3.1.2函数的表示方法-分段函数同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分段函数限时练通过基础求值、概念深化到实际应用的三阶分层设计，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养数学抽象、推理与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分段函数求值|直接应用定义（如选择1求f(f(-1))）| |中档|解集/值域/解析式|结合分段条件分析（如填空8由图象求解析式）| |提升|实际应用/图象/参数综合|联系生活情境与综合构造（如解答11公交票价模型）|

分段函数限时练 一、选择题 1.【2025·浙江模拟卷】已知函数 ，则 f(f(-1)) 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2.【2025·湖南模拟卷】已知 ，则不等式 f(x) ≤ 3 的解集为（ ） A. (-∞, 2] B. [-, 2] C. (-∞, ] D. [-, ] 3.【2025·河南模拟卷】函数 ，则 f(f(π)) = （ ） A. 0 B. 1 C. π D. 不存在 4.【2026·湖北模拟】函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] 5．【2025·湖南卷】某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 6.【2025·上海卷】函数f(x)＝x＋的图象是(　　) A　 　　　B　　　　C　　　　D 二、填空题 7.【2025·北京模拟卷】已知 ，则 f(-1) + f(1) = ______。 8.【2025·广东卷】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 【答案】f(x)＝ 【详细解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ 9.【2025·四川卷】已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 三、解答题 10.【2026·福建模拟】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 11.【2025·天津卷】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $ 分段函数限时练 一、选择题 1.【2025·浙江模拟卷】已知函数 ，则 f(f(-1)) 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【详细解析】 先求 f(-1)，因为 -1 ≤ 0，所以 f(-1) = -1 + 1 = 0。 再求 f(f(-1)) = f(0)，因为 0 ≤ 0，所以 f(0) = 0 + 1 = 1。 故 f(f(-1)) = 1，选B。 2.【2025·湖南模拟卷】已知 ，则不等式 f(x) ≤ 3 的解集为（ ） A. (-∞, 2] B. [-, 2] C. (-∞, ] D. [-, ] 【答案】B 【详细解析】 ① x ≤ 1 时，x² ≤ 3 → -≤ x ≤ ，与 x ≤ 1 交集为 - ≤ x ≤ 1； ② x > 1 时，2x-1 ≤ 3 → x ≤ 2，与 x > 1 交集为 1 < x ≤ 2； 合并得 - ≤ x ≤ 2，即 [- 2]，选B。 3.【2025·河南模拟卷】函数 ，则 f(f(π)) = （ ） A. 0 B. 1 C. π D. 不存在 【答案】B 【详细解析】 π 是无理数，所以 f(π) = 0； 0 是有理数，所以 f(f(π)) = f(0) = 1。 故结果为 1，选B。 4.【2026·湖北模拟】函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] 【答案】B 【详细解析】 当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}． 5．【2025·湖南卷】某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 【答案】A 【详细解析】 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 6.【2025·上海卷】函数f(x)＝x＋的图象是(　　) A　 　　　B　　　　C　　　　D 【答案】C 【详细解析】 当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1， 当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0， 根据一次函数图象可知C正确． 故选C. 二、填空题 7.【2025·北京模拟卷】已知 ，则 f(-1) + f(1) = ______。 【答案】-1 【详细解析】 f(-1) = 2×(-1) + 1 = -1； f(1) = 1² - 1 = 0； 所以 f(-1) + f(1) = -1 + 0 = -1。 8.【2025·广东卷】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 【答案】f(x)＝ 【详细解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ 9.【2025·四川卷】已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 【答案】－　 【详细解析】 当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)． 当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－. 三、解答题 10.【2026·福建模拟】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 【详细解析】 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. ①　　　　　　　② 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]． 11.【2025·天津卷】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【详细解析】 　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝ 函数图象如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $