4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦无理数指数幂运算，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过运算训练、推理应用及实际情境问题，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数幂运算性质、基本计算|单选2（3ⁿ×运算）、填空10（化简）等，强化概念理解| |中档|性质综合应用、函数关系|多选8（运算正误判断）、解答13（代数式求值），提升推理能力| |提升|实际情境与拓展|题3（报纸对折厚度）、题16（酒精倒出问题），体现应用意识与创新思维|

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1. (2026·威海校级模拟) 若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是 (　 　) A.  B.  C.  D.  2. 计算：3π×等于(　 　) A. 17 B. 18 C. 6 D. 5 3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　 　) A. 2.56厘米 B. 5.12厘米 C. 10.24厘米 D. 20.48厘米 4. (2026春·黑龙江校级期中) 若，其中为整数，则(　 　) A.  B.  C.  D.  5. 已知＝5，则的值为(　 　) A. 5 B. 23 C. 25 D. 27 6. 设x，y都是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　 　) A. B. C. 1 D. 7. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　 　) A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. b＞a＞c D. a＜b＜c 8. (多选)下列计算中，正确的有(　 　) A. B. ÷＝－9a(a＞0，b＞0) C. D. 已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 9. (多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列关系式中，f(x)，g(x)满足的有(　 　) A. f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B. f(x)－g(x)＝π－x C. f(2x)＝2f(x)g(x) D. [f(x)]2－[g(x)]2＝1 10. 化简＝　 　.  11. 已知a2x＝3，则的值为 　.  12. 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝　 　.  13. (1)当x＝，y＝2－时，求·的值； (2)若a2x＝－1，求ax＋a－x的值. 14. (2024·厦门一中高一检测)已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1，a为常数， x∈R). (1)若f(m)＝6，求f(－m)的值； (2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值. 15. (多选)高中数学教材必修第一册第110页第10题告诉我们，当n越来越大时，也越来越大，并趋向于常数e，则下列说法中，正确的有(　 　) A. 当n越来越大时，趋向于常数e B. 当n越来越大时，趋向于常数e C. 当x越来越大时，趋向于常数e D. 当x越来越大时，趋向于常数 16. 从装有a 升酒精的容器中倒出a 升，然后用水填满，再倒出a 升，又用水填满……如此重复下去. (1)若连续进行了4次，则容器中的酒精还剩多少升? (2)若连续进行了n次，则容器中的酒精还剩多少升? 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1. (2026·威海校级模拟) 若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是 (　D 　) A.  B.  C.  D.  【解析】令，得，，，；在同一直角坐标系内作出函数，，，的图像，如图所示：则，，分别是函数，，，的图像与直线交点的纵坐标，设点的横坐标为，点的横坐标为，由图像得，当时，，当时，，当时，，所以选项是可能的，选项不可能.. 2. 计算：3π×等于(　B　) A. 17 B. 18 C. 6 D. 5 【解析】原式＝＋1＝1π＋24＋1＝18. 3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　C　) A. 2.56厘米 B. 5.12厘米 C. 10.24厘米 D. 20.48厘米 【解析】0.01×210＝10.24(厘米). 4. 2026春·黑龙江校级期中) 若，其中为整数，则(　 A 　) A.  B.  C.  D.  【解析】因为， 所以，，所以.. 5. 已知＝5，则的值为(　B　) A. 5 B. 23 C. 25 D. 27 【解析】∵＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23. 6. 设x，y都是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　B　) A. B. C. 1 D. 【解析】∵xy＝yx，且y＝9x，∴＝(9x)x，即＝9x，于是x8＝9，得x＝. 7. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　D　) A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. b＞a＞c D. a＜b＜c 【解析】∵a12＝243＜b12＝124＜c12＝66，∴a＜b＜c. 8. (多选)下列计算中，正确的有(　BC　) A. B. ÷＝－9a(a＞0，b＞0) C. D. 已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 【解析】，A错误；÷＝ －9·＝－9a，B正确；＝(32，C正确； ∵x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝2，∴(x＋x－1)2＝4，则x＋x－1＝±2，D错误. 9. (多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列关系式中，f(x)，g(x)满足的有(　AC　) A. f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B. f(x)－g(x)＝π－x C. f(2x)＝2f(x)g(x) D. [f(x)]2－[g(x)]2＝1 【解析】f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，∴f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)，A正确；f(x)－g(x)＝＝－π－x，B错误；f(2x)＝＝2··＝2f(x)·g(x)，C正确；[f(x)]2－[g(x)]2＝··＝－1，D错误. 10. 化简＝　1　.  【解析】原式＝＝1. 11. 已知a2x＝3，则的值为 　.  【解析】由立方和公式得，原式＝＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋. 12. 已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝　27　.  【解析】由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，∴x＝3y＋3①.由9y＝3x－9，得32y＝3x－9， ∴2y＝x－9②.联立①②，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27. 13. (1)当x＝，y＝2－时，求·的值； (2)若a2x＝－1，求ax＋a－x的值. 解：(1)原式＝＝x2－y－1，又x＝，∴x2＝2＋，∵y＝2－，∴y－1＝1＋，∴x2－y－1＝2＋＝1＋. (2)由－1得＋1，∴＝a2x＋a－2x＋2＝2＋2， 因为，所以，， ∴ax＋a－x＝. 14. (2024·厦门一中高一检测)已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1，a为常数， x∈R). (1)若f(m)＝6，求f(－m)的值； (2)若f(1)＝3，求f(2)，f的值. 解：(1)∵f(m)＝6，∴＝6，∴f(－m)＝＝6. (2)∵f(1)＝3，∴＝3，∴a＋a－1＝6，∴f(2)＝＝17； ∵＝a＋a－1＋2＝8，∴＝2，∴f. 15. (多选)高中数学教材必修第一册第110页第10题告诉我们，当n越来越大时，也越来越大，并趋向于常数e，则下列说法中，正确的有(　BD　) A. 当n越来越大时，趋向于常数e B. 当n越来越大时，趋向于常数e C. 当x越来越大时，趋向于常数e D. 当x越来越大时，趋向于常数 【解析】∵当n越来越大时，趋向于常数e，∴当n越来越大时，趋向于常数e，则趋向于常数，A错误，B正确；当x越来越大时，趋向于常数e，则趋向于常数e3，C错误；当x越来越大时，趋向于常数e，则趋向于常数，D正确. 16. 从装有a 升酒精的容器中倒出a 升，然后用水填满，再倒出a 升，又用水填满……如此重复下去. (1)若连续进行了4次，则容器中的酒精还剩多少升? (2)若连续进行了n次，则容器中的酒精还剩多少升? 解：(1)第一次用水填满后，容器中的酒精还剩a(升)；第二次用水填满后，容器中的酒精还剩a×a(升)；第三次用水填满后，容器中的酒精还剩a× a(升)；第四次用水填满后，容器中的酒精还剩a×a(升)，∴连续进行4次，容器中的酒精还剩a升. (2)由(1)知，第五次用水填满后，容器中的酒精还剩a×a(升)……第n次用水填满后，容器中的酒精还剩a×a(升)，∴连续进行n次，容器中的酒精还剩a 升. 学科网（北京）股份有限公司 $