专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+11大题型+自我检测） 重难点专题提升精讲精练 2026-2027学年沪教版（五四版）六年级数学上册

该初中数学讲义以“有理数的乘法与除法”为核心，通过知识框架图系统梳理4个知识点，包括乘法法则（含两数及多个数相乘步骤）、运算律、倒数性质、除法法则，并用表格对比“奇负偶正”等关键规律，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，11类基础题型覆盖从基本运算到实际应用（如水位下降计算），3类提高题型融合数轴、绝对值综合问题及裂项相消法，培养运算能力与应用意识。自我检测助力学生自主评估，教师可据此实施分层教学，提升复习针对性。

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数四则混合运算 9 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 10 题型十一、有理数乘除中的简便运算 11 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）的倒数是________． 【答案】 【分析】根据倒数定义，找到乘积为的数即可得到结果． 【详解】解：， 的倒数是． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江温州·学业考试模拟）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 【例2】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 1．（2026·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 【答案】 17或 或 【分析】分类讨论：①当这两个连续奇数为正数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可；②当这两个连续奇数为负数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可． 【详解】解：①当这两个连续奇数为正数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． ②当这两个连续奇数为负数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． 3．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【答案】(1)①2；②这3个数字的和为 (2)计算结果的最大值为13 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； （2）解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若的运算结果为负数，则内的数字可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多个有理数乘法运算，解题关键是确定结果的符号． 将四个分别代入，分别求出结果的符号，再作判断． 【详解】解：，结果为正数，故A不符合题意； ，结果为正数，故B不符合题意； ，结果为不是正数也不是负数，故C不符合题意； ，结果负数，故D符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）若，则的值为___________．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】本题考查有理数的乘法法则中积的符号确定；几个有理数的相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数个时，积为正数；当负因数的个数为奇数个时，积为负数；当含有因数0时，积为0. 【详解】解： 其中负因数有7个，为奇数个 ∴的值为负数. 故答案为：负数. 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）根据下列文字表述，分别列出算式，并计算结果． (1)已知与一个数的差为11，求这个数． (2)一个数除以3的商为，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是根据文字表述准确列出算式． （1）根据被减数、减数和差的关系列出算式并计算； （2）根据被除数、除数和商的关系列出算式并计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）一张长方形纸，长9厘米，宽5厘米，用这张纸折成一个最大的正方形，这个正方形的周长是（    ）厘米． A．24 B．20 C．30 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，长方形与正方形，由于宽度限制，最大的正方形只可能是边长5厘米的正方形，然后根据正方形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意知，最大的正方形边长为5厘米，周长为厘米， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米3元；超过部分每立方米5元．若该地区某家庭上月用水量为，则应缴水费为__________元． 【答案】70 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用．根据题意计算的水费加上超过部分的水费，即可求解． 【详解】解：元， 即应缴水费为70元． 故答案为：70 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数与负数，以及有理数的减法，根据题中的规定，列出正确的算式即可． 【详解】解：根据题意：2天后的水位用算式表示：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·北京·阶段检测）初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 【答案】 26 43 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意列出算式，求出甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成4个班级运回书籍的工作，同时乙、丙完成另外三项工作，最后1个班级的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间为： （分钟）， 合作完成4个班级的任务，最优策略是采用流水线作业；甲小组完成全部4个班级的运回书籍任务耗时 分钟；当甲完成第4个班级的运回书籍任务时，三个小组可同时对该班级进行后续三项工作（擦书架、查损坏、贴标签），耗时取决于最长的一项，即7分钟；故最少需要 分钟， 即甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要43分钟， 故答案为：26；43． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． 【基础题型四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 【例2】（25-26七年级上·天津南开·期末）的倒数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键；因此此题可根据倒数的意义进行求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故答案为． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：甲、乙都是正整数，如果甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲数小于乙数，即乙数大于甲数． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果一个数的倒数是，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：一个数的倒数是，那么这个数是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【答案】1；；； 【分析】本题主要考查倒数的概念，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，整数可视为分母为1的分数，小数需先化成分数，再求倒数． 【详解】解：因为，所以1的倒数是1； 因为，所以的倒数是； 因为，所以的倒数是； 化成分数为，因为，所以3.5的倒数为． 【基础题型五 有理数乘法运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将带分数化为假分数，利用乘法交换律和分配律进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：4． 1．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）将加上一个整数，使得和能够被和整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公倍数，有理数的乘法和减法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据与所求整数之和是和的公倍数，可得，，从而得出所加的整数是． 【详解】解：由题意可知，与所求整数之和是和的公倍数， ∴， ∵， ∴那么所加的整数是， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： (1)（请用两种方法进行运算）； (2)（简便运算）； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）方法一：先计算括号内的加减运算，再计算乘法；方法二：利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律简便计算即可； （3）利用有理数加法的结合律简便计算即可． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·山西临汾·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则求解判断即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，有理数的除法运算． 先根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，再根据有理数的除法运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片         ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【答案】(1)①；②；③；④； (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 【例2】（2026·北京·模拟预测）2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 1．（2026六年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【答案】B 【分析】此题考查用图象表示变量之间的关系，首先根据速度路程时间，分别求出斑马和长颈鹿的奔跑的速度，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得：斑马的速度为：（千米/分），长颈鹿的速度为（千米/分）， 故15分钟时斑马和长颈鹿相距：（千米）． 2．（25-26七年级上·山西朔州·期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】丙午 【分析】先根据年份尾数确定天干，再计算年份除以12的余数确定地支，最后组合得到干支纪年结果. 【详解】解：确定天干：2026年的尾数为，由天干对应序数表可知，序数对应的天干为“丙”； 确定地支：计算，可得，即余数为，由地支对应序数表可知，序数对应的地支为“午”； 将天干与地支组合，可得2026年为丙午年. 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据值为负时表示亏损，值为时不亏不盈，观察数据填写即可； （2）根据表格数据推理即可. 【详解】（1）解：观察表中数据可知:每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损． 故答案为：； （2）解：由上表可知，每月的乘车人数每增加人，每月的利润可增加元， ∴每月乘车人数为人时，每月的利润是（元）． 答：每月利润为元． 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 【例2】（24-25七年级上·四川泸州·阶段检测）一批衣服进价为50元，打算以的利润卖出，卖了后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润的，则打了______折． 【答案】八/8 【分析】本题考查了商品折扣问题，正确理解题意，合理利用假设法是解题的关键． 不妨设这批衣服有10件，根据售价进价利润率，折扣实际售价原价求解即可． 【详解】解：设这批衣服有10件， 总利润：（元）， 卖出的利润：（元）， 实际总利润：（元）， 剩余每件利润：， 打折：， 故答案为：八． 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）（行程问题）甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面15米，如果甲、乙两人的速度保不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线要比原来向后移动___米． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，首先根据速度×时间=路程，可得时间一定时，速度和路程成正比，据此求出甲、乙两人的速度之比是多少，然后求出甲的起跑线应比原起跑线后移多少米即可． 【详解】解：甲、乙两人的速度之比是：， （米）； 答：甲的起跑线要比原来向后移动米． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 【答案】(1)②，没有按运算顺序算 (2) 解：原式 ． 【分析】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除的混合运算的运算顺序解题即可； （2）根据相关运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ∴解题从第②步开始出现错误，错误的原因是没有按运算顺序算； 故答案为：②，没有按运算顺序算； （2）略 【基础题型九 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·四川达州·期中）今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先计算所有两两组合的总数，再去掉重复计算的部分即可得到结果． 【详解】解：∵每个项目都可以和其余个项目组合，直接计算会把每组组合重复计算2次， ∴总的不同选择数为， 因此共有15种不同的选择． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）对有理数a，b定义一种新的运算“*”：．例如，则的值是（        ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据题目中给出的定义，列式进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作．那么的最大值为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数的运算. 利用有理数的运算法则解答即可． 【详解】解：∵各数中，的绝对值最大，、其次， ∴求最大的数应用， ∵再做减法， ∴应减去负数， 最大， 的最大值为． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（2026七年级上·江苏常州·模拟预测）在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先计算每小时两个时钟的总时间差，再根据当前两个时钟的时间差得到从调整到现在经过的实际时长，再结合快钟的误差算出当前实际时间，最后倒退得到调整时钟的时间。 【详解】解：∵快钟每小时比标准时间快1分钟，慢钟每小时比标准时间慢2分钟 ∴每经过1小时，快钟比慢钟多走分钟 ∵现在两个时钟显示时间相差分钟 ∴从调整时钟到现在一共经过了小时 ∵显示时间更早的是慢钟，显示的是快钟，20小时一共快了分钟 ∴当前实际时间为分钟 ∵调整时间是20小时前的标准时间， ∴调整时间为 小时． 【例2】（25-26七年级上·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店． 【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）； ， 乙商店实际支付金额最少，为640元， 故选：B． 2．（25-26七年级上·北京东城·期末）某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品．每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示：       表一 原料 甲 乙 日供应量 60 80                   表二 产品类型 甲原料（/件） 乙原料（/件） 利润（元/件） A 2 4 50 B 4 2 60 应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量． （1）若全部生产B产品，每日最多可生产_____________件； （2）工厂每日最大总利润为_____________元． 【答案】 15 1100 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）分别求出甲乙两种原料用来生产B产品所能生产的数量即可求解； （2）用枚举法求解即可． 【详解】解：（1）∵件，件， ∴全部生产B产品每日最多可生产15件． 故答案为：15； （2）当生产15件B时，利润为元， 当生产14件B时，则生产件A，利润为元， 当生产13件B时，则生产件A，利润为元， 当生产12件B时，则生产件A，利润为元， 当生产11件B时，则生产件A，利润为元， 当生产10件B时，则生产件A，利润为元， 当生产9件B时，则生产件A，由于，不满足B产品数量不少于A产品数量的要求，故不符合题意； 综上可知，工厂每天生产的B产品数量不少于A产品数量，则工厂每日最大总利润为1100元． 故答案为：1100． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 【基础题型十一 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（24-25七年级上·北京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； 上述结论中，正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确算出每一厘米表示的单位长度．先计算出两点间的距离为几个单位长度，再除以刻度尺的长度，即可知每表示的单位长度． 【详解】解：①刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和， 单位长度为， 对应数轴上的点表示的数是，故①正确； ②刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和， 单位长度为， 对应数轴上的点表示的数是，故②正确； ③刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2， 单位长度为， 对应数轴上的点表示的数是，故③正确； ④刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和， 单位长度为， 对应数轴上的点表示的数是，故④正确； 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；由此可知每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： 第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..； ∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度， ∵， ∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为； 故答案为． 1．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图，数轴上点对应的数为，则数轴上与数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据数轴上数的意义判断即可； 【详解】∵点对应的数为，且到原点的距离小于1个单位长度， ∴对应的点在原点的右侧，且到原点的距离是点C到原点距离的2倍， ∴点E符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了利用数轴表示数，准确分析判断是解题的关键． 2．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和 ①若数轴的单位长度是，那么的值为_____． ②若刻度尺上“”对应数轴上的3那么的值为_____． 【答案】 1 13 【分析】本题考查数轴与有理数，根据两点间的距离公式和单位长度，逐一进行求解即可． 【详解】解：①由题意，； 故答案为：1； ②因为刻度尺上“”对应数轴上的3， 则数轴的单位长度为， 所以； 故答案为：13 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是 ；数轴上表示数3的点与表示数 点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 ； (3)若数轴上经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧），则A点表示的数是 ；B点表示的数是 ． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，直接写出点M，N表示的数． 【答案】(1)， (2)或1 (3)，4 (4)M点表示的数是1010，N点表示的数是 【分析】本题主要考查了数轴的综合应用，读懂题意，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算是解题的关键． （1）根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据题目给的条件计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可； （3）根据已知条件可得点到折痕点的距离与点到折痕点的距离相等，计算即可得解； （4）根据已知条件得到，再根据点表示的数比点表示的数大，即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：，； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1， 故答案为：或1； （3）解：∵经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧）， ∴点A到折痕点的距离与点B到折痕点的距离相等，且都为， 由于A在B的左侧，所以A点表示的数是，B点表示的数是， 故答案为：，4． （4）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1010，N点表示的数是． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则和有理数的乘法运算法则，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵， ∴正数的绝对值大， ∵， ∴，，绝对值较大． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是______． 【答案】 【分析】根据题意，可得绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，，然后再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法运算，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较方法，有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，， 它们是积为：． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）现有以下五个结论：可以写成分数的数称为有理数；绝对值等于其本身的有理数是和；每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；若两个非数互为相反数，则它们相除的商为；几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需注意结论的完整性． 结论符合有理数定义；结论忽略其他正有理数；结论是有理数基本性质；结论由相反数定义可得；结论⑤未考虑零的情况． 【详解】整数和分数统称为有理数，故可写成分数的数是有理数，正确； 绝对值等于本身的有理数包括0和所有正有理数，不仅0和1，错误； 每一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点不一定都表示有理数，故二者不是一一对应的关系，正确； 设两非数互为相反数，即与，则或，正确； 几个有理数相乘，若其中有0，则积为0，非负数，故负因数个数为奇数时，积不一定为负数，错误； 正确结论有，共个； 故选． 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）①任何数的绝对值一定是正数或0；②在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；③绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大；④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．上述说法不正确的是______． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了绝对值的意义、用数轴比较有理数的大小、有理数的乘法法则、倒数的意义等知识，根据相关概念逐项判断即可求解． 【详解】解：①任何数的绝对值一定是正数或0，正确，不合题意； ②当点表示负数时，在数轴上与原点距离越远的点表示的数越小，原说法错误，符合题意； ③绝对值大于1的两个异号的数相乘时，积会比正因数小，原说法错误，符合题意； ④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1，正确，不合题意； ⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，原说法错误，符合题意． 故答案为：②③⑤． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）0，，20；（2）； （3）不成立，举例如下： 当时， ， ， 所以不成立． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：0，，20． （2） ． （3）略 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题 】 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ___________． 【答案】 【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答 【详解】解：依题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键． 1．（25-26六年级上·上海·单元复习）用裂项法求和 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，数字的变化规律，找到变化规律，将分数合理拆项求解是关键． （1）根据题中的方法，进行“拆项——消项”法简化运算即可； （2）根据题中的方法，进行“拆项——消项”法简化运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 3．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减乘除运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 1．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值最小的正整数是1 C．一个有理数不是整数就是分数 D．倒数是其本身的数是0或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是倒数、绝对值、有理数的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据有理数的概念、倒数、绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故A正确，不符合题意； B、绝对值最小的正整数是1，故B正确，不符合题意； C、一个有理数不是整数就是分数，故C正确，不符合题意； D、0不存在倒数，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数满足，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记同号得正、异号得负是解题的关键．根据有理数的乘法，同号得正、异号得负对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．若，则不一定正确，如：； B．若，则不一定正确，如：； C．若，则，则，正确； D．若，则不一定正确，如：； 故选C． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 4．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知整数，…，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．－3 D．－2 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索问题，根据题意找出规律为从第四项起，以、的顺序循环出现，根据进而可求解，准确找出规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， ， ， ， ， ， ， 从第四项起，以、的顺序循环的出现， ， ， 故选：B． 5．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接使用表格给出的家庭月耗碳总量计算人均年碳排放量，统一单位后与中部地区人均年碳排放范围比较． 【详解】解：李明家人均年碳排放量为 ． ∵ ， ∴ 李明家人均年碳排放量属于中部地区正常范围． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，求一个数的绝对值． 根据“b与c互为相反数，且”可知c是负数，进而根据求出，进而根据倒数的定义，相反数的定义求出b、a的值即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数，且， ∴c是负数， ∵， ∴， ∴， ∵a与b互为倒数， ∴， 故答案为：． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（25-26七年级上·北京·期中）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到___商店买比较省钱，这时实际只需要付___元． 【答案】 甲 1250 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题意，可以分别计算出三家店的花费情况，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲店每买十送二，所以只需要买50个即可， ∴到甲店购买需要花费：（元）， 到乙店购买需要花费：（元）， 到丙店购买需要花费：（元）， ∵， ∴到甲店购买比较省钱， 故答案为：甲，1250． 10．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上_________cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是_________. 【答案】 40 4 【分析】（1）求出数轴上的一个单位长度为，进而可得原点对应的卷尺上的刻度线； （2）根据刻度线与刻度线重合，可知直线过卷尺的刻度线，所以刻度线与刻度线重合，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上， ∴数轴上的一个单位长度为， ∵， ∴数轴的原点对应的是卷尺上的刻度线， 故答案为：40； （2）刻度线与刻度线重合， 直线过卷尺的刻度线， 刻度线与刻度线重合， 刻度线在数轴上对应点表示的数是． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了数轴，有理数混合运算的实际应用，熟练掌握数轴特点是解题的关键． 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 12．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键． 根据所给方法计算即可； 【详解】 ， ， ． 13．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 15．（26-27七年级上·上海·期中）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】(1)介休三中；政务中心． (2)15；13 (3)28元 【分析】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0； （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数； （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数． 【详解】（1）解：从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心． （2）解：（人）； （人）； 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客． （3）解： （元）． 答：已经收入28元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数四则混合运算 9 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 10 题型十一、有理数乘除中的简便运算 11 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）的倒数是________． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江温州·学业考试模拟）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【例2】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 1．（2026·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 3．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若的运算结果为负数，则内的数字可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）若，则的值为___________．（填“正数”或“负数”） 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）根据下列文字表述，分别列出算式，并计算结果． (1)已知与一个数的差为11，求这个数． (2)一个数除以3的商为，求这个数． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）一张长方形纸，长9厘米，宽5厘米，用这张纸折成一个最大的正方形，这个正方形的周长是（    ）厘米． A．24 B．20 C．30 D．12 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米3元；超过部分每立方米5元．若该地区某家庭上月用水量为，则应缴水费为__________元． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·阶段检测）初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【基础题型四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【例2】（25-26七年级上·天津南开·期末）的倒数是________． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果一个数的倒数是，那么这个数是_____． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【基础题型五 有理数乘法运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：_____． 1．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）将加上一个整数，使得和能够被和整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是______． 3．（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： (1)（请用两种方法进行运算）； (2)（简便运算）； (3)． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·山西临汾·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则______________． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片         ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【例2】（2026·北京·模拟预测）2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 1．（2026六年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 2．（25-26七年级上·山西朔州·期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·四川泸州·阶段检测）一批衣服进价为50元，打算以的利润卖出，卖了后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润的，则打了______折． 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）（行程问题）甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面15米，如果甲、乙两人的速度保不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线要比原来向后移动___米． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 【基础题型九 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·四川达州·期中）今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）对有理数a，b定义一种新的运算“*”：．例如，则的值是（        ） A． B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作．那么的最大值为______． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（2026七年级上·江苏常州·模拟预测）在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【例2】（25-26七年级上·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（25-26七年级上·北京东城·期末）某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品．每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示：       表一 原料 甲 乙 日供应量 60 80                   表二 产品类型 甲原料（/件） 乙原料（/件） 利润（元/件） A 2 4 50 B 4 2 60 应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量． （1）若全部生产B产品，每日最多可生产_____________件； （2）工厂每日最大总利润为_____________元． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【基础题型十一 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的值为________． 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）用适当方法计算 (1) (2) 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（24-25七年级上·北京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则对应数轴上的点表示的数是； 上述结论中，正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为_______． 1．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图，数轴上点对应的数为，则数轴上与数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和 ①若数轴的单位长度是，那么的值为_____． ②若刻度尺上“”对应数轴上的3那么的值为_____． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是 ；数轴上表示数3的点与表示数 点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 ； (3)若数轴上经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧），则A点表示的数是 ；B点表示的数是 ． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，直接写出点M，N表示的数． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是______． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）现有以下五个结论：可以写成分数的数称为有理数；绝对值等于其本身的有理数是和；每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；若两个非数互为相反数，则它们相除的商为；几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）①任何数的绝对值一定是正数或0；②在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；③绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大；④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．上述说法不正确的是______． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题 】 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ___________． 1．（25-26六年级上·上海·单元复习）用裂项法求和 (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 3．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算 上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算： (1)； (2)． 1．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值最小的正整数是1 C．一个有理数不是整数就是分数 D．倒数是其本身的数是0或 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数满足，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）已知整数，…，满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．－3 D．－2 5．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 9．（25-26七年级上·北京·期中）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到___商店买比较省钱，这时实际只需要付___元． 10．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上_________cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是_________. 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 12．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 13．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 14．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 15．（26-27七年级上·上海·期中）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $