精品解析：北京市中关村中学2026-2027学年高三上学期8月练习数学试题

2027届中关村中学高三年级练习 数学 2026.08 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、本部分共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再结合交集定义求解即可. 【详解】由，解得，即， 因为集合，可得， 2. 下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为 A. y= B. y= C. y=xex D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域.函数的定义域为,而答案中只有的定义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】由，得，，解得，或， 而当时，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为，  在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 整理得，即， 因为，所以. 6. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性推导的取值范围. 【详解】因为，， 所以  ， 已知，因此  ，两边同除以得， 则 ， 即， 由于指数函数在上单调递增，因此， 等号成立当且仅当，此时，满足条件， 因此的取值范围是. 7. 已知的三个顶点，，的坐标分别为，，，为坐标原点，动点满足，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由及可得的轨迹方程为，即， ， （，），． 考点：1．向量模的几何意义；2．点和圆的位置关系． 【一题多解】设，由，可知，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆上的点，又的最小值，表示点与点之间的距离的最小值，由点和圆的位置关系可知，的最小值为． 8. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项. 【详解】设等比数列的公比为，由已知，则， 由可得且， 对于AB选项，若，， 当为奇数时，，此时，则， 当为偶数时，，此时，则， 此时数列不单调，AB都错； 对于CD选项，， 当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项； 当时，若为正奇数时，，则， 此时单调递减，则； 当为正偶数时，，则，此时单调递增，则. 故当时，的最大值为，最小值为. 综上所述，有最小项. 故选：D. 9. 已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（　　） A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点 C. 无论a为何值，均有2个零点 D. 无论a为何值，均有4个零点 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，分别得出的零点个数，然后再讨论a的取值得出零点个数，求得答案. 【详解】分四种情况讨论． （1）时，，∴，此时的零点为 （2）时，，∴，则a＞0时，有一个零点，时，没有零点， （3）若，时，，则a＞0时，有一个零点，时，没有零点， （4）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点， 综上可知，当时，有4个零点；当时，有1个零点 故选A． 【点睛】本题目考查了函数的零点个数，运用了分类讨论的方法；属于中档题. 求函数零点的方法： 1.解方程f(x)=0的根； 2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性； 3.利用数形结合，找图像的交点个数. 10. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】,有两个元素；且，所以B中有一个或者三个元素，然后分情况讨论． 【详解】因为，有两个元素，，所以B中有一个或者三个元素． 当B有一个元素时，有一个解，可得． 当B有3个元素时，有三个解，其中， 当有一个解时，则，可得 当有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件． 此时， 显然，不等于0 所以或者 解出或者也满足条件． 综上所述的取值为，-3，3 构成集合S的个数为：5 故选D 【点睛】本题主要考查集合的个数及一元二次方程的实根分析，关键点新定义题目读懂题意，属于较难题目． 第二部分（非选择题共110分） 二．填空题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 在复平面内，复数对应的点与原点的距离是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算进行化简，求得复数对应的点的坐标，进而求得该点和原点的距离. 【详解】，对应的点坐标为，到原点的距离为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的坐标，属于基础题. 12. 二项式的展开式中的常数项是______；二项式系数和是______． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得常数项；根据二项式系数和性质可求得二项式系数和. 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令， 则二项式的展开式中的常数项是； 二项式系数和是， 故答案为：；64. 13. 能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得且上是减函数. 【详解】详解：令，则对任意的都成立，但在上不是增函数． 又如，令，则，对任意的都成立，但在上不是增函数． 【点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可，通常举分段函数． 14. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 【答案】 9 【解析】 【分析】根据题意得到，然后利用对数的性质解方程，并用表示方程的解并进行估算，最后得出的最小值. 【详解】由题意可得，解得 由换底公式可得 所以.由于，所以的最小值为9. 15. 满足一定条件的连续函数的定义域为，如果存在，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点. 在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer），是拓扑学里一个非常重要的不动点定理. 现新定义：若满足，则称为的次不动点. 给出下列四个结论： ①对于函数，既存在不动点，也存在次不动点； ②对于函数，存在不动点，但不存在次不动点； ③函数的不动点和次不动点的个数都是2； ④若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①，由即可判断； 对②，由零点存在定理说明以及在存在交点即可； 对③，分别用导数法讨论与的零点个数； 对④，分别由参变分离法讨论、有唯一解时a的取值范围，最后取交集即可 【详解】对①，，所以0既是不动点，也是次不动点，①对； 对②，对以及，易得，且当时，， 故与在必存在交点，即存在次不动点，②错； 对③，（1）令，，，故单调递增， 又，，故存在唯一，使得， 则在单调递减，在单调递增， 又，，，故仅有两个零点，即仅有2个不动点； （2）同理，令, ，，故单调递增， 又，，故存在唯一，使得，则在单调递减，在单调递增， 又，，，故仅有两个零点，即仅有2个次不动点. ③对； 对④，（1）当时，则，令，则， 由对勾函数性质易知在单调递增，则， 故要仅有一个不动点，即有唯一解，需； （2）当时，则，令，则， 由对勾函数性质易知在单调递增，则， 故要仅有一个次不动点，即有唯一解，需； 综上，仅有一个不动点和一个次不动点，的取值范围是，④对. 故选：①③④ 【点睛】含参函数零点个数问题， （1）一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断； （2）将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题； 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最小值及取得最小值时自变量的值． 【答案】（1）单调递增区间为，； （2）最小值为，取得最小值时. 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换将化简为的形式，再结合正弦函数的性质分别求解单调递增区间和指定区间内的最值. 【小问1详解】 首先化简函数，由两角差的正弦公式展开得：   . 正弦函数的单调递增区间为. 令，代入得不等式：  ， 对不等式移项化简： 左边：  ， 右边：，  故的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，的取值范围为： 时，； 时，，即. 正弦函数在内的最小值为， 因此：  ，此时，解得. 17. 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间（包括35，75）空气质量为二级：在75微克/立方米以上空气质量为超标． 某城市环保局从该市市区2025年全年每天的监测数据中随机地抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （1）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率； （2）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望； （3）用样本方差估计全年日均值的波动情况．记天样本的方差为，将原天样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 的分布列如下所示， 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出15天中抽出三天数据的所有可能的情况数与从15天中随机抽取3天，恰有一天空气质量达到一级的情况数，然后利用古典概型求解从15天中随机抽取3天，恰有一天空气质量达到一级的概率即可. （2）利用超几何分布概率模型进行求解即可；（3）利用方差的定义，结合数据的离散程度，判断两种数据方差的大小关系即可. 【小问1详解】 由茎叶图可知，个数据中，日均值小于的有个，大于等于 的有个. 从天中随机抽取天，恰有一天空气质量达到一级的概率为. 【小问2详解】 由茎叶图可知，个数据中， 日均值大于(超标)的有个，未超标的有个. 随机变量的可能取值为， ， ， 所以的分布列如下所示 0 1 2 3 . 【小问3详解】 理由如下:方差反映数据的波动大小，原样本包含最大值和最小值，数据波动较大；去掉最大值和最小值后，剩余数据的波动减小，离散程度降低，因此方差减小. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3）在棱上存在点，满足，此时 【解析】 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，从而得到，最后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量法求出直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 即为线面角的正弦值； （3）设比例参数，写出，利用垂直向量数量积为0建立方程求出，且在范围内，说明该点存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 19. 已知椭圆，直线与相交于，两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）判断是否存在直线，满足条件：，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）长轴长为，离心率 （2）存在直线，其方程为或 【解析】 【分析】（1）先把椭圆化为标准形式，求出，即可得到长轴长和离心率； （2）将向量条件转化为坐标方程组，解出的坐标，代入椭圆方程求出，通过设直线的截距式方程即可求得结果. 【小问1详解】 将椭圆方程化为标准形式：，得， 即，所以长轴长为，离心率. 【小问2详解】 假设存在直线满足条件. 设，直线与轴交于，与轴交于. 由已知向量条件：， 转化为坐标关系：， 即且， 解得：；，即. 因为在椭圆上，代入椭圆方程得：， 化简得：，解得， 因为，所以存在实数， 设直线的方程为，即，由得， 所以直线的方程或. 20. 设函数． （1）若函数在点处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为，问：是否存在实数，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，函数在上单调递增； 时，时，函数单调递增； 时，函数单调递减； 时，函数单调递增． （3）不存在，有两个极值点，则，是的两个根， 由韦达定理得， ， 故，因为，故， 则，代入得，， 整理得， 由得，构造函数， 求导得， 在上单调递增，故， 在无解，故不存在满足条件的实数． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义构造方程求解； （2）根据导数的分母恒正，只需分析分子二次函数，利用判别式分类讨论求出函数的单调区间； （3）根据有两个极值点，结合（2）推出，利用韦达定理结合斜率定义及条件得出等式，构造新函数，求导判断单调性，从而判断结论． 【小问1详解】 函数求导得， 由题意知，，解得． 【小问2详解】 导数，分母大于零，导数符号由分子决定， 当，即时， 恒成立，故，函数在上单调递增； 当时，即或， 当时，对称轴，，故时，，函数单调递增； 当时，有两根，，则， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 综上，时，函数在上单调递增； 时，时，函数单调递增； 时，函数单调递减； 时，函数单调递增． 【小问3详解】 不存在，理由：略． 21. 定义：若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”． （1）若数列的通项为，证明：数列为“数列”： （2）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； （3）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，使得数列为等差数列． 【答案】（1）由，可得，， 所以， 所以对任意n∈N*，． 又数列为递减数列，对任意n∈N*，， 取，则对任意n∈N*，， 所以数列为“T数列”； （2）假设存在正整数，使得， 由数列的各项均为正整数，可得， 由，得， 且， 同理可得，， ， 依次类推，可得， 因为是正整数，设， 在中取，得， 与数列的各项均为正整数矛盾． 所以对任意，； （3）因为数列为“T数列”， 所以存在常数M，对任意n∈N*，，设 由（2）可知，对任意，， 所以 若，则，若，则， 又时， 所以中至多有项大于或等于1，否则，与矛盾， 所以存在，对任意，有， 所以对任意，， 所以存在，使得数列为等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据，及 ，取，可证数列为“T数列”； （2）假设存在正整数，使得，得，由，得，且，依次类推，可得，设，得，与已知矛盾； （3）设由（2）可知，，若，则，若，则，由时， 可得中至多有项大于或等于1，否则，与矛盾， 进而得对任意，有，，故存在，使得数列为等差数列． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届中关村中学高三年级练习 数学 2026.08 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、本部分共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为 A. y= B. y= C. y=xex D. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个顶点，，的坐标分别为，，，为坐标原点，动点满足，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 9. 已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（　　） A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点 C. 无论a为何值，均有2个零点 D. 无论a为何值，均有4个零点 10. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 第二部分（非选择题共110分） 二．填空题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 在复平面内，复数对应的点与原点的距离是________ 12. 二项式的展开式中的常数项是______；二项式系数和是______． 13. 能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 14. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为16元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到80元每股，则的最小值为_________．（参考数据：，） 15. 满足一定条件的连续函数的定义域为，如果存在，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点. 在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer），是拓扑学里一个非常重要的不动点定理. 现新定义：若满足，则称为的次不动点. 给出下列四个结论： ①对于函数，既存在不动点，也存在次不动点； ②对于函数，存在不动点，但不存在次不动点； ③函数的不动点和次不动点的个数都是2； ④若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___________. 三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最小值及取得最小值时自变量的值． 17. 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间（包括35，75）空气质量为二级：在75微克/立方米以上空气质量为超标． 某城市环保局从该市市区2025年全年每天的监测数据中随机地抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （1）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率； （2）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望； （3）用样本方差估计全年日均值的波动情况．记天样本的方差为，将原天样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆，直线与相交于，两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）判断是否存在直线，满足条件：，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 20. 设函数． （1）若函数在点处的切线斜率为1，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个极值点，，记过点，的直线斜率为，问：是否存在实数，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 定义：若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”． （1）若数列的通项为，证明：数列为“数列”： （2）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； （3）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，使得数列为等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $