北京市第一○一中学2026-2027学年第一学期高三数学统考一

北京一零一中2026-2027学年度第一学期高三数学统考一 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A．0.2小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．2小时 9．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，是等比数列 B．当时，存在，使得当时 C．当时， D．当时， 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是_________． 12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为_________． 13．已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则_________；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为_________． 14．已知函数，任取，定义集合：，点，满足．设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为_________； （2）函数的单调递增区间为_________． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①存在正实数，使得不是单调函数； ②当时，的零点个数为1； ③若，则的取值范围是； ④若使得，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和． 17．（本小题14分） 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：，； 条件③：，． 18．（本小题15分） 已知函数． （1）当时， ①求函数的最值； ②直线是曲线在点处的切线，为与轴的交点，为坐标原点，求面积的最小值； （2）当时，若，判断与的大小关系，并说明理由． 19．（本小题13分） 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角．在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张．为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险．已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点． （1）若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； （2）已知高压气旋半径．规定：视为安全飞行．试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行． 20．（本小题15分） 已知函数，其中． （1）求曲线在处的切线方程； （2）判断的零点个数，并说明理由； （3）记为函数的极值点，设函数，判断在区间上的单调性，并说明理由． 21．（本小题15分） 设且，是从映至自身的一个一一对应，记作，其中．定义的符号为，即是满足，，的所有比值的乘积．特别地，当集合，有且只有2个元素时，称上述一一对应是一个对换． 对于任意两个从映至自身的一一对应，而言，定义其乘积为，由此可定义多个一一对应的乘积，，…． （1）已知，，，，求，； （2）对于选定的与，若有序数对集合的元素个数为，求，并用，表示； （3）求证：对于任意一一对应，总能找到有限多个对换，…，，使得 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $