3.2.2 奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统讲解定义、判断步骤、图像对称特征及应用，通过联系函数概念与单调性引入，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建函数性质认知体系。 其亮点是分层训练（基础到拔高）、思维导图整合知识、例题变式结合，对接高考。通过定义辨析（如例1多选题）培养数学思维严谨性，图像对称应用（如例8解不等式）发展几何直观，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化高效教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 本节学习函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的步骤，理解奇偶函数图像的对称特征，会利用奇偶性简化求值，体会数形结合与分类讨论的数学思想 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括114张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数的奇偶性 1 定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数的定义域为，如果,都有 ,且 结论 那么函数 就叫做偶函数 那么函数 就叫做奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称（注意是整个定义域，而非一段） 等价形式 或 或 4 若 是非奇非偶函数. 若 既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即 ，，且 关于原点对称. 2 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 当时是奇函数；当 时既不是 奇函数也不是偶函数. 反比例函数 奇函数. 二次函数 当时是偶函数；当 时既不是 奇函数也不是偶函数. 6 3 奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设，的定义域分别是， ,在它们的公共定义域上 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 上述表格中不考虑和; 中，需 ， .复合函数的奇偶性可简记为“内偶则偶，内奇同外”. 7 例1 ［多选题］给出下列结论,其中正确的是( ) BCD A.若，则 是偶函数 B.若是偶函数，则 C.若，则 不是偶函数 D.若是定义域为的奇函数，则 8 【解析】对任意，满足， 才是偶函数，仅凭两个特殊 的函数值相等不足以判定函数的奇偶性，故A错误. 当是偶函数时，,,因此 成立，故B正确. 若想证明一个函数不是奇函数或偶函数，则可通过举特殊值的方法，只要有一个值 ，使或,就一定能得出 不是奇函数或 偶函数，则由，一定能得出 不是偶函数,故C正确.有下列结 论： 由于是奇函数，且定义域为，所以都有,令 ，得 ,即 ，故D正确. 9 “若奇函数在处有定义，则 ”是奇函数的一个重要性质，应 熟练掌握！ 10 知识点2 奇、偶函数的图象特征（几何意义） 1 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反 之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 11 2 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若 一个函数的图象关于 轴对称，则这个函数是偶函数. （事实上，对于偶函数，由可知 ，因此结合函数图 象的变换也可得知，的图象关于 轴对称） 12 知识剖析 奇、偶函数的图象特征的具体化（1）如果为奇函数，点 在其图象上， 那么点,即点也在 的图象上. （2）如果为偶函数，点在其图象上，那么点 ,即点 也在 的图象上. 13 3 奇、偶函数的单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上 有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”. 14 4 奇、偶函数的最值 若奇函数在定义域上某点处存在最大（小）值，则函数在该点关于原点的对称点处 取得最小（大）值，且最大值与最小值互为相反数； 若偶函数在定义域上某点处存在最大（小）值，则函数在该点关于原点的对称点处 也取得相同的最大（小）值. 15 例2 已知奇函数在区间上单调递增，则在区间 上( ) A A.单调递增，且最大值为 B.单调递增，且最大值为 C.单调递减，且最大值为 D.单调递减，且最大值为 【解析】任取 ， ， 又函数在区间上单调递增， . 函数 为奇函数， , ， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为 . （事实上，根据“奇同偶异”，可知在区间 上单调递增） 16 定义在上的奇函数，若函数在 上单调递增（减），则 在上单调递增（减）；而若函数在上单调递增（减），则在 上未必单调递增（减），如图3.2.2-1所示. 图3.2.2-1 17 知识点3 函数图象的对称性深挖点 18 1 图象关于点成中心对称图形 结论1 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 直观解释 将奇函数的图象先向上平移 个单位长度，可得 的图象，再向右平移个单位长度，可得 的图象，因此函数 的图象关于点 成中心对称图形. 等价条件 函数 为奇函数， 即 , 即 , 即 .#3.3 19 一般结论 #4 在定义域内恒满足的条件 的图象的对称中心 点 点, 点, 20 2 图象关于直线成轴对称图形 结论2 函数的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数. 直观解释 将偶函数的图象向右平移个单位长度，可得 的图象， 因此函数的图象关于直线 成轴对称图形. 等价条件 函数 为偶函数， 即，即 . 21 一般结论 在定义域内恒满足的条件 的图象的对称轴 直线 直线 直线 22 例3 ［多选题］(2026·河南省郑州市第二高级中学期末)对于定义在上的函数 ， 下述结论正确的是( ) AC A.若是奇函数，则的图象关于点 对称 B.若，则的图象关于直线 对称 C.若函数的图象关于直线对称，则 为偶函数 D.函数与函数的图象关于直线 对称 23 【解析】为奇函数，的图象关于原点对称，而的图象是将 的图象向右平移1个单位长度得到的，的图象关于点 对称,故A正确. 图3.2.2-2 令，则由可知， ， 即,其图象不一定关于直线 对称.如图3.2.2-2 所示，函数图象不关于直线 对称，故B不正确. 若的图象关于直线 对称，则有 ，即 ,故C正确. 函数的图象为函数 的图象向左平移1个单位长 度得到；函数的图象为函数 的图象向右平移1个单位长度得到. 而的图象与的图象关于轴对称，所以函数 的图象与函数 （注意这是两个函数，与 并不是一个意思）的图象 关于 轴对称,故D不正确. 24 方法帮丨解题突破 题型1 函数奇偶性的判断 类型1 一般函数的奇偶性的判断 例4 判断下列函数的奇偶性： （1） ； 【解析】 函数 （不能先化简函数式，要先判断函数的定义域）的定义 域为且， 定义域不关于原点对称， 该函数既不是奇函数也不是偶 函数. 25 （2） ； 【解析】方法1：（定义法） 函数的定义域为 ，关于原点 对称. ， 函数 是奇函数. 26 方法2：（图象法） 画出图象，如图3.2.2-3所示，图象关于原点对称，因此函数 是奇函数. 图3.2.2-3 27 （3） ； 【解析】当时，的定义域为， 为偶函数. 当时，的定义域为，, ， ， ， 即, ,（取值验证即可） 函数 既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数；当 时，函数 为偶函数. 28 （4） . 【解析】的定义域为 ，关于原点对称. 方法1：（定义法） （分子分母同时有理化） , 为奇函数. 29 方法2: , , 为奇函数. 30 方法3：当时， , （若,则,解得 ） 此时 ， 即 . 当时，（【易错点】在利用 判断函数的奇偶性时，要求 ，因此，对于使的自变量的值，需要单独考虑）, 为奇函数. 31 判断函数的奇偶性时，要先求定义域，再进行奇偶性的判断.若函数 解析式较复杂，可先求定义域再化简，然后判断.判断含参函数的奇偶性时，注意对 参数进行分类讨论,也可以代入特殊值进行验证. 32 解题通法 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：#2.1.1 33 （2）定义转化法： 当定义域关于原点对称时，判断 是否成立，或判断 是否成立. （3）图象法：#2.1.3 （4）性质法：利用奇、偶函数的运算性质，以及复合函数的奇偶性判断. 说明：判断一个定义域关于原点对称的函数不具有奇偶性，只要举出反例使 即可. 练变式1 已知, ，则下列结论正确的是( ) D A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是偶函数 D. 是奇函数 35 【解析】对于A， , ，,由于,,所以 既不是奇函数也不是偶函数. 对于B，, , ,由于，，所以 既不是奇函 数也不是偶函数. 对于C，,，定义域不关于原点对称，故 不具 有奇偶性.（只要定义域不关于原点对称，函数就不具备奇偶性） 对于D，,， ,由于 ，所以 是奇函数. 36 类型2 分段函数奇偶性的判断 例5 判断函数 的奇偶性. 对于分段函数奇偶性的判断，首先，要判断函数的定义域是否关于 原点对称；其次，判断函数是否在每一段上都满足或 . 37 【解析】函数的定义域为 ，关于原点对称. 当时， ， ； （当时，应将代入 ） 当时，， . （当时，应将代入 ） 综上可知，函数 是奇函数． 38 解题通法 判断分段函数奇偶性的方法 （1）一般用定义法，分段说明与的关系.要特别注意：若 ， ，在求时，需代入区间 上的解析式. （2）分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断. 39 类型3 抽象函数的奇偶性判断 例6 (2026·北京师范大学附属实验中学期中)如果是定义在 上的奇函数，那么下 列函数中，一定为偶函数的是( ) B A. B. C. D. 40 【解析】方法1：（定义法） 是奇函数， ．令 . 对于A，， 是奇函数． 对于B， ， 是偶函数． 对于C， ， 由于, , 既不是奇函数也不是偶函数. 对于D，， 是奇函数． 41 方法2：（性质法） 对于A，函数为奇函数，为奇函数,由“奇奇 奇”,可 得 为奇函数.（性质法能快速判断函数奇偶性） 对于B，由“奇×奇偶”,可得 为偶函数. 对于C，函数为偶函数，由“奇偶”不能确定奇偶性,可得 一定为 偶函数是不正确的. 对于D，由“奇×偶奇”,可得 为奇函数. 若一个函数是由奇、偶函数通过运算构成的，我们可以利用奇、偶 函数的运算性质判断其奇偶性.注意此方法及复合函数奇偶性的判断方法仅适用于选 择题和填空题. 例7（1）已知函数,，若,，都有 ，求证： 为奇函数. 【解析】令，则, . 令,,则，（对， 适当赋值，使所给的式子出 现及 ，从而可寻找其关系） ， 是奇函数. 43 （2）已知是定义在上的函数，设, ，试判断 与的奇偶性；根据，与 的关系，你能猜想出什么样的结论？ 【解析】 , , 是偶函数， 是奇函数.（直接用定义判断） ，由此可得一般结论：如果函数 的 定义域关于原点对称，那么函数 就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的 和,即 . 44 解题通法 判断或证明抽象函数的奇偶性，需利用奇、偶函数的定义，通过赋值（常用的有1， ，0），变形配凑，找出与 的关系. 45 练变式2 [多选题](2026·江西省南康中学大考)已知函数的定义域为 ，且 ，若 ,则下列结论正确的是( ) ABD A. B. C.函数是偶函数 D.函数 是减函数 46 【解析】令, ，则有 ， 又，故，即 . 令，，则有 ，即 ， 由，可得 ， 又，故 ，故A正确. 令，则有，即 ，故函数 是奇函数，所以C错误. 47 对,令，有 ，故B正确． 对,令替换,有 ，即 ，即函数是减函数，所以D正确.故选 ． （【另解】函数的图象可由函数 的图象向左平移一个单位长度得 到，由为减函数，可知 也为减函数） 题型2 奇、偶函数图象特征的应用 例8 (2026·广西南宁市第三十六中学月考)已知是偶函数， 是奇函 数，它们的定义域都是,且它们在 上的图象如图3.2.2-4所示，则不等式 的解集是_______________________________________. 或或 图3.2.2-4 49 50 【解析】方法1：是偶函数， 是奇函数. 根据奇、偶函数图象的对称性画出,在 上的图象，如图3.2.2-5 所示. 图3.2.2-5 51 （【小技巧】利用奇、偶函数图象的对称性作出函数的大致图象，使问题的求解直 观、明了，这是我们处理有关不等式问题的常用策略） 由图可知，或 ， 或 , 或 , 或 . 或 可求得其解集是或或 . 52 方法2：根据题图可知，当时，由（，图象位于 轴异侧时即 可）得或，由得 . 当时，，，即，所以 ，即 . 故不等式的解集为或或 . 解题通法 解决奇、偶函数的图象问题，一般需借助奇、偶函数图象的对称性，由 轴一侧的图 象可画出另一侧的图象，有了函数图象，我们可直观地研究函数的性质. 图3.2.2-6 练变式3 [多选题](2026·山东省济南市期中)奇函数 在 的图象如图3.2.2-6所示，则下列结论正确的有 ( ) ABD A.当时， B.函数在 上单调递减 C. D.函数在, 上单调递增 54 【解析】对于A，由函数的图象可知，当时，，因为 为 奇函数，则当时， ，A正确. 对于B，D，在上单调递减，在, 上单调递增，由奇函数的性质 可知，函数在上单调递减，在, 上单调递增，B，D正确. 对于C，由函数的图象可知， ，由奇函数的性质可知， ，则有 ，C错误. 55 题型3 函数奇偶性的应用 类型1 利用奇偶性求参数的值 例9（1）若为偶函数，则实数 ___. 4 【解析】方法1： ， ,因为 为偶函数，所以 ， 则，即 . 方法2：，由 为二次函数且为偶 函数，得,则.（当二次函数为偶函数时， ） 56 （2）已知函数为奇函数，则 ____. 【解析】方法1：因为是奇函数，,所以 ，即 ，解得.经检验， 符 合题意. （利用特殊值判断后要注意验证） 方法2：注意到解析式中分母 为奇函数，因此要使整个函数为奇函数，只需分 子为偶函数即可， 由（1）中的方法2，不难得到 . 57 解题通法 由函数的奇偶性求参数值的思路 1.一般化策略：对取定义域内的任一个值，利用与 的关系式恒成立来确 定参数的值. 2.特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列 方程求解，对于奇函数,若在处有定义，则由 求参数值.利用这种 方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去. 3.若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. 58 练变式4 (2026·广东省深圳市盐田高级中学模拟)已知函数 为 奇函数，则 ____. 【解析】当时，， . 因为为奇函数，所以，所以当时， ，即 ，所以， ， 所以 . 59 练变式5 若函数,是常数 是偶函数，且它的值域为 ，则 ____. 【解析】，由于函数 为偶函 数，则的系数,的系数，所以或 ． 当时，函数，其值域不为，因此不满足题意，即 ，从 而，此时 ， 要使值域为，只需即可，则 , 故 ． 60 类型2 利用奇偶性求函数的值 例10 已知,且,则 等于 ( ) A A. B. C. D.10 61 【解析】方法1：令,易知是 上的奇函数，从而 ,又 , , , ， . 方法2： , .（ 该式都成立） 令得 . 又, . 62 在上述解答过程中我们注意到一个事实，即 ， 而这个，即若为奇函数， ,则 .我们进一步思考奇函数图象的对称性,不难发现，奇函数 的 图象关于原点对称，而函数的图象则是将函数的图象沿着轴向上平移 个 单位长度，使得对称中心变成了 ，此时我们可以根据对称性得到 .更一般地，若函数的图象关于点 中心对称，则有 成立.利用此结论，可以快速求解此类问题. 63 子题1 已知为奇函数，,,则 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】因为为奇函数（其图象的对称中心为），所以 图 象的对称中心为，所以，则，于是 . 子题2 (2026·吉林省长春市第五中学月考)设函数的最大值为 ，最小值 为，则 ___． 2 【解析】，其中 为奇函数，则函数 图象的对称中心为，所以 的最大值与最小值的和 . 64 解题通法 已知函数奇偶性时，有 ，所以利用函数的奇偶性可在不改变函数值 的情况下改变自变量的值，由此可将待求函数值的自变量转化到已知区间中，从而 求得函数值. 65 练变式6 已知,均为上的奇函数，且在 上 的最大值为5，则在 上的最小值为____. 【解析】方法1：因为,均为上的奇函数，所以 也是奇函 数，则的图象关于中心对称.若设在上的最小值为 ,则 ,解得 . 方法2：在上的最大值为5，且, 均为奇函 数，则为奇函数，且其在 上的最大值为3. 根据奇函数的性质可知在上的最小值为 ，故 在上的最小值为 . 66 类型3 利用奇偶性求分段函数的解析式 例11 为上的奇函数，当时，，则 _ _____________________. 已知时的解析式，因此根据为奇函数求得 及 时函数 的解析式即可. 67 【解析】当时，，则 . 由于是上的奇函数，故 ， 所以当时， . 因为为上的奇函数，所以 （这是容易遗漏的点）. 综上， 68 函数为偶函数;函数 为 奇函数，如果在原点处有定义，则时, . 解题通法 利用奇偶性求分段函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法 是：先设出未知区间上的自变量，再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点， 把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 69 练变式7 已知是定义在上的偶函数，当时， ． （1）当时，求 的解析式； 【答案】因为是定义在上的偶函数，所以 ． 当时， ， 则 ． （2）求 的单调递减区间． 【答案】当时， ， 则在 上单调递减. 当时， ， 则在 上单调递减. 即的单调递减区间为， （注意不能用并集符号连接）． 70 题型4 函数奇偶性的综合应用 类型1 函数奇偶性与单调性的综合 例12 已知定义在上的奇函数满足，且在区间 上单调递 增，则( ) D A. B. C. D. 利用条件将,,化归到 上的函数值，然后利用单调 性比大小. 71 【解析】因为满足,所以 , 又在上是奇函数，所以,所以 . ,又在区间 上单调递增, 所以,即,所以， ,于是 . 72 例13 已知奇函数是定义在 上的减函数，则不等式 的解集为_ _____________. } 73 【解析】 ， 即 ， 因为是奇函数，所以 （利用奇偶性将不等式转化为函数值 的大小比较）. 又函数是定义在 上的减函数， 所以解得 . 故所求不等式的解集为 }. 74 解题通法 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1.比较函数值大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的自变 量的函数值,转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小. 2.抽象不等式问题，解题方法是： 第一步：利用函数奇偶性将不等式转化为函数值的大小比较； 第二步：由函数定义域及单调性构建不等式（组）； 第三步：解不等式（组）得原不等式解集. 75 练变式8 (2026·湖南省长沙市长郡中学开学考试)已知函数是定义在 上的偶函数， 且在上单调递减，则,, 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，则 . 又在上单调递减，所以 ， 即 . 76 练变式9 (2026·江苏省常州市期中)定义在上的偶函数在区间 上单调 递减，若,则实数 的取值范围为( ) C A. , B., C., D., 【解析】 函数是偶函数，偶函数 具有性质： .这是因为：当时，必有;当 时， . ,，即 . 又在 上单调递减， 原不等式等价于解得 . 故实数的取值范围是 . 77 类型2 函数奇偶性与对称性的综合 例14 ［多选题］(2026·江苏省启东中学周练)定义在上的函数在 上单调 递增，且 为偶函数，则( ) BCD A.图象的对称中心为 B.图象的对称轴为直线 C. D.不等式的解集为 78 【解析】因为为偶函数，所以 ， 所以的图象关于直线 对称，故A错误，B正确； 又在上单调递增，所以在 上单调递减，所以 ，故C正确； 由不等式结合的对称性及单调性，得 （函数值越小，离对称轴越远），即 ， 即，解得或 ， 所以不等式的解集为，故D正确.故选 ． 79 解题通法 解决奇偶性与对称性综合问题的策略 1.解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利 用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心. 2.偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称，这一结论可以推广 如下： （1）是偶函数的图象关于直线 对称； （2）是奇函数的图象关于点 中 心对称. 80 练变式10 定义在上的函数和的图象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为函数 是奇函数，函数图象关于原点对称，所以 的图象关于 对称. 的图象可由 的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移2 个单位长度得到，因此对称中心由平移至 因为和的图象关于 轴对称， 所以的图象关于 对称．故选D． 81 高考帮丨考向追踪 考向1 函数奇偶性的判断 例15 (2023·新课标Ⅰ卷改编)已知函数的定义域为， ， 则下列结论正确的是________. ； ； 是偶函数. ①②③ 82 给什 么得 什么 的定义域为 ，则定义域关于原点对称. 由 可知这是一个抽象函数，因此只能用赋值法求 解. 求什 么想 什么 对于①，令，则，即 ，故①正 确； 对于②，令，则，所以 ，故②正确； 对于③，需要出现,因此令，则 . 差什 么找 什么 在上式中出现,因此还需要求的值.令 ，则 ，由可得，因此 ,所 以函数 为偶函数，故③正确. 83 例16 (全国乙卷)设函数 ，则下列函数中为奇函数的是( ) B A. B. C. D. 【解析】方法1：因为 ， 所以 ， . （求出表达式，根据奇函数定义判断即可） 对于A, ,定义域关于原点对称，但不满足 ； 84 对于B, ，定义域关于原点对称，且满足 ； 对于C, ,定义域不关于原点对称； 对于D, ,定义域不关于原点对称. 方法2：（秒解），将其变换为 ，需将函数 的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，即对应的函数 为 . 考向2 函数奇偶性的综合应用 类型1 利用函数奇偶性求函数值 例17 (新高考全国Ⅱ卷改编)设函数的定义域为，且 为偶函数， 为奇函数，则 ___. 0 【解析】因为函数是偶函数，所以 . 因为函数是奇函数，所以 . 所以，即 . 所以 . 86 类型2 利用函数奇偶性由图象判断解析式 图3.2.2-7 例18 (2025·天津)已知函数 的图象如图3.2.2-7所示，则 的解析式可能为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题图可知函数的定义域为，且 为偶函数，易得与 均为奇函数，排除选 项A,B.由题图可知当时，，而此时， ， ，排除C，故选D. 87 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·北京市第八中学期中)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( ) D A. B. C. D. 88 图D 3.2.2-1 【解析】对于A，函数 是非奇非偶函数，不满足题意. 对于B， 是偶函数，不满足题意. 对于C，是奇函数，在区间和 上是增函数， 但在整个定义域内不是增函数，不符合题意. 对于D，令，则 ， 则 为奇函数. 作出其函数图象如图D 3.2.2-1，由图可 知 在定义域内是增函数，符合题意，故选D． 89 2.(2026·广东省广州中学期中)函数 的图象为( ) D A. B. C. D. 【解析】函数的定义域为 . ，该函数为奇函数，（【另解】也可由“ 为 偶函数，为奇函数，则 为奇函数”判断）故A错误. 当时，，则在 上单调递增， 当时，，则在 上单调递减，故B，C错误，D正确． 90 3.已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则 , , 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】函数为偶函数，则 , 函数的图象关于直线对称，则,， 在上单调递减， , （【关键点】把所求函数值的自变量都转化到同一单调区 间上），即 . 91 4.(2026·山东省青岛市期中) 设函数,的定义域都为，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是( ) C A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是偶函数 D. 是奇函数 92 【解析】是奇函数， 是偶函数， , . 令, , 则 为奇函数，即选项A错误； 令, , 则 为偶函数，即选项B错误； 令, , 则 为偶函数，即 选项C正确； 令, , 则 为偶函数，即选项D错误. 93 5.［多选题］ (2026·湖南省邵阳市第二中学周测)已知是定义在 上的奇函数， 当时， ，则( ) ACD A. B.函数 为奇函数 C. D.当时， 【解析】是定义在上的奇函数， , 故A正确； , 则 是偶函数，故B错误； （【另解】为奇函数，为奇函数，由“奇×奇=偶”可得 为偶函 数） , 故C正确; 若, 则, 则, 即 , 故D正 确.故选 ． 94 6.［多选题］ 已知函数 ，则下述结论正确的是( ) BCD A. 为奇函数 B.的图象关于点 对称 C.在 上是增函数 D.关于的不等式的解集为 95 【解析】，，显然不满足，即 不是奇函数， A错误.（利用特殊值排除） 因为，故函数的图象关于点 对称， B正确. 当时，， 单调递增，根据函数图象的对称性可 知，在 上为增函数，C正确. 由可得 （在B选项中, ），又在上单调递增，所以,解得 ，D正确． 故选 ． 96 7.(2026·陕西省镇安中学期末)已知定义域为 的奇函数 ，则 的值为___． 1 【解析】由题可知，所以 ， 又是奇函数，所以 ， 即 ， 所以，所以 ． 97 8.(2026·湖南省长沙市明德中学月考)已知函数是定义在 上的奇函 数，且 . （1）确定函数 的解析式； 【答案】是定义在 上的奇函数， ，即 ， 又,,解得，故 . 98 （2）用定义证明在 上是增函数； 【答案】任取,，且 , 则 . ,,, , , . ,在 上是增函数. 99 （3）解不等式： . 【答案】 .（利用奇函数转化） 在 上是增函数， 解得 . 不等式的解集为 . 100 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 图3.2.2-1 9.(2026·四川省成都市石室中学一诊)已知定义在 上的奇函数 在 上的图象如图3.2.2-1所示，则不等式 的解集为( ) A A. B. C. D. 101 图D 3.2.2-2 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以函数 的 图象关于原点对称，故得函数 的图象如图D 3.2.2-2所示. 由图可知，要使 , 当时，需，得 ; 当时，需，得 ; 当 时，不等式不成立. 综上，不等式的解集为 . 102 10.已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数 在 上单调递增，且，则满足的 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 103 【解析】由定义在上的奇函数在上单调递减，得在 上单调 递减，且，，则当或时， ; 当或时， . 由定义在上的偶函数在上单调递增，且，可得在 单调递减， , 则当时，；当或时， ． 等价为或 即或 可得或 ．故选A. 104 11.［多选题］ (2026·湖北省荆州中学月考)已知函数的定义域为，且 ， 若为奇函数， 为偶函数，则( ) BD A. B. C. D. 【解析】 为奇函数， ，即 . 令，得 ，故C错误； 令，得，， ，故A错误； 为偶函数，，令，得 ， 即 ，故B正确； 令，得 ，故D正确. 故选 ． 105 12.［多选题］ 已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的 , ,且，都有 ，则( ) ABD A.的图象关于直线对称 B. C.在区间上单调递减 D.时，的解集为 106 【解析】对于A，因为是定义在上的奇函数，所以函数 的图象关于原点对 称，由，得的图象关于直线 对称，故A正确. 对于B，由 ，得 ，因为是定义在 上的 奇函数，所以，所以 ，故B正确. 对于C，因为对于任意的,，且，都有 ，（单调性的 等价形式）所以在区间 上单调递减. 由对称性可知，（与关于直线对称）函数的图象关于点 成 中心对称， 则在上单调递减，所以在区间 上单调递减. 107 因为的图象关于直线对称，则在区间 上单调递增，故C错误. 当时，因为,且在上单调递增，在 上单调递 减，所以的解集为 ,故D正确. 故选 . 13.(2026·广东省汕头市潮阳实验学校期中)已知函数和是定义在 上的函数， 且是奇函数，是偶函数，，则 ___；若对 于任意，都有，则实数 的取值范围是__________． 109 【解析】根据题意，，则 ， 两式相加可得 . 由是定义在上的奇函数，是定义在 上的偶函数， 得, , 所以，即， . 对于任意，都有 ， 即对于任意，都有 ， （将式子转化成单调性的等价形式） 令,则在 上单调递增. 110 又，则时，，在 上单 调递增，满足题意； 时，,其图象的对称轴为直线 ， 要使在 上单调递增，（转化为轴动区间定问题） 只需或解得或 . 综上，的取值范围为[-， )． 14.(2026·广东省汕头市期中)已知定义在上的函数满足：① ， ，；②当时，, 且 . （1）判断函数 的奇偶性； 【答案】函数 的定义域关于原点对称. 令，则, . 令，则，得 . 再令，则 , 函数 为偶函数． 112 （2）判断函数在 上的单调性； 【答案】任取，，且，则有 ． 当时，， . 而 ， 函数在 上单调递增． （3）求函数在区间 上的最大值； 【答案】，且， . 又由（1）（2）知函数是偶函数且在( 上单调递增， 函数在区间上的最大值为 ． 113 （4）求不等式 的解集． 【答案】 ， ， 原不等式等价于 ， （利用 逐步转化为函数值之间的关系） 又函数为偶函数，且函数在 上单调递增， 原不等式又等价于 ， 即或，解得或 , 不等式的解集为或 . 114 $