第2章 2.2.4 点到直线的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“点到直线的距离”核心知识点，从实际情境（仓库到铁路最短距离）引入，通过坐标法、向量法推导距离公式，延伸至两条平行直线间距离公式的转化与应用，构建完整知识脉络。 资料以情境化导语激发学习兴趣，多方法推导过程发展逻辑推理与数学运算素养，例题与跟踪训练结合强化公式应用，综合题渗透数形结合思想。课中助力教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

2.2.4　点到直线的距离 学习目标　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离. 导语 某地在铁路附近，该地有一大型存放抗洪救灾物资的仓库，现要修建一条公路与之连接起来，以便快速把救灾物资运送到灾区，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？这节课我们共同去解决这个问题吧！ 一、点到直线的距离 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为P1，则l'的方向向量为(A，B)， ∴l'的方程为A(y－y0)＝B(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点 P1， ∴|PP1|＝. 问题2　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示　直线l的法向量n＝(A，B). 在直线l上任取一点M(x，y)，又P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0). |PP1|＝||＝. 知识梳理 定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度，距离公式d＝. 注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值. 例1　求点P(2，－3)到下列直线的距离. (1)y＝x＋；(2)3y＝4；(3)x＝3. 解　(1)y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0， 点P(2，－3)到该直线的距离为 d＝. (2)3y＝4可化为3y－4＝0， 由点到直线的距离公式，得d＝. (3)x＝3可化为x－3＝0， 由点到直线的距离公式，得d＝＝1. 反思感悟　应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. (2)当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 跟踪训练1　(1)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A. B.－ C.或－ D.或－ 答案　D 解析　由题意得，＝1， 即|a－1|＝2，解得a＝或a＝－. (2)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为　　　　　　　　　　　　.  答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线斜率为tan 60°＝， 所以可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5，得＝5， 即|b|＝10，所以b＝±10. 所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 二、两条平行直线之间的距离 问题3　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝ ＝. 知识梳理 1.定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.求法：转化为点到直线的距离. 3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.(A，B不全为0，C1≠C2) 注意点：(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 例2　(1)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离. 解　l1：2x－4y＋7＝0即x－2y＋＝0， 所以l1，l2间的距离为d＝. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB|＝. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 跟踪训练2　平行于直线x－y－2＝0，且与它距离为的直线方程是　　　　　　.  答案　x－y＝0和x－y－4＝0 解析　由题意，设与直线x－y－2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，m≠－2， 由两平行直线间的距离公式可得d＝， 解得m＝0或m＝－4， 故所求直线方程为x－y＝0和x－y－4＝0. 三、距离公式的综合应用 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解　(1)如图， 显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故d的取值范围为(0，3]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而kAB＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练3　(1)已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　　　　　.  答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1，1)，B(0，－1).所以kAB＝＝2， 所以两条平行直线的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. (2)求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与OP垂直的直线. 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2. 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线， 最大距离为. 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)两条平行直线之间的距离. 2.方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行直线之间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　D 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B. C.3 D.2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或. 3.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以，所以m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得 d＝. 4.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离，故d＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.点P(1，－2)到直线l：x－y－2＝0的距离为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　点P(1，－2)到直线l：x－y－2＝0的距离为d＝. 2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由两条平行线间的距离公式可得 d＝. 3.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 ， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或a＝－. 4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两条平行直线之间的距离为. 5.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为 4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 6.直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是(　　) A.(1，－6) B. C.(5，－3) D. 答案　C 解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M(图略)，则|MP|最小， 直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 故所求点的坐标为(5，－3). 7.(5分)若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是　　　　　　.  答案　2 解析　|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2. 8.(5分)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是　　　　　　　　.  答案　2x－y＋1＝0 解析　方法一　由题意，可设直线l的方程为2x－y＋C＝0， 于是有， 即|C－3|＝|C＋1|，解得C＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 方法二　由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋C＝0， 则C＝＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 9.(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程.(5分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝. (2)由题意，得∴0<m<3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S＝m(3－m)＝－， ∴当m＝时，S取得最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 10.(11分)已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3，1)到该直线的距离为，求该直线的方程. 解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即kx－y＝0，由已知得， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a， 由题意得，整理得|a－4|＝2， 解得a＝6或a＝2， 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 11.已知直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，且l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.4 答案　B 解析　因为直线l与m：x－y＋c＝0(c<0)平行，设直线l的方程为x－y＋t＝0(t≠c)， 因为l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1， 则解得 所以直线l的方程为x－y＝0，即y＝x， 故直线l在y轴上的截距为0. 12.点P(－2，－1)到直线l：mx＋y－m－1＝0(m∈R)的距离最大时，直线l的方程为(　　) A.2x－3y－2＝0 B.3x＋2y＋8＝0 C.3x＋2y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0 答案　C 解析　由直线l：mx＋y－m－1＝0(m∈R)的方程整理可得m(x－1)＋y－1＝0， 可得直线l恒过定点Q(1，1)， 所以kPQ＝， 当PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大， 可得直线l的斜率为－m＝－，即m＝， 所以直线l的方程为3x＋2y－3－2＝0， 即3x＋2y－5＝0. 13.(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　.  答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 14.(5分)一直线过点P(2，0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的方程为　　　　　　.  答案　x＝2或x－y－2＝0 解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的方程为x＝2；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在， 设为k，则过点P的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0. 由d＝＝4， 解得k＝，此时直线的方程为x－y－2＝0. 综上，所求直线的方程为x＝2或x－y－2＝0. 15.(5分)点P(3，3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值等于　　　　.  答案　3＋2 解析　点P(3，3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离d＝ ＝， 当sin＝－1， 即θ＝2kπ＋，k∈Z时， d有最大值3＋2. 16.(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使其同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.(8分) 解　(1)因为l2可化为2x－y－＝0， 所以l1与l2的距离为d＝. 因为a>0，所以a＝3. (2)若存在点P(x0，y0)满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上， 且·，即c＝或c＝. 所以满足条件②的点满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有·，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不成立. 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得(舍去)， 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得 所以P即为满足条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $