专题01 函数的概念（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数概念为核心，通过16类题型系统构建定义域、解析式、值域的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识，实现概念理解与解题技巧的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念辨析|题型1-5|定义判断三要素（定义域、对应关系、值域）|从概念本质到图像、集合对应关系的递进| |定义域求解|题型6-8|具体函数（不等式组）、抽象函数（整体代换）、参数问题（恒成立）|从具体到抽象，从确定到含参的逻辑延伸| |解析式求法|题型9-11|待定系数法、配凑换元法、解方程组法|依据函数类型选择方法，体现转化思想| |值域求解|题型12-16|观察法、配方法、换元法、分离常数法|从简单函数到复合函数，方法逐步深化|

专题01 函数的概念 ▌题型01 函数关系的判断 【典例1】C 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【变式1-1】C 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【变式1-2】D 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 【变式1-3】C 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. ▌题型02 求函数值 【典例2】A 【详解】由已知. 故选：A 【变式2-1】C 【详解】由函数，则. 故选：C. 【变式2-2】】4 【详解】 故答案为：4 【变式2-3】【答案】4 【详解】由函数的图象，可得， 则． 故答案为：4． ▌题型03 已知函数值求自变量或参数 【典例3】C 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式3-1】 B 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 【变式3-2】 【详解】因为，所以，所以 【变式3-3】A 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. ▌题型04 区间的定义、表示与运算 【典例4】B 【详解】， 故选：B 【变式4-1】 【详解】集合，，则. 【变式4-2】C 【详解】由得：， ， ， . 【变式4-3】B 【详解】由于， 则，故A项错误， ，故B项正确， C项显然错误， ，故D项错误． 故选：B ▌题型05 同一函数的判断 【典例5】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 【变式5-1】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 【变式5-2】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 【变式5-3】BD 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. ▌题型06 具体函数的定义域 【典例6】 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 【变式6-1】 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 【变式6-2】【答案】 【详解】函数有意义，则有，解得， 的定义域为. 【变式6-3】【答案】 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. ▌题型07 抽象函数的定义域 【典例7】】B 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式7-1】 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 【变式7-2】C 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【变式7-3】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. ▌题型08 已知函数的定义域求参数 【典例8】 D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 【变式8-1】 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式8-2】 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式8-3】 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：. ▌题型09 待定系数法求解析式 【典例9】 【详解】法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． 【变式9-1】 【详解】因为函数为一次函数，可设，. 由， 由. 所以. 【变式9-2】 【详解】设，则，解得， 所以． 【变式9-3】 【详解】令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. ▌题型10 配凑法与换元法求解析式 【典例10】 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． 【变式10-1】 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 【变式10-2】 【详解】令，则， 可得， 所以. 【变式10-3】 【详解】令， 由， 所以的解析式为：. ▌题型11 解方程组法求解析式 【典例11】 【详解】已知①， 用替换上式中的，得到②， 联立①②组成的方程组， 由①可得，将其代入②可得， 解得，即. 【变式11-1】 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 【变式11-2】 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【变式11-3】 【详解】由已知①，， 则②， 所以①②，得，， 所以，. ▌题型12 常见函数的值域 【典例12】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 【变式12-1】 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式12-2】 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 【变式12-3】 【详解】（1） 则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为 所以的最大值为9. 故在上的值域为. ▌题型13 根式型函数的值域 【典例13】 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式13-1】 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 【变式13-2】 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 【变式13-3】 【详解】令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. ▌题型14 一次分式型函数的值域 【典例14】 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式14-1】 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 【变式14-2】 【详解】， ，所以， 故函数的值域为． 【变式14-3】 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： ▌题型15 二次分式型函数的值域 【典例15】 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 【变式15-1】5 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 【变式15-2】 【详解】（1）∵， 则，即原函数值域为， （2）， 因为, 即函数值域为． 【变式15-3】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以，所以函数的值域为. ▌题型16 由函数值域求定义域 【典例16】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 【变式16-1】A 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 【变式16-2】BC 【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 故，又， 故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC. 故选：BC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 函数关系的判断 1 题型02 求函数值 3 题型03 已知函数值求自变量或参数 5 题型04 区间的定义、表示与运算 6 题型05 同一函数的判断 7 题型06 具体函数的定义域 9 题型07 抽象函数的定义域 11 题型08 已知函数的定义域求参数 12 题型09 待定系数法求解析式 14 题型10配凑法与换元法求解析式 15 题型11解方程组法求解析式 17 题型12常见函数的值域 18 题型13根式型函数的值域 20 题型14一次分式型函数的值域 21 题型15二次分式型函数的值域 22 题型16由函数值域求定义域 24 ▌题型01 函数关系的判断 函数的概念 1.定义:一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.记法:y=f(x),x∈A. 3.相关概念: 定义域:x的取值范围A; 值域:与x的值相对应的y值叫做函数值,即集合{f(x)|x∈A}. 【典例1】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【变式1-1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 【变式1-3】 （25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. ▌题型02 求函数值 函数求值的方法 (1)已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (3)通过观察图象或者表格求解. 特别注意:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义. 【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由已知. 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·吉林辽源·期中）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】由函数，则. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数和，计算______ 【答案】4 【详解】 故答案为：4 【变式2-3】（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数的图像如图所示，则___________． 【答案】4 【详解】由函数的图象，可得， 则． 故答案为：4． ▌题型03 已知函数值求自变量或参数 已知函数值求自变量或参数：一般从外到内逐步求值，或者根据已知条件解方程，或者应用赋值法已知函数值求自变量. 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式3-1】 （25-26高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 【变式3-2】 （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知函数，.若，求的值. 【答案】 【详解】（2）因为，所以，所以 【变式3-3】 已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. ▌题型04 区间的定义、表示与运算 1.一般区间的表示. 设a,b∈R,且a<b,规定如表: 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] 2.特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b) 【典例4】（25-26高一上·辽宁·期末）已知区间，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 【变式4-1】（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 【变式4-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：， ， ， . 【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于， 则，故A项错误， ，故B项正确， C项显然错误， ，故D项错误． 故选：B ▌题型05 同一函数的判断 判断同一个函数的三个步骤：一看定义域，看定义域是否相同；二看对应关系，看对应关系是否完全一致；三下结论. 特别注意:(1)求定义域时不能化简解析式; (2)化简解析式时,必须是等价变形; (3)与用哪个字母作变量无关. 【典例5】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 【变式5-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A． 与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 【变式5-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. ▌题型06 具体函数的定义域 关于函数定义域的求法 1.依据:分式分母不为0,二次根式的被开方数不小于0,0次幂的底数不为0等. 2.应用:如果解析式中含有多个式子,则将所有x满足的条件列成不等式组,求交集. 【典例6】 （25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 【答案】 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 【变式6-1】（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 【变式6-2】（2026河北唐山数学初升高衔接）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】函数有意义，则有，解得， 的定义域为. 【变式6-3】（25-26高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. ▌题型07 抽象函数的定义域 　抽象函数的定义域 1.已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. 2.已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域. 【典例7】 （25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 【变式7-2】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【变式7-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. ▌题型08 已知函数的定义域求参数 知函数定义域求参数要注意： 分式分母不为零；偶次根式内部大于等于0；对数真数大于0；零次幂底数不为0；参数范围要保证每一个自变量全部成立。 【典例8】 （25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 【变式8-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式8-2】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值. 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； ▌题型09 待定系数法求解析式 待定系数法求解析式： 一判断函数类型设出对应解析式，未知数个数与方程数量一致； 二求出系数后检验定义域； 三分清f[g(x)]整体范围，最后验证结果满足题意。 【典例9】 （2026高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 【答案】 【详解】法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． 【变式9-1】（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且．求的解析式. 【答案】 【详解】因为函数为一次函数，可设，. 由， 由. 所以. 【变式9-2】（25-26高一·河南安阳）已知反比例函数满足，求的解析式. 【答案】 【详解】设，则，解得， 所以． 【变式9-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】 【详解】令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. ▌题型10 配凑法与换元法求解析式 1.配凑法求解析式要注意： 一要保证变形等价，换元后务必求出新元取值范围； 二最后f(x)定义域由中间变量值域确定，不能忽略定义域导致范围出错。 2.换元法求解析式要注意： 一换元之后必须求出新元的取值范围，确定f(x)定义域； 二整体替换保证变形等价，求出解析式后，验证式子符合变量取值，切忌遗漏定义域。 【典例10】 （2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． 【变式10-1】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 【变式10-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【详解】令，则， 可得， 所以. 【变式10-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，求的解析式. 【详解】令， 由， 所以的解析式为：. ▌题型11 解方程组法求解析式 解方程组法求解析式： 一构造关于相关函数的二元方程组； 二所列方程数量足够求解； 三化简过程等价，最后求出解析式后，严格标注函数x的取值范围。 【典例11】 （2026高一上江苏扬州）已知，求. 【详解】已知①， 用替换上式中的，得到②， 联立①②组成的方程组， 由①可得，将其代入②可得， 解得，即. 【变式11-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 【变式11-2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【变式11-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知，求的解析式． 【详解】由已知①，， 则②， 所以①②，得，， 所以，. ▌题型12 常见函数的值域 求常见函数值域的常用方法: (1)对一些简单的函数,用观察法直接求解. (2)对于二次函数,常用配方法求值域. (3)常用函数通常需要数形结合确定值域. 【典例12】 （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 【变式12-1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式12-2】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 【变式12-3】（24-25高一上·重庆万州·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【详解】（1） 则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为 所以的最大值为9. 故在上的值域为. ▌题型13 根式型函数的值域 复杂（根式型）函数的值域：常用换元法转化为二次函数在给定区间上求值域. 【典例13】 （25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式13-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，， 当时，. 【变式13-2】（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 【变式13-3】（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【详解】令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. ▌题型14 一次分式型函数的值域 复杂（分式型）函数的值域：通常采用分离常数法,转化为“反比例函数”的形式,便于求值域. 【典例14】 （2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 【变式14-1】（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【答案】 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 【变式14-2】（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【答案】 【详解】， ，所以， 故函数的值域为． 【变式14-3】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【答案】 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． ▌题型15 二次分式型函数的值域 复杂（二次分式型）函数的值域： 1、 通常采用分离常数法,转化为“反比例函数”的形式,便于求值域. 二、也可运用反表示法，将有约定范围的量用y来表示，再解分式不等式即可得解. 三、也可构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最值. 【典例15】 （25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 【变式15-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【答案】5 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 【变式15-2】（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)． 【详解】（1）∵， 则，即原函数值域为， （2）， 因为, 即函数值域为． 【变式15-3】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. ▌题型16 由函数值域求定义域 根据函数的值域求定义域： 一逆向分析函数单调性，结合解析式建立不等式； 二求出结果后检验取值，切记定义域内每一个自变量对应题目给出的值域，排除增根。 【典例16】 （2026·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 【变式16-1】（2026北京）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 【变式16-2】（多选）（25-26高一上·湖南岳阳）若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 故，又， 故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC. 故选：BC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 函数关系的判断 1 题型02 求函数值 3 题型03 已知函数值求自变量或参数 3 题型04 区间的定义、表示与运算 4 题型05 同一函数的判断 5 题型06 具体函数的定义域 7 题型07 抽象函数的定义域 7 题型08 已知函数的定义域求参数 8 题型09 待定系数法求解析式 9 题型10配凑法与换元法求解析式 11 题型11解方程组法求解析式 11 题型12常见函数的值域 12 题型13根式型函数的值域 13 题型14一次分式型函数的值域 14 题型15二次分式型函数的值域 15 题型16由函数值域求定义域 16 ▌题型01 函数关系的判断 函数的概念 1.定义:一般地,设A,B是 的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的 f,在集合B中都有 确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.记法:y=f(x),x∈A. 3.相关概念: 定义域:x的取值范围A; 值域:与x的值相对应的y值叫做函数值,即集合 . 【典例1】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【变式1-1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 ▌题型02 求函数值 函数求值的方法 (1)已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值应遵循 的原则. (3)通过观察图象或者表格求解. 特别注意:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义. 【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由已知. 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·吉林辽源·期中）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【变式2-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数和，计算______ 【变式2-3】（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数的图像如图所示，则___________． ▌题型03 已知函数值求自变量或参数 已知函数值求自变量或参数：一般从外到内逐步求值，或者根据已知条件解方程，或者应用赋值法已知函数值求自变量. 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式3-1】 （25-26高一上·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-2】 （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知函数，.若，求的值. 【变式3-3】 已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． ▌题型04 区间的定义、表示与运算 1.一般区间的表示. 设a,b∈R,且a<b,规定如表: 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 2.特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (a,+∞) (-∞,b) 【典例4】（25-26高一上·辽宁·期末）已知区间，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 【变式4-1】（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 【变式4-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知，则（　　） A． B． C． D． ▌题型05 同一函数的判断 判断同一个函数的三个步骤：一看定义域，看定义域是否相同；二看对应关系，看对应关系是否完全一致；三下结论. 特别注意:(1)求定义域时不能化简解析式; (2)化简解析式时,必须是等价变形; (3)与用哪个字母作变量无关. 【典例5】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 【变式5-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A． 与 B．与 C．与 D．与 【变式5-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． ▌题型06 具体函数的定义域 关于函数定义域的求法 1.依据:分式分母不为0,二次根式的被开方数不小于0,0次幂的底数不为0等. 2.应用:如果解析式中含有多个式子,则将所有x满足的条件列成不等式组,求交集. 【典例6】 （25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 【答案】 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 【变式6-1】（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【变式6-2】（2026河北唐山数学初升高衔接）函数的定义域为________． 【变式6-3】（25-26高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为___________． ▌题型07 抽象函数的定义域 　抽象函数的定义域 1.已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. 2.已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域. 【典例7】 （25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【变式7-2】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] ▌题型08 已知函数的定义域求参数 知函数定义域求参数要注意： 分式分母不为零；偶次根式内部大于等于0；对数真数大于0；零次幂底数不为0；参数范围要保证每一个自变量全部成立。 【典例8】 （25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 【变式8-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【变式8-2】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值. ▌题型09 待定系数法求解析式 待定系数法求解析式： 一判断函数类型设出对应解析式，未知数个数与方程数量一致； 二求出系数后检验定义域； 三分清f[g(x)]整体范围，最后验证结果满足题意。 【典例9】 （2026高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 【答案】 【详解】法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． 【变式9-1】（25-26高一上·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且．求的解析式. 【变式9-2】（25-26高一·河南安阳）已知反比例函数满足，求的解析式. 【变式9-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. ▌题型10 配凑法与换元法求解析式 1.配凑法求解析式要注意： 一要保证变形等价，换元后务必求出新元取值范围； 二最后f(x)定义域由中间变量值域确定，不能忽略定义域导致范围出错。 2.换元法求解析式要注意： 一换元之后必须求出新元的取值范围，确定f(x)定义域； 二整体替换保证变形等价，求出解析式后，验证式子符合变量取值，切忌遗漏定义域。 【典例10】 （2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【答案】，． 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． 【变式10-1】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【变式10-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 变式10-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，求的解析式. ▌题型11 解方程组法求解析式 解方程组法求解析式： 一构造关于相关函数的二元方程组； 二所列方程数量足够求解； 三化简过程等价，最后求出解析式后，严格标注函数x的取值范围。 【典例11】 （2026高一上江苏扬州）已知，求. 【详解】已知①， 用替换上式中的，得到②， 联立①②组成的方程组， 由①可得，将其代入②可得， 解得，即. 【变式11-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【变式11-2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【变式11-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知，求的解析式． ▌题型12 常见函数的值域 求常见函数值域的常用方法: (1)对一些简单的函数,用观察法直接求解. (2)对于二次函数,常用配方法求值域. (3)常用函数通常需要数形结合确定值域. 【典例12】 （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 【变式12-1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【变式12-2】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【变式12-3】（24-25高一上·重庆万州·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. ▌题型13 根式型函数的值域 复杂（根式型）函数的值域：常用换元法转化为二次函数在给定区间上求值域. 【典例13】 （25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式13-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【变式13-2】（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【变式13-3】（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. ▌题型14 一次分式型函数的值域 复杂（分式型）函数的值域：通常采用分离常数法,转化为“反比例函数”的形式,便于求值域. 【典例14】 （2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式14-1】（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【变式14-2】（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【变式14-3】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ ▌题型15 二次分式型函数的值域 复杂（二次分式型）函数的值域： 1、 通常采用分离常数法,转化为“反比例函数”的形式,便于求值域. 二、也可运用反表示法，将有约定范围的量用y来表示，再解分式不等式即可得解. 三、也可构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最值. 【典例15】 （25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 【变式15-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【变式15-2】（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式15-3】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). ▌题型16 由函数值域求定义域 根据函数的值域求定义域： 一逆向分析函数单调性，结合解析式建立不等式； 二求出结果后检验取值，切记定义域内每一个自变量对应题目给出的值域，排除增根。 【典例16】 （2026·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 【变式16-1】（2026北京）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26高一上·湖南岳阳）若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $