3.2.1第2课时 函数的最大(小)值-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦函数最值，按单调性基础、分段函数进阶、二次函数综合三层次设计，梯度清晰，覆盖从概念理解到参数应用，适配新授课知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考点一|单调性与最值基础判断、图像分析、简单函数值域|含教材变式题，通过一次函数、图像辨析巩固概念，培养几何直观| |考点二|分段函数（绝对值、max函数）最值|结合期中真题，通过分段讨论提升逻辑推理能力，衔接阶段测评| |考点三|二次函数区间最值、含参数问题|设置多选题与综合解答题，强化参数分类讨论，发展数学语言表达与创新意识|

第2课时　函数的最大(小)值 1.A　[解析] 因为f(x)=3x+2,x∈[-2,1]为增函数,所以f(x)的最大值为f(1)=5.故选A. 2.A　[解析] 若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),充分性成立;若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),设f(x)=,x∈[0,1],满足f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),但f(x)在区间[0,1]上不单调,必要性不成立.所以“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.故选A. 3.BC　[解析] 对于A,由题图可知,函数f(x)在[-4,-1]和[1,3]上单调递减,故A错误;对于B,由题图可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,故B正确;对于C,由题图可知,f(x)在[-1,3]上的最大值为3,最小值为-2,故C正确;对于D,由题图可知f(x)在区间(-4,1)上无最大值,最小值为-2,故D错误.故选BC. 4.　[解析] 由反比例函数的图象可知,函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减,∵(1,+∞)⊆(-1,+∞),∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,∴f(x)<f(1)=,又∵x+1>0,∴f(x)>0,∴f(x)的值域为. 5.解:(1)f(x)===2-, 函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下: ∀x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-+=, 因为x1,x2∈(-1,+∞),x1<x2, 所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0, 所以<0,所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,函数f(x)在[3,5]上单调递增, 所以f(x)min=f(3)=,f(x)max=f(5)=. 6.A　[解析] 因为f(x)=|2x-1|+|3-x|=所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=.故选A. 7.2-　[解析] 令x2-x=x+1,解得x=1-或x=1+,由题意可得M(x)的图象如图所示,由图知当x=1-时,M(x)取得最小值,M(x)的最小值为2-. 8.　　[解析] 当x∈[-2,0)时,f(x)=2x2+x=2-,则f(x)在上单调递减,在上单调递增;当x∈[0,2]时,f(x)=3x+1,f(x)在[0,2]上单调递增.所以f(x)的单调递减区间为.当x∈时,f(x)∈,当x∈时,f(x)∈,当x∈[0,2]时,f(x)∈[1,7].综上,f(x)的值域为. 9.D　[解析] 函数y=-x2-4x+1的图象是开口向下,对称轴方程为x=-2的抛物线,则f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=-(-2)2-4×(-2)+1=5,f(x)min=f(2)=-22-4×2+1=-11,故函数f(x)的值域为[-11,5].故选D. 10.2　[解析] 函数y=-x2+2ax+1-a的图象是开口向下,对称轴方程为x=a的抛物线.当a≥1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=a=2,所以a=2;当0<a<1时,函数f(x)在[0,a]上单调递增,在[a,1]上单调递减,所以f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1=2,解得a=(舍去);当a=0时,f(x)=-x2+1≤1,不符合题意.综上可得,实数a的值为2. 11.解:二次函数f(x)=x2-2x的图象的对称轴方程为x=1,当x∈(-∞,1)时,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递增. 若0<t≤1,则当x∈[t,1]时,f(x)单调递减,当x∈(1,t+2]时,f(x)单调递增,则f(x)min=f(1)=-1,满足题意; 若t>1,则当x∈[t,t+2]时,f(x)单调递增,f(x)min=f(t)=t2-2t=-1,解得t=1(舍去). 综上所述,t的取值范围为(0,1]. [规律方法] 二次函数在闭区间上的最值问题的一般解法: (1)先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外; (2)当函数图象的对称轴在闭区间内时,函数在图象顶点处取得一个最值,另一个最值在距对称轴较远的端点处取得(有时需要讨论图象的对称轴在闭区间中点的左侧、右侧或过中点的情况); (3)当函数图象的对称轴不在闭区间内时,最值在两个端点处取得. 12.C　[解析] f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),A错误.任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=.当x1<x2<1时,x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,则f(x1)-f(x2)>0;当1<x1<x2时,x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,则f(x1)-f(x2)>0.因此f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间[-2,0]上单调递减,B错误.当x∈[-2,0]时,f(x)max=f(-2)=-,C正确.因为f(x)在(1,+∞)上单调递减,3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),D错误.故选C. 13.D　[解析] 因为函数f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为直线x=t,函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以t≥1,且函数f(x)在[0,t]上单调递减,在(t,t+1]上单调递增,则f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1.因为t-0=t≥1,t+1-t=1,所以f(0)≥f(t+1),则当x∈[0,t+1]时,f(x)max=f(0)=1,若对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤6,则f(x)max-f(x)min≤6,即1-(-t2+1)≤6,解得-≤t≤,又t≥1,所以t∈[1,].故选D. 14.AD　[解析] 令x2-6x+10=-|x-5|+5,解得x=2或x=5,则f(x)=min{x2-6x+10,-|x-5|+5}=作出f(x)的图象,如图所示.由图可知,f(x)的最大值为f(5)=5,故A正确;由图可知,当k=1或k=2时,f(x)=k有3个不同的实数解,故B错误;对于C,f(1)=f(3)=1,f(4)=f(2)=2,所以f(x)在区间[1,4]上的取值范围为[1,2],故C错误;对于D,m的最小值为1,令x2-6x+10=3可得x=3+∈[2,5],所以n-m的最大值为3+-1=2+,故D正确.故选AD. 15.[-1,0]　[解析] 当x≤0时,f(x)=x2+mx+1,因为y=x2+mx+1的图象关于直线x=-对称,且f(x)的最小值为f(0),所以-≥0,即m≤0.又当x>0时,f(x)=x++m≥2+m=m+2,当且仅当x=1时等号成立,所以f(0)≤m+2,即1≤m+2,解得m≥-1.综上可知,实数m的取值范围为[-1,0]. 16.解:(1)由题知f(x)=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴方程为x=a. 若f(x)在[0,2]上不单调,则0<a<2, 所以实数a的取值范围是(0,2). (2)当a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,此时f(x)min=f(0)=1; 当0<a<2时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,2]上单调递增,此时f(x)min=f(a)=-a2+1; 当a≥2时,f(x)在[0,2]上单调递减,此时f(x)min=f(2)=5-4a. 综上,g(a)= 当a≤0时,g(a)=1,此时g(a)的取值范围为{1}; 当0<a<2时,g(a)=-a2+1在(0,2)上单调递减,此时g(a)的取值范围为(-3,1); 当a≥2时,g(a)=5-4a在[2,+∞)上单调递减,此时g(a)的取值范围为(-∞,-3]. 综上所述,g(a)的值域为(-∞,1]. 17. ACD　[解析] 对于A,f(x)g(x)=·==,2≤x≤,则当x=时,f(x)g(x)取得最大值,故A正确;对于B,====,2≤x<,则函数在上单调递增,故B错误;对于C,由a2+b2≥2ab,a≥0,b≥0,得2(a2+b2)≥(a+b)2,即a+b≤·,当且仅当a=b时等号成立,则f(x)+g(x)=·+=+≤·=,2≤x≤,当且仅当=,即x=时等号成立,所以f(x)+g(x)的最大值为,故C正确;对于D,2f(x)-g(x)=2-,2≤x≤,易知函数2f(x)-g(x)在上单调递增,所以当x=2时,2f(x)-g(x)取得最小值-1,当x=时,2f(x)-g(x)取得最大值,所以2f(x)-g(x)的值域为[-1,],故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的最大(小)值 考点一　函数的单调性与最大(小)值 1.已知函数f(x)=3x+2,x∈[-2,1],则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)的最大值为5 B.f(x)的最大值为-6 C.f(x)的最大值为1 D.f(x)无最大值 2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)在[-4,-1]∪[1,3]上单调递减 B.f(x)在[-1,1]上单调递增 C.f(x)在[-1,3]上的最大值为3,最小值为-2 D.f(x)在区间(-4,1)上的最大值为3,最小值为-2 4.函数f(x)=,x∈(1,+∞)的值域是　　　　.  5.[教材P81第3题变式] 已知函数f(x)=. (1)试判断函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明; (2)试判断函数f(x)在[3,5]上的最大值和最小值. 考点二　分段函数的最值 6.[2026·江苏常州北郊中学高一期中] 已知f(x)=|2x-1|+|3-x|,x∈R,则f(x)的最小值为 (　 ) A. B.5 C.3 D. 7.已知函数M(x)=max{x2-x,x+1}(该函数表示{}内两个函数的较大者),则M(x)的最小值是　　　　.  8.函数f(x)=则f(x)的单调递减区间为　　　　,f(x)的值域是　　　　.  考点三　二次函数的最值 9.[2026·重庆七中高一期中] 函数f(x)=-x2-4x+1,x∈[-3,2]的值域为 (　 ) A.(-∞,5) B.[5,+∞) C.[-11,4] D.[-11,5] 10.已知a≥0,若函数f(x)=-x2+2ax+1-a,x∈[0,1]的最大值为2,则a=　　　　.  11.已知函数f(x)=x2-2x,若t>0,函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为-1,求实数t的取值范围. 12.已知函数f(x)=,则 (　 ) A.f(x)的定义域为(1,+∞) B.f(x)在区间[-2,0]内单调递增 C.f(x)在区间[-2,0]内的最大值为- D.f(3)<f(4)<f(5) 13.已知定义在R上的函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤6,则实数t的取值范围是 (　 ) A.[1,] B.[-1,1] C.[-,] D.[1,] 14.(多选题)定义min{a,b}=若函数f(x)=min{x2-6x+10,-|x-5|+5},则 (　 ) A.f(x)的最大值是5 B.若f(x)=k有3个不同的实数解,则k=2 C.f(x)在区间[1,4]上的取值范围为[1,4] D.若f(x)在区间[m,n]上的取值范围为[1,3],则n-m的最大值为2+ 15.若函数f(x)=的最小值为f(0),则实数m的取值范围为　　　　.  16.[2026·安徽阜阳高一期中] 已知函数f(x)=x2-2ax+1. (1)若f(x)在[0,2]上不单调,求实数a的取值范围; (2)当x∈[0,2]时,求f(x)的最小值g(a),并求出g(a)的值域. 17.(多选题)[2026·广东深圳实验学校高一月考] 已知函数f(x)=,g(x)=,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)g(x)的最大值为 B.在上单调递减 C.f(x)+g(x)的最大值为 D.2f(x)-g(x)的值域为[-1,] 学科网（北京）股份有限公司 $