5.1.1 任意角 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层覆盖任意角概念、终边相同角公式应用及象限角综合问题，梯度从概念辨析到实际应用，适配新授课知识巩固，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|任意角概念|1-2题辨析锐角与象限角关系、分针转动角，强化概念理解| |中档|终边相同角公式及象限角|3-12题含终边相同角集合、象限角判断，突出公式应用与推理| |提升|综合应用与实际情境|13-17题含多选题、时钟问题及蚂蚁爬动模型，发展空间观念与模型意识|

第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 1.A　[解析] 锐角是指大于0°小于90°的角,是第一象限角,故A正确;终边相同的角可以相差360°的整数倍,故B错误;小于90°的角不一定在第一象限,也可以为负角,故C错误;根据任意角的定义,第二象限角可以为负角,第一象限角可以为正角,此时第二象限角小于第一象限角,故D错误.故选A. 2.B　[解析] 经过5分钟,分针顺时针转动30°,则分针转动的角为-30°.故选B. 3.D　[解析] 因为943°18'=223°18'+2×360°,所以943°18'与223°18'的终边相同,所以与943°18'的终边相同的角的集合为{x|x=223°18'+k×360°,k∈Z}.故选D. 4.D　[解析] 设与-760°的终边相同的角为α,因为-760°=-2×360°-40°,所以α=-40°+360°k,k∈Z,即α+40°=360°k,k∈Z.题中满足α+40°=360°k,k∈Z的只有-40°,所以与-760°的终边相同的一个角为-40°.故选D. 5.C　[解析] 因为-2026°=-46°-11×180°,所以集合A={α|α=-2026°+k·180°,k∈Z}中的最大负角为-46°.故选C. 6.(1){β|β=k·180°+30°,k∈Z}　(2)k·360°+120°,k∈Z　[解析] (1)当β的终边在第一象限时,β=30°+n·360°,n∈Z;当β的终边在第三象限时,β=210°+n·360°,n∈Z. 所以角β的集合为{β|β=k·180°+30°,k∈Z}. (2)因为大小为60°的角的终边落在射线OB上,大小为120°的角的终边与大小为60°的角的终边关于y轴对称,所以α=k·360°+120°,k∈Z. 7.D　[解析] 对于A,390°=360°+30°,因为30°为第一象限角,所以390°为第一象限角,故A错误;对于B,因为180°<225°<270°,所以225°为第三象限角,故B错误;对于C,因为270°<330°<360°,所以330°为第四象限角,故C错误;对于D,-240°=-360°+120°,因为120°为第二象限角,所以-240°为第二象限角,故D正确.故选D. 8.C　[解析] 若α是第一象限角,则k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k·360°<-α<-k·360°,k∈Z,则-α是第四象限角,故D错误;-k·360°<90°-α<90°-k·360°,k∈Z,则90°-α是第一象限角,故A错误;90°-k·360°<180°-α<180°-k·360°,k∈Z,则180°-α是第二象限角,故B错误;180°-k·360°<270°-α<270°-k·360°,k∈Z,则270°-α是第三象限角,故C正确.故选C. 9.{x|x=k·360°,k∈Z}　{x|x=90°+n·180°,n∈Z}　{x|x=45°+n·180°,n∈Z}　[解析] 终边在x正半轴上的角的集合是{x|x=k·360°,k∈Z}.终边在y轴上的角的集合是{x|x=90°+k·360°,k∈Z}∪{x|x=270°+k·360°,k∈Z}={x|x=90°+2k·180°,k∈Z}∪{x|x=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={x|x=90°+n·180°,n∈Z}.终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是{x|x=45°+k·360°,k∈Z}∪{x|x=225°+k·360°,k∈Z}={x|x=45°+2k·180°,k∈Z}∪{x|x=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={x|x=45°+n·180°,n∈Z}. 10.解:(1)作出360°角,如图①. 360°=0°+360°, 所以在0°≤α<360°内,与360°终边相同的角是0°. 360°角不属于任何一个象限. (2)作出720°角,如图②. 720°=0°+2×360°, 所以在0°≤α<360°内,与720°角终边相同的角是0°. 720°角不属于任何一个象限. (3)作出2012°角,如图③. 2012°=212°+5×360°,所以在0°≤α<360°范围内,与2012°角终边相同的角是212°. 因为212°角是第三象限角,所以2012°角是第三象限角. (4)作出-120°角,如图④. -120°=240°-360°,所以在0°≤α<360°内,与-120°角终边相同的角是240°. 因为240°角是第三象限角,所以-120°角是第三象限角. 11.C　[解析] 由题图可知,终边在阴影部分内的角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.故选C. 12.D　[解析] 因为A={θ|0°<θ<90°},D={θ|0°<θ<90°},B={θ|θ<90°},C={θ|k·360°<θ<90°+k·360°,k∈Z},所以A=D.故选D. 13.AC　[解析] ∵角α与角γ+60°的终边相同,∴α=m·360°+γ+60°,m∈Z,∵角β与角γ-60°的终边相同,∴β=n·360°+γ-60°,n∈Z,∴α-β=m·360°+γ+60°-(n·360°+γ-60°)=(m-n)·360°+120°(m,n∈Z),∴α-β与120°角的终边相同,选项A,C符合题意.故选AC. 14.y轴　直线y=x　[解析] 因为=90°,所以角180°-α的终边与角α的终边关于y轴对称.因为=45°,所以角90°-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称. 15.解:因为α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, 所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z, 所以-360°-2k·360°<-2α<-180°-2k·360°,k∈Z, 所以-2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角. 方法一:要判断的终边所在的象限,可以把各象限三等分,从x轴非负半轴起,按逆时针方向,依次将各区域标号为一、二、三、四、一、二、…,如图所示. 因为α是第二象限角,所以可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角. 方法二:因为90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, 所以k·120°+30°<<k·120°+60°,k∈Z. 当k=3n,n∈Z时,n·360°+30°<<n·360°+60°,n∈Z,此时是第一象限角; 当k=3n+1,n∈Z时,n·360°+150°<<n·360°+180°,n∈Z,此时是第二象限角; 当k=3n+2,n∈Z时,n·360°+270°<<n·360°+300°,n∈Z,此时是第四象限角. 综上所述,可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角. [方法点拨] 1.已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限时,可根据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况. 2.已知角α终边所在的象限,确定终边所在象限时,运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除,k被n除余1,k被n除余2,…,k被n除余n-1进行讨论,然后再下结论;运用几何法时,依据数形结合的思想,简单直观. 16.B　[解析] 因为时钟显示的时间比北京时间慢了一个小时,所以小亮需要将时针顺时针旋转30°,时针顺时针旋转形成负角,故他需要将时钟的时针旋转-30°.故选B. 17.解:根据题意可知,14α,14β均为360°的整数倍, 故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,则α=·180°,β=·180°,m,n∈Z. 由两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,得2α,2β的终边均在第二象限,由0°<α<β<180°,得0°<2α<2β<360°, 又90°<2α<2β<180°, 所以45°<α<90°,45°<β<90°, 所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,m,n∈Z, 即<m<,<n<,m,n∈Z. 因为α<β,所以m<n,所以m=2,n=3, 所以α=°,β=°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 考点一　任意角的概念 1.下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.锐角是第一象限角 B.终边相同的角必相等 C.小于90°的角一定在第一象限 D.第二象限角必大于第一象限角 2.经过5分钟,分针转动的角为 (　 ) A.-60° B.-30° C.30° D.60° 考点二　终边相同的角的公式的应用 3.[2026·张家口高一期末] 与角943°18'的终边相同的角的集合为 (　 ) A.{x|x=43°18'+k×360°,k∈Z} B.{x|x=43°18'+k×180°,k∈Z} C.{x|x=223°18'+k×180°,k∈Z} D.{x|x=223°18'+k×360°,k∈Z} 4.[2026·洛阳强基联盟高一月考] 与-760°的终边相同的一个角为 (　 ) A.120° B.40° C.-120° D.-40° 5.集合A={α|α=-2026°+k·180°,k∈Z}中的最大负角为 (　 ) A.-2026° B.-226° C.-46° D.-24° 6.如图.(1)终边落在直线OA上的角β的集合为　　　　　　　　;  (2)若角α的终边与终边落在射线OB上的角的终边关于y轴对称,则α=　　　　　　　　.  考点三　象限角与轴线角 7.下列各角的终边在第二象限的是 (　 ) A.390° B.225° C.330° D.-240° 8.若α是第一象限角,则下列各角是第三象限角的是 (　 ) A.90°-α B.180°-α C.270°-α D.-α 9.终边在x轴正半轴上的角的集合是　　　　　　　　;终边在y轴上的角的集合是　　　　　　　　;终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是　　　　　　　　.  10.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角α,在0°≤α<360°范围内,找出与其终边相同的角,并指出它们是第几象限角. (1)360°;(2)720°;(3)2012°;(4)-120°. 11.如图,终边在阴影部分(含边界)内的角的集合是 (　 ) A.{α|-60°≤α≤135°} B.{α|135°≤α≤300°} C.{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z} D.{α|135°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z} 12.已知集合A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是 (　 ) A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D 13.(多选题)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与角γ-60°的终边相同,那么α-β的值可以为 (　 ) A.120° B.360° C.1200° D.3600° 14.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角180°-α的终边与角α的终边关于　　　　对称;角90°-α的终边与角α的终边关于　　　　对称.  15.若α是第二象限角,试确定-2α,是第几象限角. 16.小亮发现时钟显示的时间比北京时间慢了一个小时,他需要将时钟的时针旋转 (　 ) A.-60° B.-30° C.30° D.60° 17.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,已知两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,如图,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),两只蚂蚁都在第14秒末回到点A,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值. 学科网（北京）股份有限公司 $