根分别在(0，)、（亿2） 内， g(1)=2-t<0 有g2)=5-2>0:解得2<1<，故D正确 故选：BCD 8x,0≤x<1 4.（多选)（23-24高-上山东期中)已知西数/（闭 )/x),x2斗，则下列说法正确的是( B.f(x)在0，+o)上单调递增 c.方程/(》=6 4个实数根 D.方程()=m有3个实数根，则m的范围是2刘 【答案】AC 【分折】根据思意易得f)=8x(x-),k:+,keN,再作出问的图象，针对各个选项，数 形结合，即可求解。 8x,0≤x<1 设x∈，2)，则x-1∈[0,1)，.fx-)=8(x-), f=2fc-0=4(x-),xel,2》 同理可得f)=2x-2),x∈[2,3)，…， :f()=8×2(-),xekk+,keN 作出儿四的图象如下 68/84 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8-9 4 0.75 012345x ,∴A选项正确： :(因的单调增区间为ek,k+,keN, 但()在0，)上不是单调函数，：B选项错误： :U-6,f倒-房 3 ∴数形结合可得y=f(x)与少=4有4个交点， ÷方程/（刃=6有4个实数根，：C选项正确 :方程()=m 3个实数根， y=f因与y=m 3个交点， ∴数形结合可得m的范围是山，2)，“D选项错误. 故选：AC。 x,x∈[0，) (x)= 5.（多选)(25-26高一上广东广州期末)已知函数 f(x-),xe,+o),下列结论正确的是 () A.f()=0 69/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.f(四)为增函数 C.若f(x)<)在x∈[n,+o)上恒成立，其中n为自然数，则”的最小值为2 D.若关于x的方程9m[f(订-(m+9)/()+1=0有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (27,81] 【答案】ACD 欧根据了0=0，直接代入求解断A:根据22。了00待殊值断B,根据函致家 依次分折x以+，nEN的函数值的情况判断C;根据题意得/())或()-元：再依次分析对应方 程的根即可得答案 【详解1对于A,由题知f(0)=0,故0=3f1-)-写f(0)=0,A选项正确： 对于B,由题知 F2,f()=0,显然不满足增函数的定义，B选项错误： 对于6庙腿知，当*e,f闭e),当*eL2)时.f)e[0 当*e+o时，[g. 9恒成立。 所以f()<g在x∈[n,+切)上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2，C选项正确： 对于D,方程9mf(-(m+9f+1=0台[9-[财)-]-0，即f)=g或/= 因为，网，2f.w[时).当时.f时.当 70/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.-易引.sn.o 所以当x2,o)时，()<)，f)=g无解，当xe0,1)时，f()=g有1个解，当x,2)时， f-6有1个解 所以.1八)-g共有2个解， 所以)可有4个实数根， 11.1 要使/四有4个实数根8m27:解得m27.8 (27,81] 所以实数的取值范围是 D选项正确。 故选：ACD 6. (26-27高三上北京·开学考试)已知函数 f(x 的定义域为R,满足+2)-2（④，且当e(Q,2习时 f(x)=2x-3 有以下三个结论： o-)=-: g考-，方=在风A利Et个不 ③函数( 有无穷多个零点，且存在一个零点b∈乙 其中，所有正确结论的序号是 【答案】①② 【分折1利用/0=2f-可计算-：利用fx+2)=2因，且当xe(0,2时，f(因=2x-3 计 算函数因)在4，利上的解析式，作出函数图象与直线”=0判断方程因)=“根的个数：利用当 71/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 3 x∈(0,2]时，f(x)=2x-3可解得一个零点2，再利用f(x+2)=2f(x)得零点为x=)+2k,k∈Z即可： 2 【详解】因为f+2)=2f),所以f-1+2)=2-1,即f(-)=2f0=×(2x1-3到=3，放0正 确： 由x+2)=2f因，且当x(0,2列时.)=2x-3得 8=4 1 1 5 +4x∈(4，-2] f(x)= 。1 2x∈(-2,01· x+ 2x-3,x∈(0,2] 4x-14,x∈(2,4] 我944特大网如，自的阿.与一行，画数9与有个花点 即方程()“在区间44利上有三个不同的实根，故@正确： 2 y=f(x)) y=a 12 2 -6 当xe02]时.由)=2-30有-子 由f(x+2)=2)得若fk）=0,则f(+2)=2)=0,f-2)-2f()=0,所以函数f四)的 3 所有零点为x=2+2k,k∈Z. 72/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以函数( 有无穷多个零点，但不存在整数零点故③错误. 题型08 类周期函数的求参问题 点方法技巧 类周期函数常与不等式综合，考查不等式有解或恒成立问题，这类问题的求解策略是： 先求出类周期函数的解析式，在给定的区间内求出最值，再通过恒成立转化为参数和最值的不等关系， 解不等式即可。 1.(24-25高-下陕西西安阶段检测)设函数f的定义域为R,满足x+2)=f),且当x0,21 时，=-2.若对忘x树：都有2名，则m的取位范是() A+o）B.3+ 【答案】A 【分析】由题设条件画出函数()的简图，由图象分析得出m的取值范围 【详解】由于1c+2)-1国，故f)-=-2), 当xe(0,2时.f=x-2)c0 即当xe24时.-2e0.微☆--2-4到e[0 同厘当*ea时，四-4-6e4】 当xe6网时.gx-ox-[80 以此类准，当x>6时，都有)》-G 函数f(x)和函数'=16在(0,8上的图象如下图所示： 73/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 45m6 8 -0.125 -0.25 16 -0.5 v=f(x) 11 m= 由图可知， 网)-m-4m-=。me5o,群特m-2, 「11 1 即对任意*2，+ 每有上。，用0的取位范周足 ,0 故选：A x2+4x,x20, 2.(多选)(223高=下湖南长沙阶段检测)已知函数()-/化+2，<0，则下列结论正确的是 () A当e20)时，函数f(=+8x+12 8.两数'=的值城是2，+o) C.函数/儿的值线为A+m) D.若方程儿(]=‘有且仅有一解，则的取值范图为2，+） 【答案】ACD 【分析】根据解析式直接计算儿任+2）可判断A,由图象可判断BC,根据图象及函数的单词性判断D 【详解】当G2,0)时.x+2G0,2引，/+2)=(c+2+4(x+2列=+8x+12=/(因，故A成立： 作出函数x)的图象，如图， 74/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 -4-20 由图知，当≥0时，y=+4r≥0.x<0时0≤f)<12 时， 可知函数f田≥0 ，即函数'= 的值域是 [0,+oo）) 故B选项错误： 函数=)的值域为西数'=a,”=因0+o的值域，此时由图象知值线是 ,+切），故C选项 正确： 结合函数图象，易知(o,0)时，f)<12,且儿闪在Q+切)上单调遥增 当4≥192=f02)时，由儿/(]=1，可得存在唯一的me2,+o）,使得f(m)=1. 进面存在唯一的x2+）,使得)=m, 当0s1<12时，可符存在m012）,使符（网）-面不有在唯-使f() ,故不合题意： 当1<0时，由图象可知无解，不合题意： 综上所述：2192，故D选项正确 故选：ACD. 3.(2526高一上陕西汉中期中)定义减为R的函数/冈满足(+2)=2f(,且当6(0,2时， f=2-,若对任忘的(@叫都有代国3，则m的取值范周是() a（.（ c.（0,3] D.（-0,4 【答案】A 75/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】法一：求出f()在x∈(2n,2n+2]的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案： 法二：根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得 ∈(2n,2n+2 【详解】法一：当 2时，neZ.x-2me(0,2].f=2"fx-20）=-2x-2mx-2n-2) 腿据二次函数的件质，当x2”+”十=2n+1时，=2 2 由此画出f(x) 的图象如下图所示， 又2c3<4 所以m至少小于6，此时四=-2x-4x-60 令=3得2-4K-0=3,解得x号政号，结合图象，散m号 911 y=3 =f(x)1 法二：因为函数的定义域为R,清是f(+2)2因.则因=2(-2) 且当xe(0,2时，f(=x(2-=-(-+1e[0,则 当x∈(2,4]，时，x-2e(0,2], 则f=2fx-2)=2(x-2[2-(x-2]=-2(x-3}2+2∈[0,2] 当xe(4,6,时，x-4∈(0,2]， 则0=4f-2)=4(x-2-2[4-(x-2]=-4(x-5+4∈f[0.4 当x∈(-2,0]，时，x+2∈(0,2]， 则fe)-5x+2)-ce+20-=c++2e02, 作出函数 的大致图象， 76/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-------- 3 yf入 -20 4911 22 对任意(，m,都有()53，设m的最大值为， 则0=3：所以4-44=3，解利=号议-. 9 9 9 结合图象知m的最大值为2，即m的取值范围是 -0,2 故选：A 题型09 类周期函数求函数值或值域问题 点 方法技巧 此类题目的解题步骤为： 1.确定递推关系与“类周期”：首先识别题目给出的递推关系，如f(x+T)=付()或 f(x+T)=f(x)+S. 2区间转化（迭代法）：若求解区间[口，b]上的函数值或最值，而己知区间为【口-T,b-T],需利用递 推关系进行迭代。 对于fx+T)=f():f)=(x-T)=f(x-2D==kf(x-nD,直到x-nT落入己知解 析式的定义域内： 对于fx+T)=f(x)+S:fx)=f(x-T)+S=f(x-2T)+2S=…=fx-nT)+nS。 3.代入求解与最值分析：将转化后的自变量代入已知区间的解析式，得到目标区间的函数表达式。 1.(24-25高三上黑龙江牡丹江开学考试)定义域为R的函数f(:)满足f(x+2)=2f(),当x∈[0,2)时， 77184 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A名 c 1 D.4 【答案】D 【分析】曲f化在+2)=2得)=c+2),所以将x=2向区间xe0.2)进行转化，即可求得答案 【详解】由f+2)=2f),得/=2fx+2), 引得-目 故选：D 2.(1819高一全国课后作业)己知”-满是f+2)=3/.当e0.2时.国=-2 ,则当 x=[-4,-2],f(x) 时 的最小值为 1 c.- 1 A.-1 B.3 D.9 【答案】C 【分折】先由了+2》=3网得到四)-)fx+9,再由x4,-2]时，x+4e0,2引根据xe10.2]时， f(x)=x2-2x 即可求出 =4,-2时，f 的解析式，从而可得出结果。 【详解】因为f(x+2)=3fx), 所以f(x+4)=3f(x+2). 所以f)=x+2=写fx+40, 又因为当e0,2引时，=-2x】 78/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以当x∈[-4，-2]时，x+4∈[0,2]， 则有f+4)=x+4-2x+4=2+6x+8 所以f)=gfx+4到=x+6x+8)-[6c+3y-]. 所以x=-3,函数f)取得最小值9 故选C 3.定义域为R的数满足f+)=2冈，且当xe0,时，四=-，则当(2，-时 f(x) 的最小值为) A.16 1 B 8 c.-4 D.0 【答案】A 【分折】木题可以先通过f儿x+)-2(冈推导出当(-2，-时的解折式.再通过二次函数的性质 得出最小值， 【详解)当x∈(.0，x+1e(0,1 fx+)=(+-(+)=+x=2得f)= 2 当x∈(-2-小，x+1∈（←1.0 f0+0-+fe.+2-21,得-++2 2 4, 因为函数f(x)=+3x+ 4 的对称转为x昌 所以最小值为 4.已知函数f田对任意xeR,都有f)=2+2),当x∈0,2]时，)=-+2x,则函数f在 79/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-26] 上的值域为() A.[0,1] C.[-2,0] D.[-2,4] 【答案】D 【分析1当x0,2时，f因=-+2，利用=+)，将区间2,0H2,44,的自变量x利 用加减转化到区间 .2上 从而进行值域的求解 【详解】当xe0,2刃时.)=2-=1-c-少c0 时， 则当xe2,0时，即x+2e0,21,所以因=+2e分0， 当x∈[2,4]时，即x-2∈0,2]， 由f)=2+2,得+2)=-2，从而f四=-2-2e2,01: 当x∈[4,6时，即x-2∈[2,4]，则f)=-2f(x-2)∈[0,4. 综上得函数f(x)在[-2,6上的值域为-2,4. 故选：D. 5.(2526高一上江苏扬州期末)设函数/（因在定义域R上满足）-2(+)，且当0时 f因-+4红，则当xc&10时，f四的最大值是() A.16 B.4 C.2 D.1 【答案】D 【分析1先根据f冈)=2fx+4,得出f)心x-4)=x-8),再应用分段函数的解析式得出 f()=-4[(x-10-4],最后应用二次函数最值求解。 【详解】因为/()=2f(+4,则当xek10时，f(-f0x-4)=4/c-8)。 80/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为当810时，-8c,2习，又因为当e0④时.f因=+红 则f倒-=4/x-8)=-(x-8+4x-8别]--2+20-96]=-4x-10-4], 当x=10时.f因的最大值是l 故选：D. 6.(多选)(24-25高三上·江苏扬州阶段检测)已知定义在山，+∞)上的函数 [-4(x-1)(x-2),1≤x≤2 f(x)= 2f(3x>2 ’下列结论正确的为() A.函数f()的值域为0，+o∞) B.f(24)=32 C.当x∈[4,8]时，函数f(w)的最大值为4D.函数f)在x∈[10,16]上单调递减 【答案】AC 【分析】通过对函数（四）的分析，作出其图象，即可求得函数的值域，判断各选项的正误 【详解】因当1≤x≤2时，f(x)=-4(x-1)(x-2), 故当25x≤4时，1≤2，fw=29=-8宁--2)=-24x-2Xx-0, 当4558时，254，)=2f宁=45-20=x-4x-8, 2 当85x516时.4≤5s8,)=2空=-2-458)=2-8x-10, 当16≤x≤2时，8≤5s16,=2f月=货8-10=0x-16x-32, f(x) 以此类推，可作出函数的图象，如图， 81/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 y=f(x) 0124681216 24 32 对于A,由图可知，函数f(四的值域为[0，+o),故A正确： 对于，f2陶=×8x(刻=16，故B精误 对于C,由图知，当x∈[4,6时，函数f(田单调递增，当x∈[6,8]时，函数f()单调递减， 故x=6时，函数f()取得最大值f(6)=4,故C正确： 对于D,由图可知，函数f:在0,16]上先增后减，故D错误 故选：AC, 7.(25,26高三下山西太原阶段检测)已知儿定义在R上奇函数，且当≥1时，满足 f(+2)=2f(.且当xe时，f)=-,则 }}++ 【答案】8 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数a,再由函数解析式及递推关系得出 })-侣}侣=0甲可得群 【详解】因为当之-时，满足fx+2)=2( 82/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以/1+2)=2f(),f0=2f()」 又函数为R上的奇函数，所以f)=f0-=2f(-) 即3f-)=0,解得-l=0,又f--(--a(-)=-1+a=0,解得a=1, 所以陈e--,用， )-(*小-2))位--( )引-0.月.)侣) }+) 8.定义在R上的函数f(满足x+2)=4(因，当e(0,2时，)=-4r+16,则当∈(42时， f 的最小值为。 【答案】4 【分析】结合题意分段求出函数的解析式，然后利用函数性质求解最小值即可. 【详解】当x∈(0,2]时，f(x)=-4x+16=(x-2}+12 此时二次函数开口向上，对称销为=2，所以西数因在02习上单调递藏。 当x∈(0,2]时.f(m=f(2)=(2-2+12=12 当xe(-2,0时，x+2e(0,2],则f6x+2)=(x+2y-4(x+2+16=+12, 又fx+2)=4f),所以f)=4/+2)=4(+12)-寻+3， 83/84 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即x(-20时，f)=+3, 该二次函数开口向上，对称轴为=0，所以函数冈在-2,0上单调递减。 当xe(20时，f(=fo=x02+3=3。 当x(4-2习时.x+2e(-2,0],则+2)=4x+2+3-+x+4. 又f+2-4a.前u-+2小-好++4-名r+1 即x4-2时，f倒=6++1， 该二次函数开口向上，对称轴为=-2，所以函数儿因在4-习上单调递减， 当x(42]时，f=-2)-62+(-2+1-: 3 综上所述，x∈(-4,2]时，f(x)的最小值为4 84/84命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 嵌套函数、类周期函数与倍增函数 题型脑图重难考法归纳 题型1嵌套函数求零点个数 题型6倍增函数 题型2嵌套函数求参数（范用） 题型7类周期函数零点问题 题型3嵌套函数求函数值（值域） 嵌套函数、倍增函数与类周期函数 题型8类周期函数求参问题 题型4一元二次嵌套 题型9类周期函数求值域问题 题型5自嵌套与双函数互嵌 考法深研•解题技能通关 题型01 嵌套函数求零点（方程根）的个数 点 方法技巧 解决嵌套函数y=f儿g(】的零点个数问愿的解瑟步骤： 1.求外层函数的零点：令f0=0,求出t的值(，)： 2求内层函数的交点：分别将1的值代入1=8()，求对应方程的解的个数（即求直线y=1与函数 y=g(x)图像的交点个数)： 3.求和：原复合函数的零点个数=各t值对应交点个数之和。 关键技巧：结合函数图象（数形结合）判断交点的个数，注意内层函数的定义域对解的限制。 1.(25-26高三上·福建漳州阶段检测)已知函数f()= 2*-1,x≤1， 2-xx>1,则方程f(f(x》=)的解的个数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 Inx,x>0 2.(2526商一上吉林长春阶段检测)已知)2x+lx≤0，则函数y=4[/]-8f)+3的 1/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 零点个数为() A.8 B.7 C.5 D.3 3.（多选)(2526有二下广东深圳期末)已知函数f因)=-3x,则方程/(》=a(ae) 的实数 根个数可能为() A.1 B.5 C.6 D.9 -2k,x≤2 4.(25-26高三上陕西西安期末)已知函数)={h(x-1,x>2,若函数g)=f(x0-1h4,则下 列说法错误的是() A当>0时，8（四）有2个零点 B。当<0时，8( 可能有2个零点 C.当k<0时，8（可能有4个零点 D.当k<0时，8（因不可能有3个零点 x+1 ,x<0 5.（多选)(25-26高三上广东佛山阶段检测)函数f(x)= e*,t≥0 3x ,关于的方程 f2(x)-mf(x=0(m∈R) ,下列说法正确的是() 3 -00, A.函数f(x)的值域为e] 8.函数( 的单调减区间为10).（亿+切） C.当m=2时，则方程有6个不相等的实数根 一程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是(。，+ log2x,x>0 6.(25-26商一上：湖南常德期未)已知函数()- x2+2x+1,x≤0，则函数 g()=f(xr-3f((川+2零点的个数为() 2/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.14 C.16 D.18 7,(25-26高三下湖北武汉阶段检测)已知函数)州 Γx2+1,若 <0< 2,则函数 g(x)=f(f(x))-cos0 的零点个数是 x-1,0≤x<2 8.(25-26高一上山东枣庄期中)已知函数f()= -2(x-3)}+3,x≥2，则函数 y=f(f(x))-f 2v3 3的零点个数为 题型02嵌套函数求参数（范围） 点 方法技巧 此类题型的解题步骤： 1.换元：令t=内层函数，将方程或不等式转化为关于t的方程（如f()=a或f)=k): 2数形结合：分析外层函数y=f(0的图像，确定1的取值范围（即水平线y=a与y=f()图像的交 点横坐标范围)： 3.逆向求解：结合内层函数t=()的图象，将t的取值范围转化为关于的不等式（或不等式组）， 求解参数的取值范围。 关键技巧：注意分类讨论，结合函数的值域和单调性进行边界分析。 2+2 1.(25-26高一上浙江杭州期末)已知) 2,xs1 os,(x-l以x>1,则实数a满足f[a]-0则满足条 件的实数a的值的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下-浙江嘉兴·期末)设(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且满足 是方程)f)的解，且无ea-La)(acN),则a=() A.1 B.2 C.3 D.4 -x2-2x+2,x≤0 3.(2526高三上山东期中)）已知函数f(){ lnx,x>0,若函数g(x)=f产(x)-af(x)+6有8 个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.(26,5] B.(26,5) c.(4,5] D.(4,5) Inx,x> gC多2526高=上四宜宾阶段检测卫知函数片≤0 g(x)=-x2+2x+3 h()=f(g(》m,则下列结论中正确的有(） A.当m=0时’h() 有1个零点 B.当0<m<1时（有4个零点 C.当()有6个不同零点时，实数m的取值范围为 1,In3)In4 D.当()的零点个数最多时，实数m的取值范围为n3,n4! a:2,x≤0 5.(25-26高三下天津红桥开学考试)已知函数f()= ogx,x>0,若关于，的方程f[f]=0有 且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是 e',x≤0 6.(2023,陕西安康模拟预测)已知函数()mX>0,g)=f/)a,若g有2个不同的零 点，则实数a的取值范围是」 419 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2526高三全周轮复习)已知函数（为定义在0，+切）上的单调丽数，且 f-10,-2)3,若面数8()=(0在仙2)内有唯一零点，则实数“的取值范国是 [x+,x>0 8.(25-26高一上·福建泉州期中)已知函 f(x)= ) 2 ,x<0 ,若方程 g(x)=x2+ax+b g[f(x)]=0 有且仅有5个不相等的解，则a-b的取值范围是 9,(25-26高三上湖南怀化开学考试)已知函数() 30 22-2,x≤0：若函数 g(x)=f(-x2+2x+m)-m 有6个零点，则的取值范围为 10.(2026商三全国·专愿练习)已知函数f()-m 讨论f() 的图象与直线少=m 的交点个数. +x2 2己知函数8(=- 2,x≤0 (xP+财(x)-2a,x>0'有五个不同的零点 且 ,x2,3,x4,x5x1<x2<x3<x4<x3 求a的取值范围. 题型03 嵌套函数求函数值（如f(x)=常数） 点方法技巧 此类题型解题步骤： 1.换元：令1=f(),转化为f(⑨=常数，求出t的值： 2逆向求解：将求出的t值代入f(),求出x的值，利用单调性、方程思想求特定点的函数值： 1.(2026高三下全国专题练习)已知)是定义域为R的单调函数，且对任意实数x,都有 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 品片ey 4 A B.5 C.1 D.0 2.(2026安撒造州二模)设函数f(的定义拔为R,W(+f川=f+)+3.若=的 图象与x轴相交于点P(0 ,则() A6-0 8.)=3 c.f八x+是奇函数 D.x-)是奇函数 3.(多选)(2526高一上四川成都期末)设函数()的定义域为R,且 U+-)=9.f.0=0,则) -1 A.f(0)=1 B.函数气+1的值域为(0,2] c.f(-)=3 D.函数/o,-2)在2，o)上单调递减 4(05的三全专证装)已通数付在定义戏0o)E花华调数，--？，则 5.(2026商三下全国专题练习)f(是定义在Q,+)上的减西数，且对任意x(0,）,部有 f--,则r_ 6/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2025江苏准安模拟预测)已知函数 (四为R上的奇面数，儿因在Q)上单调递馆，>0都有 r子0aeer到1os的at为 题型04一元二次嵌套问题（如af'()+bf()+c=0) 点方法技巧 此类题型的解题步骤： 1.换元：令t=fx),转化为一元二次方程ar2+bt+c=0,求出t的根4，)： 2转化问题：将原问题转化为求方程f(x)=4和f()=2的解的个数之和： 3.数形结合：结合()的图像，分析不同的值对应的图像交点个数，结合参数讨论解的分布。 -x2-2x+3,x≤0 1. （2025~贵州毕节一模)已知函数（冈- nx,x>0,则函数y=[fx)-5f)+6的零点个数 为() A.5 B.6 c.7 D.8 fx)=x+3x+1 2.(25-26高三上·海南海口期中)设函 则方程f(-4e()-5知=0的实数根的个 数可能为() A.2 B.3 C.4 D.5 1 (2425高二下·黑龙江牡丹江期末)定义在上的函数/)=代2，*2 R 山，x=2，关于的方程 [U-m+m-1=0m>2)有”个不同的实根5,5，“，七，测则飞+6++，）F（) 1 1 A.8 B.8 C.12 D.12 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一上天津蓟州阶段检测)已知定义在R上的奇函数冈，当x>0时， [2-1-1,0<x≤2 2f(x-2列，x>2,则关于，的方程6[f-f-1=0的所有实数根的和是（） A.-2 B.0 C.7 D.6 (x)=+3x+1 5.(25-26高三上四川泸州开学考试)设函数 e,则方程(8(+mg()-5e=0( m∈R)的实数根的个数可能为() A.1 B.3 C.1或3 D.3或5 6(2526高三全国一轮复习设定义域为R的函数/)ex-1,x刊 0,x=1,则关于的方程 f(x)+f(x)+c=0 有7个不同实数根的充要条件是() A.b<0且c>0 B.b<0且c<0 C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0 7.(25-26高三全国一轮复习)若函数f)=r+am+bx+ 有极值点，5，且<，若)=3 ,)=,则关于的方程 (f(x)2+2g(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 4sinx,0≤x≤1 f(x)=1 8.(24-25高一上：重庆：期末)已知函数2(x-)x>1,若函数y=?()-3a(x)-4在 [0,+o） 有8个不同零点，则实数a的取值范围是() 8/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a a.(68 c〔分4g4 。.(6 旦多遗)252迈商上龙方哈尔阶度柏剂数倒0关于的防是了 [/-2(p+2)f)+p+4p=0有六个零点，则下列选项正确的（） A减区间为0，-2)，(0,2到 B.0≤ps2 C.p=0或P>2 D.函数y=2与”有5个交点 2,x≤1 10.(2627高三全国一轮复习)已知函数/(){g,+.x>1,若方程/P-a+3/+3a=0 恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是 2+1,x≤0 11.(25-26高三上·福建福州阶段检测)已知函数/()- log2-1,x>0,关于x的方程 f(x)-2f(x)=1-a2 的解的个数可能是 题型05自嵌套(x与双函数互嵌fg(x)]问题 点方法技巧 此类题目解题技巧：两者解题思路完全一致，均通过换元“解套”。对于f儿/()，换元=f)后， 需注意内层与外层为同一函数，需结合圆函数的单调性和图像进行迭代分析。 1.（25-26高三上·北京海淀阶段检测)设函数f)=r+r+68)=2+ ,若函数'=8(》与 y=g(f(x) 都没有季点，则品数'=f与=8g》（) 与 9/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.恰有一个零点 B.至少有一个没有零点 C.至少有一个有零点 D.无法确定 2,x<1 2。（多选)(25-26高三上河南阶段校测)已知函数冈 13-x,x≥1，g(x)=f(f(x)=a的零点个数 为m,a为实数，则下列正确的有() A.当a=2时，m=2 B.当1<a<2时，m=3 c.8在0， 上单调递增 D.8四在2 上单调递增 (x)= 3.(多选)(25-26高一上河北承德·期中)己知函数 1og2(1-x,x<0,’g(x)=x2+mr+b,若方 程8(/()= 有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是() A.a=9 B.b=20 C.最大的整数解是4 D.最小的整数解是-31 4.(2026辽宁大连模拟预测)已知f儿)=+x+ca+0),则方程V》= 的互异的实根个数不可 能是() A.1 B.2 C.3 D.4 x+4x>0 5.（2526商三上：橱建凉州阶段检测)已知函数（因 1og2x-l,x<0,g()=x2+ax+b?若方程 8[(刃=0有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（） A.-28 B.-27 C.27 D.28 6.（多选)(25-26高三上·山东泰安期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(f(x》=x,且f(x-)为 奇函数，则下列选项正确的是() A.()的图象关于直线y=x对称 B.f(0)+f(-1)=-2 10/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.f(-x)+f(x)=-2 D.f(①)+f(2)+…+f(40)=-860 题型06 倍增函数 点方法技巧 倍增函数的一般形式为fx+m)=f(x)或f(m)=fx)(k,m∈R)。 函数f(x+m)=f(,(k,m>0)表示函数f()每向右移m个单位，纵坐标扩大为原来的k倍，也 即图象从左向右一次“倍增”的： 函数f(mw)=f()(k>0,m>1)表示函数f()的横坐标每扩大为原来的m倍，纵坐标扩大为原 来的k倍，其图象从左向右也是一次“倍增”的。 解题策略：首项识别问题中的倍增关系，明确自变量每倍增一次时函数值的变化规律（如 f(2)=矿(w):其次根据倍增特征建立指数型函数模型，可转化为f(x)=a:b(m为倍增间 隔)；然后代入已知条件求解模型参数；最后结合实际情境，利用模型解决增长、衰减类问题，同时验 证结果是否符合定义域与实际意义。 1,+) 1.(多选)(23-24高一上江苏苏州阶段检测)已知定义在 上的函数 -4(x-1)(x-2),1≤x≤2 2 ,下列结论正确的为() A.函数f的值域为0，+) 8.f(12)=8 C.函数f儿因在*eQ,16上单调递被 D.当4,8到时，函数()的最大值为4 2.(多选)(23-24高二下黑龙江哈尔滨期末)已知函数()满足对任意x∈，川，有 f+f0-=2.且四)=2r) 且当0≤x≤，≤1时，有f(:)≤f(x),则下列说法中正确的是 11/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A)月 .) c0-0） 。6)品 ,11 3.（多选)(25-26高三上·安徽六安阶段检测)定义在R上的函数f)的图象关于点对称，且有 f)=2f宁，当0≤x<5≤1时，恒有f)≤f):则(） 1 A.f(0)=0 B.f8=6 c,当时对时直有e月 1 。.8 4.(多选)(24-25高三下·江苏盐城阶段检测)定义在0，]上的函数f)同时满足以下条件：① f田=1-f0-x);② ③当<x时，f(:)≤f(,).则下列结论正确的有() A.f(x)在[O,]上单调递增 c.）2e) 。.s)8 11 A.若函数y=)c有4个零点，则实数k的取值范围为246 8.关于x的方程)=0ueN门有2n+4个不同的解 C.对于实数x∈[l,+o),不等式2f(x)-3≤0恒成立 D当xe2,20ueN)时，函数f)的图象与x转园成的图形的面积为X1x1=号 1 2 12/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6(多孩）245有-下度州六盘水别末)定义在区间的西数)满足儿得) r0)=4份)-1，卫时E0≤x<1,备4-)]20，则《) A母)月 C,不等式f()5x在区间D上恒成立 D.若xem小sa小，都有f()-平，则b-a的最小值为子 3 7.《多选)(2026陕西输林模拟预测)定义在D则上的函数儿冈同时满足以下条件： @倒+f0--1,@=2r（ ③当0≤x<x≤1时，f(x)≤f(x), 则下列说法正确的是（) A.f(1)=1 。.月 c）) 。.) 1-2x-3,1≤x≤2 (多选)(2526高三上苏常州阶段检测)已知函数与/>2·则下列说法正的 是() A若函数y=0)-在拾有4个零点，则4≤k<对 13/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.关于的方程因-0-0有10个不同的实数解 C.当x∈2，+o)时，不等式-1s0恒成立 11 D.函数f(x)的图象与直线x=3,x=10及x轴所围成图形的面积为27 题型07类周期函数的零点问题 点方法技巧 1类周期函数的定义：从周期函数fx+T)=fx)进行延伸拓展，若函数 g(x+T)=ag(w)+C(a,b>0,c∈R),我们可称8()为类周期函数。其中a=b=1,C=0情形就是 周期函数。注意：倍增函数x+m)=付(x)也可看做广义类周期函数。 2类周期函数的零点问题求解策略：先明确类周期函数（如fx+T)=付(）)，求解一个基础周期内 的零点：再依据类周期函数特性递推其它区间的零点。 1.(2026山西晋中模拟预测)定义域为R的函数f(满足+)=2(，当xe01)时，= 则当*∈(4,6 时，函数y=2f(x-x-1 的零点个数为() A.95 B.96 c.97 D.98 （多选)(2026海南模拟预测)设函数f(x)的定义域为-1,5，且(=-x,-1≤xs 2f(x-2),1<x≤5，则 () A.函数f()的值域为0,2] B.函数fw)在(2,3)上单调递减 C.方程∫=2有3个不同的解 5 D.若方程[f-f)+1=0有10个不同的解，则2<1< 2 14/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.（多选)(2026湖北荆州一模)“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期 函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究函数 1-x2,-1≤x≤1 f(x)=2f(x-2),1<x≤5 2+4r+5,x<-1或x>5就是一个“局部周期递归函数”则下列说法正确的有() A函数)的值域为，列 B.函数在4+o)上单调递减 C.方程f(x)=1有5个不同的解 。.若方程[了-灯+1=0有10个不同的解，则2<1号 8x,0≤x<1 f(x)= 4.(多选)(23-24高一上山东·期中)已知函数 }(-小.x≥1，则下列说法正确的是(） A)2 B.f(x)在[0，+o)上单调递增 c.方程(》=6 4个实数根 D.方程)=m有3个实数根，则m的范围是，2] x,x∈[0，I) 5.(多选)(25-26高一上广东广州期末)已知函 f(x)= 5f(-),xe[l+o),下列结论正确的是 () A.f()=0 B.儿)为增函数 C.若f()小g在xe[m,o)上恒成立，其中n为自然数，则”的最小值为2 D.若关于x的方程m[(~灯-(m+9)/(+1=0有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (27,81 15/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的定义诚为R,满足+2)-2，且当x0,2习时。 f(x 6.(26-27高三上·北京·开学考试)已知函数 f(x)=2x-3 有以下三个结论： ①f(-H)=-1 2: Q威，方提阳a东区4利上有三个不的实得 ③函数 八有无穷多个零点，且存在一个零点c乙 其中，所有正确结论的序号是一 题型08类周期函数的求参问题 点方弦技巧 类周期函数常与不等式综合，考查不等式有解或恒成立问题，这类问题的求解策略是： 先求出类周期函数的解析式，在给定的区间内求出最值，再通过恒成立转化为参数和最值的不等关系， 解不等式即可。 1.(2425高一下陕西西安阶段检测)设函数f的定义域为R,满足fx+2)=2,且当x∈(0,2] 时，何=：-2.若对任意树·高有2。则m的取省范国足（) a2*g.[3)c昼 。B x2+4x,x≥0， 2.(多选)(223高=下湖南长沙阶段检测)已知函数儿冈/K+2,x<0,则下列结论正确的是 () A.当2,0)时，函数 wf(x)=x2+8x+12 B函数'刊的值城是2四) 16/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.函数[的值域为0+) D.若方程[(]=有且仅有一解，则的取值范国为2，+) 3.(2526高一上陕西汉中期肿)定义域为R的酒数f(满足x+2)=2),且当eQ,2习时， f)=x2-,若对任忘的(，网都有儿)3，则m的取值范图是（) c.（-0,3] D.（-0,4] 题型09 类周期函数求函数值或值域问题 点方法技巧 此类题目的解题步骤为： 1.确定递推关系与“类周期”：首先识别题目给出的递推关系，如x+T)=f()或 f(x+T)=f(x)+S. 2区间转化（迭代法）：若求解区间a,b上的函数值或最值，而已知区间为口-T,b-T, 需利用递 推关系进行迭代。 对于fc+T)=):f()=(x-T)=kfx-2T)==k“fc-nT),直到x-nT落入已知解 析式的定义域内： 对于fx+T)=fx)+S:f)=f(x-T)+S=f(x-2T)+2S=…=fx-nT)+nS。 3.代入求解与最值分析：将转化后的自变量代入己知区间的解析式，得到目标区间的函数表达式。 1.(24-25高三上黑龙江牡丹江开学考试)定义域为R的函数f()满足f(x+2)=2f(),当x∈[0,2)时， .(引-， 17/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 1 D.4 2.(1819高一全国课后作业)已知=f田满足+2)-=3f闭，当0,2时，=-2 ,则当 x=[-4,-2].f(x) 时， 的最小值为 1 c.-g 1 A.-1 B.-3 D.9 3.定义域为R的函数清足+-2因且当e(o,时，f)=r-x,则当x(-2,-时， (x) 的最小值为) 1 1 A.一16 B 8 c.4 D.0 4.已知函数f似对任意∈R,都有f)=f+2),当x0,2]时，m=-+2x,则函数f似在 [-26] ,上的值域为() A.[0,1] B.2,0 C.[-2,0] D.[-2,4] 5.(25-26高一上江苏扬州期末)设函数 (刊在定义域R上满足()=2(x+),且当xe0,0时， f四=-+4r,则当xG810时，f(的最大值是() A.16 B.4 C.2 D.1 6.(多选)(24-25高三上江苏扬州阶段检测)已知定义在山，+0)上的函数 [-4(x-1)(x-2),1≤x≤2 f(x)= 2f(x>2'下列结论正确的为() A.函数f()的值域为0，+o) B.f(24)=32 18/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.当x∈[4,8]时，函数f()的最大值为4D.函数f)在x∈10,16]上单调递减 7,（2526高三下山西太原阶段检测)已知(9定义在R上奇函数，且当2时，满足 f+2)=2,且当时，f)=-,则 }}+") 8.定义在R上的数满足+2)=4因.当e0,2习时.f)=r-+16,则当x(42时， f(✉的最小值为 19/19