3.1.2函数的概念及其表示 第2课时 分段函数2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学分段函数同步练，分层梯度鲜明，从基础求值到实际应用，强化数学运算与模型意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分段函数直接求值、简单图象识别|如第1-2题直接代入求值，第6题图象辨析，夯实概念理解| |中档|复合函数求值、定义域值域综合|如第3-5题嵌套函数计算，第7-10题结合图象分析，提升推理能力| |提升|实际情境应用、创新题型|如第14题个税计算、第15题几何面积模型，第16题符号函数应用，培养数学建模与创新意识|

第2课时　分段函数 考点一　分段函数求值 1.已知函数f(x)=则f(-2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B.-5 C.3 D. 2.[2026·重庆外国语学校高一月考] 已知函数f(x)=则f(2)= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知函数f(x)=g(x)=其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.5]=-4,则f[g(π)]= (　 ) A.-π B.-2025 C.0 D.2025 4.数学家狄利克雷对数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一,狄利克雷函数D(x)=则D(1)+D()+D()+…+D()=　　　　.  5.已知函数f(x)=且f(2)=0,则f[f(1)]=　　　　;若f(m)=m,则实数m的值为　　　　.  考点二　分段函数的图象与应用 6.函数f(x)=|1-x|的图象大致是 (　 ) A B C D 7.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 (　 ) A.f[f(-3)]=1 B.若f(x)=3,则x=0 C.函数f(x)的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数f(x)的值域是[1,5] 8.如图所示是函数f(x)在定义域上的图象,则函数f(x)的解析式为f(x)=　.  9.给定函数f(x)=x2-2,g(x)=-x+1,用M(x)表示函数f(x),g(x)中的较大者,即M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值为　　　　.  10.[2026·深圳高一期中] 已知函数f(x)= (1)求f(4),f[f(1)]的值; (2)若f(a)=1,求实数a的值; (3)在如图所示的坐标系中画出函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的值域(无需写出理由). 11.已知函数f(x)=则 (　 ) A.-1≤f(x)≤4 B.-1≤f(x)≤0 C.-4≤f(x)≤1 D.0≤f(x)<2 12.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　 ) A.(-1,0) B.(-∞,0] C.[-2,0] D.[-1,0] 13.(多选题)[2026·赣州一中高一质检] 已知函数f(x)=则 (　 ) A.f[f()]=2 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪[1,+∞) D.若∀x∈R,a>f(x),则a≥3 14.[教材P70例8变式] 依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数①.应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除②.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元,税率与速算扣除数见下表: 级数 全年应纳税所得 额所在区间 税率(%) 速算扣除数 1 [0,36 000] 3 0 2 (36 000,144 000] 10 2520 3 (144 000,300 000] 20 16 920 … … … … 已知小华缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52 800元,依法确定的其他扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为t元(不超过300 000元),应缴纳个税税额为y元,则y=　　　　　　　　　　;如果小华全年综合所得收入额为220 000元,那么他全年应缴纳个税　　　　元.  15.如图,在直角梯形OABC中,已知AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,记梯形被直线l:x=t(t∈R)截得的位于直线l左侧的图形的面积为S. (1)求函数S=f(t)的解析式; (2)画出函数S=f(t)的图象. 16.[2026·安徽六安二中高一期中] 已知符号函数sgn(x)=则下列说法中正确的是 (　 ) A.sgn(2026)=1 B.对任意的实数x,|x|=-xsgn(x) C.函数y=x3sgn(x)的值域为[0,+∞) D.直线y=a和函数y=x2sgn(x2-1)的图象至多有2个公共点 17.已知函数f(x)=若f(a)=f(a+1),则实数a的值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　分段函数 1.C　[解析] f(-2)=(-2)2-1=3.故选C. 2.D　[解析] f(2)=f(2-2)=f(0)=02+2=2.故选D. 3.B　[解析] 因为π∈∁RQ,所以g(π)=[π]-π=3-π<0,所以f[g(π)]=-2025.故选B. 4.6　[解析] D(1)+D()+D()+…+D()=D(1)+D()+D()+D()+D()+D()+D()+D()+D()+…+D()=D(1)+D(2)+D(3)+D(4)+D(5)+D(6)=6. 5.-2　-1　[解析] 因为f(2)=0,所以2a-1=0,解得a=,所以f(x)=则f(1)=-1=-,f[f(1)]=f=-2.当m≥0时,m-1=m,解得m=-2,舍去.当m<0时,=m,解得m=1或-1,其中m=1不符合题意,舍去.综上,m=-1. 6.B　[解析] f(x)=只有B选项符合,故选B. 7.AD　[解析] 对于A,由图可知,f(-3)=2,f(2)=1,所以f[f(-3)]=f(2)=1,A正确;对于B,易知直线y=3与f(x)的图象有两个交点,且f(0)=4,所以当f(x)=3时,x不为0,B错误;对于C,D,由图可知,函数f(x)的定义域为[-3,0]∪[2,3],值域为[1,5],C错误,D正确.故选AD. 8.　[解析] 由图象可知,f(x)是分段函数,且每一段都是一次函数,f(x)的定义域为(-1,2].当x∈(-1,0)时,设y=k1x+b1(k1≠0),由图知解得所以当x∈(-1,0)时,f(x)=x+1;当x∈[0,2]时,设y2=k2x+b2(k2≠0),由图知解得所以当x∈[0,2]时,f(x)=-x.所以f(x)= 9.　[解析] 令x2-2=-x+1,解得x=-2或x=,作出函数M(x)的图象如图中实线部分所示,由图象可知,当x=时,M(x)取得最小值M=. 10.解:(1)因为函数f(x)= 所以f(4)=-2×4+9=1,f(1)=12-2×1=-1, 所以f[f(1)]=f(-1)==-1. (2)①当-1≤a<0时,由f(a)==1, 解得a=1,不满足-1≤a<0,故舍去; ②当0≤a≤3时,由f(a)=a2-2a=1,解得a=1±, 又因为0≤a≤3,所以a=1+; ③当3<a≤4时,由f(a)=-2a+9=1,解得a=4. 综上所述,实数a的值为1+或4. (3)画出函数f(x)=的图象,如图所示. 由图可知,函数f(x)的值域为(-∞,3]. [规律方法] (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数的形式,然后分段作出函数图象; (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,可先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可. 作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 11.A　[解析] 当x∈[-10,6]时,0≤-x+6≤16,则0≤≤4,即0≤f(x)≤4;当x∈(6,8]时,0<x-6≤2,则-1≤-(x-6)<0,即-1≤f(x)<0.所以-1≤f(x)≤4.故选A. 12.D　[解析] 当x>1时,f(x)的取值范围为(1,+∞).当a=0时,f(x)=符合题意.当a>0时,函数y=ax2+2x的图象开口向上,不符合题意.当a<0,且-≤1,即a≤-1时,f(x)在(-∞,1]上的最大值为f=-,由题意可得-≥1,解得0>a≥-1,故a=-1.当a<0,且->1,即-1<a<0时,f(x)在(-∞,1]上的最大值为f(1)=a+2,由题意可得a+2≥1,解得a≥-1,故-1<a<0.综上,a的取值范围是[-1,0].故选D. 13.ABD　[解析] 对于A,因为f()=-()2+3=0,所以f[f()]=f(0)=2,故A正确.对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3;当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,即x2=4,解得x=2或x=-2(舍去).综上,x=2或x=-3,故B正确.对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0;当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1或x<-1(舍去).综上,f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故C错误.对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3),因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,故D正确.故选ABD. 14.　3344　[解析] 当t∈[0,36 000]时,y=0.03t,当t∈(36 000,144 000]时,y=0.1t-2520,当t∈(144 000,300 000]时,y=0.2t-16 920,故y=小华全年综合所得收入额为220 000元时,应纳税所得额t=220 000-220 000×(8%+2%+1%+9%)-52 800-60 000-4560=58 640,t=58 640∈(36 000,144 000],故y=0.1×58 640-2520=3344,故他全年应缴纳个税3344元. 15.解:(1)由题意可知,线段OA对应的方程为y=2x(0≤x≤1). 当t≤0时,直线l与梯形没有围成图形,此时S=0; 当0<t≤1时,直线l与线段OA相交,所以S=t×2t=t2;当1<t≤2时,直线l与线段AB相交,所以S=×1×2+(t-1)×2=2t-1; 当t>2时,S=S梯形AOCB=×(1+2)×2=3. 综上,S=f(t)= (2)由S=f(t)=可得其图象如图所示. 16.AC　[解析] 对于A,因为2026>0,所以sgn(2026)=1,故A正确;对于B,因为|x|=-xsgn(x)= 所以|x|≠-xsgn(x),故B错误;对于C,令h(x)=x3sgn(x)=当x>0时,h(x)=x3>0,当x=0时,h(x)=0,当x<0时,h(x)=-x3>0,所以h(x)的值域为[0,+∞),故C正确;对于D,当x2-1=0时,x=-1或x=1,当x2-1>0时,x<-1或x>1,当x2-1<0时,-1<x<1,所以y=sgn(x2-1)=设g(x)=x2sgn(x2-1)=作出函数g(x)的图象如图所示,由图可知,当a≤-1或0<a≤1时,直线y=a与g(x)的图象无交点,当-1<a<0或a>1时,直线y=a与g(x)的图象有2个交点,当a=0时,直线y=a与g(x)的图象有3个交点,综上所述,直线y=a与y=x2sgn(x2-1)的图象至多有3个公共点,故D错误.故选AC. 17. -或1　[解析] 当即-1<a<1时,由f(a)=f(a+1),得a2+1=(a+1)2+1,解得a=-;当即1≤a<2时,由f(a)=f(a+1),得a2+1=-(a+1)+4,解得a=1或a=-2,又1≤a<2,所以a=1;当即a≥2时,由f(a)=f(a+1),得-a+4=-(a+1)+4,无解.综上可得,实数a的值为-或1. 18. 19. 学科网（北京）股份有限公司 $