4.2.2 第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦指数函数图象和性质综合应用，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题的递进，培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义域、值域、单调性等单一考点|选择/填空题直接考查概念，如定义域求解、单调性判断| |中档层|简单综合应用|含参数不等式解法、奇偶性证明，如指数型不等式求解、奇函数性质应用| |拔高层|复杂综合与创新应用|含恒成立问题、函数图象分析，如双变量存在性问题、单调性定义证明|

第2课时　指数函数的图象和性质的综合应用 1.C　[解析] 若函数f(x)=有意义,则3x-9≥0,即3x≥9=32,解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).故选C. 2.A　[解析] 设t=x2-1,∵x2≥0,∴x2-1≥-1,∴t≥-1.∵y=2t在[-1,+∞)上单调递增,∴y≥2-1=,∴f(x)=的值域为.故选A. 3.{x|x≠±1}　[解析] 由x2-1≠0,解得x≠±1,所以函数y=0.的定义域为{x|x≠±1}. 4.解:令t=2x,因为x∈[-3,2],所以t∈, 则f(x)可变为y=t2-t+1=+,t∈, 所以当t=,即x=-1时,f(x)取得最小值, 当t=4,即x=2时,f(x)取得最大值13. 5.B　[解析] 依题意可知,原不等式可转化为3-x+4>3-2x.因为指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B. 6.(1,2)　[解析] 因为y=2x为增函数,所以由不等式<,可得x2-3x+1<-1,即x2-3x+2<0,解得1<x<2,所以不等式<的解集是(1,2). 7.　[解析] 因为0<a<1,所以y=ax为减函数,所以由原不等式可得|x-2|>|2x+1|,两边平方得x2-4x+4>4x2+4x+1,则3x2+8x-3<0,即(3x-1)(x+3)<0,解得-3<x<,所以不等式a|x-2|<a|2x+1|的解集为. 8.D　[解析] f(x)的定义域为R,因为f(-x)=2-x+=+2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.f(x)=2x+是由函数y=u+(u>0)与函数u=2x复合而成的,其中u=2x是R上的增函数,且u∈(0,+∞),当x<0时,0<u<1,当x>0时,u>1,因为y=u+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.故选D. 9.C　[解析] 令t=x2-ax+1,则函数f(x)=可以看作函数y=2t与t=x2-ax+1的复合函数.易知y=2t在R上单调递增,若要使函数f(x)=在(1,2)上单调递增,则函数t=x2-ax+1在(1,2)上单调递增,所以≤1,解得a≤2,所以a的取值范围为(-∞,2].故选C. 10.　[解析] 令t=-x2+x+2≥0,解得-1≤x≤2,所以f(x)的定义域为[-1,2].因为t=-x2+x+2在上单调递增,在上单调递减,且y=在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为. [方法总结] 对于复合函数单调区间的求解,关键是分离内函数与外函数,并且结合“同增异减”的原则,易错点是忽略函数的定义域,造成求解错误. 11.解:(1)因为函数f(x)=2x-k·2-x是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0,即20-k·20=0,解得k=1, 则f(x)=2x-2-x,因为f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,满足题意, 故实数k的值为1. (2)证明:由(1)可得f(x)=2x-2-x. ∀x1,x2∈R,且x1<x2, 有f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=(-)+(-)=(-), 因为x1<x2,且指数函数y=2x在定义域R上单调递增, 所以<,即-<0, 又>0,所以1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在R上单调递增. 12.A　[解析] 因为函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,排除B,D;当x∈R时,f(x)=≥0,排除C.故选A. 13.AB　[解析] 对于A,因为f(x)=-ax的定义域为R,且f(-x)=-a-x=ax-=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;对于B,C,因为f(0)=1-1=0,所以方程f(x)=0在R上有解,故B正确,C错误;对于D,当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,y=在R上单调递减,所以f(x)=-ax在R上单调递减,故D错误.故选AB. 14.[1,2]　[解析] 由已知可得,f(1)=3|a-1|≤1+2=3,所以|a-1|≤1,解得0≤a≤2.当0≤a<1时,f(x)=显然f(x)在(-∞,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,所以f(1)不是f(x)的最小值,与题意不符;当1≤a≤2时,f(x)=此时函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且满足f(1)≤3,所以f(1)是f(x)的最小值.故实数a的取值范围为[1,2]. [方法归纳] 利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,还要注意衔接点的取值. 15.解:(1)∵函数f(x)的图象过点A(0,2),B(1,3), ∴解得则f(x)=2x+1, ∴g(x)=f(2x)-f(x)=22x-2x=-≥-,∴g(x)的值域为. (2)当a>1时,f(x)在[0,1]上单调递增, 由题意得解得∴a+b=1. 当0<a<1时,f(x)在[0,1]上单调递减, 由题意得解得(舍去). 综上可得,a+b=1. 16.D　[解析] 因为g(x)=+4x-1=+4x-1在[0,3]上单调递增,所以g(x)在[0,3]上的最小值为g(0)=0,所以∀x∈[-1,2],f(x)≥0,即4x-(m+1)·2x-1≥0,所以m+1≤2x-对x∈[-1,2]恒成立,因为y=2x-在[-1,2]上单调递增,所以m+1≤2-1-=-,解得m≤-,故实数m的取值范围为.故选D. 17.解:(1)由题得f(0)=-=0,解得a=1. 经检验,当a=1时,f(-x)=-f(x),故a=1. (2)由(1)得f(x)=-=-=1--=-, 函数f(x)在定义域内单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=-=, ∵>,+1>0,+1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在R上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数,∴f(x2-mx)>-f(x2+4)=f(-x2-4)恒成立, 又f(x)在R上单调递增,∴x2-mx>-x2-4, 即2x2-mx+4>0, ∴Δ<0,即m2-4×2×4<0,解得-4<m<4, 故实数m的取值范围为(-4,4). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　指数函数的图象和性质的综合应用 考点一　与指数函数有关的定义域、值域问题 1.[2026·福建师大附中高一月考] 函数f(x)=的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.[-3,+∞) B.[-2,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞) 2.[2026·保定十八校高一联考] 函数f(x)=的值域为 (　 ) A. B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 3.函数y=0.的定义域为　　　　.  4.已知x∈[-3,2],求f(x)=4x-2x+1的最大值与最小值. 考点二　简单指数型不等式的解法 5.关于x的不等式>3-2x的解集为 (　 ) A.[4,+∞) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-4,1] 6.[2026·广东八校联盟高一检测] 不等式<的解集是　　　　.  7.不等式a|x-2|<a|2x+1|(0<a<1)的解集为　　　　.  考点三　与指数函数有关的单调性、奇偶性问题 8.函数f(x)=2x+在定义域R上是 (　 ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 9.若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(-∞,2] D.[4,+∞) 10.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　　.  11.[2026·甘肃酒泉高一期末] 已知函数f(x)=2x-k·2-x为奇函数. (1)求实数k的值; (2)求证:f(x)在R上单调递增. 12.函数f(x)=的大致图象是 (　 ) A B C D 13.(多选题)已知函数f(x)=-ax,其中a>0且a≠1,则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)是奇函数 B.方程f(x)=0在R上有解 C.函数f(x)的图象过定点(0,1) D.当a>1时,函数f(x)在其定义域上单调递增 14.已知函数f(x)=若f(1)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围为　　　　.  15.已知函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1,b为实数). (1)若函数f(x)的图象过点A(0,2),B(1,3),求g(x)=f(2x)-f(x)的值域; (2)若函数f(x)的定义域和值域都是[0,1],求a+b的值. 16.已知函数f(x)=4x-(m+1)·2x-1,g(x)=+4x-1.若∀x1∈[-1,2],∃x2∈[0,3],f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-2] B.[7,+∞) C. D. 17.已知定义域为R的函数f(x)=-是奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明; (3)若对任意的x∈R,不等式f(x2-mx)+f(x2+4)>0恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $