1.2 一定是直角三角形吗 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕“勾股定理的逆定理”展开，通过古埃及人用12等分绳子围3、4、5边三角形的实例导入，衔接已学勾股定理，以“观察现象-提出猜想-验证证明”为学习支架，引导学生从具体到抽象构建知识。 其亮点在于以数学眼光观察古埃及实践，通过探究1的数组实验与严格证明培养数学思维（推理能力），结合例2零件判断、轮船航行问题等用数学语言解决实际问题。采用探究式教学与数形结合，小结归纳判定方法和研究过程，助力学生发展推理与应用意识，为教师提供清晰教学路径和丰富实例。

1.2 一定是直角三角形吗？ 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 八年级上│BS 1. 经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力. 2. 掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用. 重点 难点 学习目标 ∟ 3 4 5 32＋42＝52 思 考 如果一个三角形中有两边长度的平方和等于第三边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 我们古埃及人将一段绳子分成12等分并分别打上结，将这段绳子围成一个三角形，让三角形的三条边分别对应绳子的3、4、5个等份，这样围成的三角形就是直角三角形！ 新课引入 探究1 下面每组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 问题1 分别以每组数为三边的长度画出三角形，它们是直角三角形吗？ 它们都是直角三角形. 以数9，40，41为三边长画出三角形，还是直角三角形吗？ 新知学习 问题2 每组数在数量关系上有什么相同点？ 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 3，4，5满足32 ＋ 42 ＝ 52 5，12，13满足52 ＋ 122 ＝ 132 8，15，17满足82 ＋152 ＝172 7，24，25满足72 ＋ 242 ＝ 252 都满足 a2 ＋ b2 ＝ c2. 新知学习 思考1 从上述问题中，你有什么猜想？ 猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2，那么这个三角形是直角三角形. 我觉得这个猜想不准确，因为我们的测量结果存在误差. 你觉得这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？ 新知学习 C1 M N 简要说明：作一个直角∠MC1N，在C1N上截取C1A1＝b＝CA，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，连接A1B1. 证明：在Rt△A1C1B1中，由勾股定理， 得A1B12＝a2＋b2＝AB2 . 因为A1B1＝AB ，所以 △ABC ≌△A1B1C1 (SSS). 所以∠C＝∠C1＝90°， 所以 △ABC 是直角三角形. a c b A C B b a B1 A1 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 新知学习 勾股定理逆定理：如果三角形三条边的长度 a，b，c 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 归纳总结 注意：满足 a2 ＋ b2 ＝ c2 的三个正整数，称为勾股数. 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，最长边所对的角为直角. 新知学习 例1 下列各组数中，能作为直角三角形三边的是 __________，是勾股数的是______. ① 6，8，10 ② 0.3，0.4，0.5 ③ 10，24，25 ④ 6，5，4 ⑤ ， ， ①③ ①②③⑤ 新知学习 探究2 1.如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗? 得到的三角形还是直角三角形. 新知学习 2.下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗? 任意倍呢? 说说你的理由. 2倍 3倍 4倍 10倍 3，4，5 5，12，13 8，15，17 7，24，25 9，12，15 12，16，20 30，40，50 10，24，26 20，48，52 50，120，130 16，30，34 24，45，51 80，150，170 14，48，50 21，72，75 28，96，100 如果一个勾股数乘以任意正整数k，仍然满足勾股定理，即(ka)2＋(kb)2＝(kc)2，所以勾股数扩大任意倍数还是勾股数. 6，8，10 15，36，39 32，60，68 70，240，250 新知学习 归纳总结 判定一个三角形是直角三角形的方法： 判定1：有一个角为 90° 的三角形是直角三角形. 判定2：若 a2 ＋ b2 ＝ c2 ，则以 a、b、c 为边的三角形是以 c 为斜边的直角三角形 (勾股定理的逆定理). 判定3：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 新知学习 例2 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角. 工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示(单位：cm)，这个零件符合要求吗？ 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD 中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 图1 图2 新知学习 思考2 回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法？ 研究一个定理的过程： 观察现象→提出猜想→实验验证→严格证明→推广应用 解决问题的关键方法： ①数形结合：勾股定理的证明(如赵爽弦图、欧几里得证法)通过图形面积与代数公式的互译揭示本质. ②逆向思维：勾股定理的逆定理(若a2＋b2＝c2，则三角形为直角三角形)可用于判断直角. 新知学习 1. 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( ). A. a：b：c＝3：4：5 B. ∠A: ∠B: ∠C＝3：4：5 C. ∠A＋ ∠B＝ ∠C D. a：b：c＝1：2： B 2. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BD ＝ 9，AD ＝ 12，AC ＝ 20，则△ABC 是 ( ) . A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 D 随堂练习 3. (2025扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为_______________. 11，60，61 随堂练习 4. 已知等腰三角形ABC的底边 BC＝20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm. (1)求证：CD⊥AB； 证明：因为BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm， 所以满足BD2＋CD2＝BC2， 所以根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°， 即CD⊥AB； 随堂练习 4. 已知等腰三角形ABC的底边 BC＝20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm. (2)求△ABC 的腰长. 解：设腰长为x，则AD＝x－12， 由(1)可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2＋CD2＝AC2， 即：(x－12)2＋162＝x2， 解得 所以△ABC的腰长为 随堂练习 5. 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行 240 海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转 90°，继续航行 70 海里，则距出发地 250 海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向行驶？ A B C 北 解：船转弯后，是沿正西方向航行的. 理由如下： 由题意画出相应的图形，依题意可知： AB ＝ 240 海里，BC ＝ 70 海里，AC ＝ 250 海里. 在△ABC 中，AC2－ AB2 ＝ 2502－ 2402 ＝ 4900 ＝ 702 ＝ BC2 即，AB2 ＋ BC2 ＝ AC2，所以△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝ 90°. 所以，是沿正西方向航行的. 答：船转弯后，是沿正西方向航行的. 随堂练习 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理 的逆定理 勾股数 一定是直角 三角形吗 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2 的三个正整数，称为勾股数. 课堂小结 $