2.2.4 点到直线的距离 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦“点到直线的距离”核心知识点，系统梳理点到直线距离公式、两条平行线间距离公式，以及对称问题的五大类型（点与点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线对称及常见题型），构建从基础公式到复杂应用的递进式学习支架。 该资料通过分层例题与多样化练习（如将军饮马、反射光线问题），引导学生用数学思维分析对称本质，用数学眼光发现几何关系，培养推理能力与空间观念。课中辅助教师实施阶梯教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用。

2.2.4点到直线的距离 一、知识点 1.点到直线的距离 点到直线的距离为，则，这称为点到直线的距离公式. 2.两条平行线间距离 直线，，则与之间的距离称为两条平行线间距离. 3.对称问题 1）点与点之间的对称 实质是两点的对称中心为两点连线线段的中点，利用中点公式可以解决. 例：平面内点，关于对称的点坐标为； 平面内点，关于点对称 2）点关于直线对称 实质是对称轴为两对称点连线的线段的中垂线. 当直线斜率存在且不为时，利用垂直等距这两个条件建立方程组，就可以求出对称点坐标，其中等距即平分，一般的设点关于直线的对称点为，则； 当直线斜率不存在时，点关于直线对称的点为 当直线斜率为时，点关于直线的对称点为 3）直线关于点对称 实质是两直线平行. 法1：可转化为点关于点对称的问题，两点确定一条直线，所以只需要做两次点关于点的对称； 法2：利用平行的性质，求出一个对称点，然后用斜率相等或设出平行直线系方程，利用点到直线距离相等来解方程。 4）直线关于直线对称 两直线关于直线对称，当两条直线相交时可转化为点关于直线对称问题，当两直线平行时，对称直线与已知直线平行，且距离相等 5）对称常见题型 题型1：将军饮马问题实质是利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边； 题型2：反射光线问题，即找入射点或反射点的对称点 6）特殊的对称 点经过以下对称后的点坐标分别为： （1）关于轴对称，则； （2）关于Y轴对称，则； （3）关于坐标原点对称，则； （4）关于直线对称，则； （5）关于直线对称，则 二、题型训练 1.点到直线的距离 例1.点到直线的距离为________. 例2.已知直线过定点，点在直线2上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 例3.已知点，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 例4. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. B. C. D. 例5.已知实数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习： 1.已知点直线的距离为，则的值为________. 2.已知的三个顶点，，. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 3.已知点到直线的距离等于，求的值为________. 4.直线上的点到原点的距离的最小值为________. 5.过点且和，的距离相等的直线方程式是________. 6.直线在轴上的截距为，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为_________. 7.一直线过点，且点到该直线的距离等于，则该直线的倾斜角为________-. 8.求解下列问题： （1）过点，且与点的距离为的直线方； （2）已知点，到直线的距离相等，且直线经过两直线和的交点，求直线的方程. 9.已知直线经过点. （1）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程； （2）设直线与坐标轴交于，两点，且为中点，求直线的方程. 10.在中，点，，C，若的中点到的距离大于到的距离，则实数的取值范围为__________. 11.经过两直线和的交点，且与原点距离为的直线条数为（ ） A. B. C. D. 2.两条平行线间距离 例6.若两条直线，平行，则与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 例7.已知与直线和平行且距离相等，则直线的方程是_________. 例8.若直线被两平行线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角可以是（ ） A. B. C. D. 例9.两条平行直线，分别经过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则与之间的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习： 1.若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 2.若直线与直线的距离为，则__________. 3.已知直线，. （1）若，则实数的值； （2）当时，则直线与之间的距离. 4.当变化时，两条平行直线和之间的距离的最小值为_________. 5.直线过点，过点，若，且与之间的距离为，则与的方程分别是_________. 6.在同一平面内，已知直线和直线，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为________. 7.已知直线到两条平行直线与的距离相等，则直线的方程为_________. 8.若斜率为的直线被直线，所截得的线段的为，则线段的长为_________. 9.已知两条直线，，且，当两平行线之间距离最大时，（ ） A. B. C. D. 10.已知两条直线与，直线经过，直线经过且. （1）若与的距离为，求两直线的方程。 （2）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程 3.对称问题 例10.已知点，关于点的对称点是，则点到原点的距离是__________. 例11.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 例12.直线关于点对称的直线方程是________. 例13.设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 例14.已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，则直线的方程为________. 例15.已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在的直线斜率为（ ） A. B. C. D. 例16.已知，，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为________，此时点的坐标为________. 例17.已知点，，点在轴上，使最大，求点的坐标 . 练习： 1.设点关于直线的对称点为，则点的坐标为__________，过点且与直线垂直的直线方程为___________. 2.若点，关于直线对称，则________，_________. 3.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则点重合的点是________. 4.已知的一条内角分线的方程为,两顶点为，，则顶点的坐标________. 5.已知点的坐标为，直线的方程为，求 （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于点的对称直线的方程. 6.已知直线的方程为，点的坐标为. （1）若直线与关于点对称，求的方程； （2）若与关于直线对称，求的坐标 7.试求直线关于直线对称的直线的方程. 8.求直线关于直线的对称直线的方程. 9.已知直线，，. （1）求直线关于直线对称的直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程. 10.已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_______. 11.光线从点出发后，先后经过，两条直线反射后，仍返回到点，则光线从点出发回到点所走的路程为_________. 12.已知，，且. （1）求与之间的距离； （2）一束光从点出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在直线的方程. 13.已知点，，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值. 14.设，求的最小值是__________. 15.已知点，直线. （1）在上求一点使的值最小； （2）求在上求一点使的值最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $