专题08 有理数及其运算章末56道压轴题型专训（8大题型） 重难点专题提升精讲精练 2026-2027学年沪教版（五四版）六年级数学上册

该初中数学讲义通过“8大题型”框架系统梳理有理数及其运算知识体系，以目录形式呈现新定义计算、乘方混合运算、数轴数形综合等核心内容，用经典例题串联知识重难点，构建“概念理解-运算应用-规律探究”的递进脉络，体现抽象能力与几何直观的培养。 讲义亮点在于压轴题型分层设计，如新定义计算通过“*运算”“除方”等创新情境训练推理意识，数轴移动问题结合实际场景培养模型意识。每题型配多梯度例题，基础题巩固运算能力，综合题提升思维深度，助力学生自主复习，也为教师精准分层教学提供实用资源。

专题08 有理数及其运算章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义计算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数中的规律计算压轴问题 4 题型五、数轴数形综合问题 5 题型六、数轴中移动综合问题 6 题型七、有理数四则混合运算的实际应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 有理数的新定义计算】 1．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题，现定义一种新运算：，如．求 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 3．（25-26七年级上·北京西城·期中）我们已经学过有理数的加减乘除以及乘方运算，下面再给出有理数的一种新运算——“*运算”，定义是．根据定义，解决下面的问题： (1)计算：； (2)我们知道，加法具有交换律，请猜想“*运算”是否具有交换律，并说明你的猜想是否正确． 4．（25-26七年级上·北京昌平·期末）［核心素养］在学习完有理数后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律．请写出你的探究过程． 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算】 8．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 10．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为，随后，甲同学将按的顺序进行运算，列式为． (1)计算：； (2)当乙同学想的有理数为2时，甲同学按_____→_____——的顺序进行运算，列式运算的结果为，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 12．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 14．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一．例：把二进制数10010转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）．例如； 写出______． (2)【发现2】现有三进制数，二进制数，试比较a与b的大小关系，说明理由． (3)【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 17．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续向东走了千米到达小红家，然后向西走了千米到达小刚家，最后返回百货大楼． (1)以百货大楼为原点，向东为正方向，个单位长度表示千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置.（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示） (2)小明家与小刚家相距多远？ (3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 18．（25-26七年级上·广西河池·期中）如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，则点表示的数是_________； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：．当圆形纸片结束运动时，点运动的路程共是多少？此时点所表示的数是多少？ 19．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 20．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 21．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 序号 超过或不足数 (1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明； (2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来； (3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？ 【经典例题四 有理数中的规律计算压轴问题】 22．（25-26七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 24．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 25．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）计算： （1）计算：12﹣(-6)+(﹣7)-15    （2）计算：﹣5+（-12）-11-|﹣|      （3）计算：（-2）3+（-3）×[×4]÷（﹣2） （4）﹣12021+÷﹣×（﹣18） （5）观察下列各式： -=-1+，--，--，…… ①根据上述规律写出第5个等式是 ； ②规律应用：计算（-）+（-）+（-）+…+（-） ③拓展应用：（直接写出结果） +++…+= 26．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 27．（25-26七年级上·河北保定·期中）解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 28．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【经典例题五 数轴数形综合问题】 29．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，直接写出满足条件的所有整数x． 30．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若，求的值； (3)试用数轴探究：的最小值为_________． 31．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_________，数轴上表示1和的两点之间的距离是_________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为__________； (3)若x表示一个有理数，则的最小值为_________； (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数和的是_________； (5)若x表示一个有理数，当x为_________，式子有最小值为_________． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 33．（25-26七年级上·山西临汾·期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： (1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知，． ①若点B表示的数为4，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． ②若点B表示的数为－2，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． ③若点B表示的数为m，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． (2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧）、那么= ． (3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为、，那么= ． (4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点Р所表示的数分别是多少？ 34．（25-26六年级上·上海青浦·阶段检测）下面是数学教材内容． 【阅读完成】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整． 9月20日星期二晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编自答了如下这个问题： 如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2，． (1)求A，B两点之间的距离． 解：因为在数轴上，点A表示的数是2，点B表示的数是， (2)点C为数轴上一点，且，请你求出点C所表示的数． 解： 35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【经典例题六 数轴中移动综合问题】 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 38．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三个点分别表示什么数？它们到原点的距离分别是多少？ (2)怎样移动A、B、C三点中的两个点，才能使三个点表示的数相同？移动方法唯一吗？若不是，请任意选择一种回答． 39．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 40．（25-26七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 41．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2的点与表示的点之间的距离是______； (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______；的最小值为______． 42．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 【经典例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 43．（25-26七年级上·重庆江北·期中）若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 44．（25-26七年级上·河南安阳·期末）某快递公司统计了某驿站连续七天每天的派件量（单位：件），以300件为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，记录如下表．已知第四天派件量为287件，第七天派件量为318件． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______； (2)求该驿站这七天平均每天的派件量； (3)若每件快递的派件费为0.8元，则该驿站这七天派件的总费用是多少元？ 45．（25-26七年级上·江西上饶·期中）我省宜春市的奉新大米种植、生产历史悠久，早在《宋史》和《天工开物》中就有记载，是江南优秀稻米．现有袋奉新大米，每袋以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重、记录数据如下表所示： 与基准的偏差/千克 袋数/袋 (1)这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克？ (2)若每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，求这袋奉新大米的合格率． (3)求这袋奉新大米的总质量． 46．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）一个长，宽，高的长方体容器中装满了水．小明先把容器中的水倒满2个底面半径为，高为的杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子中．当瓶子正放时如图1，瓶内水的高度为，当瓶子倒放时如图2，空余部分的高度为．（ π 取3，容器的厚度不计） (1)求图1中瓶子里水的体积． (2)求瓶子的容积． 47．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期____________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 48．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 49．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)甲、乙之间的距离为_____； (2)经过一次游戏，甲有_____种可能会移动到的位置； (3)从如图的位置开始，请计算经过多少次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位． 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 51．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 52．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 53．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 54．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）．                        55．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 56．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 有理数及其运算章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义计算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数中的规律计算压轴问题 4 题型五、数轴数形综合问题 5 题型六、数轴中移动综合问题 6 题型七、有理数四则混合运算的实际应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 有理数的新定义计算】 1．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题，现定义一种新运算：，如．求 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则混合计算，先根据新定义计算出，进一步计算出的值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·北京西城·期中）我们已经学过有理数的加减乘除以及乘方运算，下面再给出有理数的一种新运算——“*运算”，定义是．根据定义，解决下面的问题： (1)计算：； (2)我们知道，加法具有交换律，请猜想“*运算”是否具有交换律，并说明你的猜想是否正确． 【答案】(1) (2) “*运算”具有交换律，理由如下： ∵， ∴“*运算”具有交换律． 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）略 4．（25-26七年级上·北京昌平·期末）［核心素养］在学习完有理数后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律．请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3) 解：新运算“”不具有交换律． 探究过程如下（答案不唯一）： 因为，，且， 所以，所以新运算“”不具有交换律． 【分析】本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的进行计算即可； （2）直接根据新定义的含义计算即可； （3）根据新定义计算比较结果即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：由题意，得 ； （3）略 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或 【分析】本题考查有理数混合运算及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算】 8．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 10．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为，随后，甲同学将按的顺序进行运算，列式为． (1)计算：； (2)当乙同学想的有理数为2时，甲同学按_____→_____——的顺序进行运算，列式运算的结果为，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 【答案】(1) (2)甲同学选择的运算顺序为 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）分两种情况，结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：若选择的顺序可得： ； 若选择的顺序可得： ； 故甲同学选择的运算顺序为． 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 12．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 14．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一．例：把二进制数10010转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）．例如； 写出______． (2)【发现2】现有三进制数，二进制数，试比较a与b的大小关系，说明理由． (3)【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 【答案】(1) (2) (3)孩子自出生后的天数为天 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义是关键． （1）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （2）三进制数转换为十进制列式为，二进制数，转换为十进制列式为，再计算比较即可； （3）根据“结绳计数”的含义列式为：，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：三进制数转换为十进制列式为； 二进制数转换为十进制列式为， ∴， 故答案为：； （3）解：根据“结绳计数”的含义列式为：（天）， 即孩子自出生后的天数为天． 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【答案】 解：因为， 所以5号球的质量最接近规定质量． 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】略 17．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续向东走了千米到达小红家，然后向西走了千米到达小刚家，最后返回百货大楼． (1)以百货大楼为原点，向东为正方向，个单位长度表示千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置.（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示） (2)小明家与小刚家相距多远？ (3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？ 【答案】(1) 画出数轴，如图： (2)千米； (3)共耗油升． 【分析】（）根据题意小明家、小红家和小刚家在数轴上的位置可知； （）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可； （）这辆货车一共行走的路程，实际上就是（千米），货车从出发到结束行程共耗油量货车行驶每千米耗油量货车行驶所走的总路程． 【详解】（1）略 （2）由题意得点表示，表示， ∴小明家与小刚家相距（千米）； （3）货车一共行驶了（千米）， ∴货车从出发到结束行程共耗油（升）， 答：货车从出发到结束行程共耗油升． 【点睛】此题考查了有理数运算的应用，能够将应用问题转化为有理数的运算是解题的关键． 18．（25-26七年级上·广西河池·期中）如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，则点表示的数是_________； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：．当圆形纸片结束运动时，点运动的路程共是多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】（1）；（2）当圆片结束运动时，点运动的路程共是106.76，此时点所表示的数是6.28． 【分析】（1）直接利用圆周长公式结合数轴得出答案； （2）计算每次滚动的距离相加得出路程，并根据数轴得出表示的数． 【详解】解：（1）∵ 圆形纸片沿数轴向左滚动，所以点表示的数为. （2）， ，   ， ． 答：当圆片结束运动时，点运动的路程共是106.76，此时点所表示的数是6.28． 【点睛】本题主要考查了数轴的应用和正负数的意义，理解圆的运方向与数轴上的正负关系是解题的关键． 19．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键． 20．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 21．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 序号 超过或不足数 (1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明； (2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来； (3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？ 【答案】(1)第袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量； (2)数轴上表示如图，； (3)千克． 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小； （）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上袋沁州黄小米的标准质量即可求出总质量； 此题考查了正负数的应用，绝对值和通过数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）由， 则第袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量； （2）各数表示在数轴上如图所示： ， ∴； （3）∵（千克）， ∴这袋沁州黄小米总共重为（千克）， 答：这袋沁州黄小米总共重为千克． 【经典例题四 有理数中的规律计算压轴问题】 22．（25-26七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】 （1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 【答案】（1）1 ， 1；（2）无论x为何非零值，结果都是1．（3）见解析 【分析】（1）根据程序框图列出关系式，将x=-2，代入即可得到相应的结果； （2）找出规律为：（x2+x）÷x-x=1； （3）等式左边第一项利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到结果为1，右边为1，得证． 【详解】解：（1）根据题意得：（x2+x）÷x-x， 将x=-2代入得：（4-2）÷（-2）+2=2÷（-2）+2=-1+2=1； 将x=代入得：（+）÷-=×3-=1， 则填表如下： 输入x 3 2 -2 1 3 … 输出答案 1 1 1 1 … （2）得到规律为：（x2+x）÷x-x=1，即无论x为何非零值，结果都是1； （3）证明：等式左边=（x2+x）÷x-x=（x+1）-x=x+1-x=1，右边=1， 则（x2+x）÷x-x=1． 所以无论输入的数为何非零值，结果都是1．． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 24．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 25．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）计算： （1）计算：12﹣(-6)+(﹣7)-15    （2）计算：﹣5+（-12）-11-|﹣|      （3）计算：（-2）3+（-3）×[×4]÷（﹣2） （4）﹣12021+÷﹣×（﹣18） （5）观察下列各式： -=-1+，--，--，…… ①根据上述规律写出第5个等式是 ； ②规律应用：计算（-）+（-）+（-）+…+（-） ③拓展应用：（直接写出结果） +++…+= 【答案】（1）-4；（2）﹣28.5；（3）-6.5；（4）15；（5）①-=-+；②-；③ 【分析】（1）直接根据有理数的加减计算法则进行求解即可； （2）先化简绝对值，然后根据有理数的加减计算法则进行求解即可； （3）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的混合计算法则进行求解即可； （4）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的混合计算法则进行求解即可； （5）①观察题目所给式子即可得到第5个等式；②根据题目所给的规律即可以得到原式 ，由此进行求解即可；③根据题意可得原式，由此进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）①∵-=-1+，--，--，…… ∴第5个等式是， 故答案为：； ② ； ③ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，以及有理数的计算规律，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 26．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据定义得出法则即可； （2）根据法则计算即可； （3）根据法则和非负数的性质，即可证得． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解题意是解题的关键． 27．（25-26七年级上·河北保定·期中）解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)①；②99900 (2) 【分析】（1）①变形为，再根据乘法分配律简便计算即可解答；②先变形，然后根据乘法分配律简便计算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法即可解答． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、有理数的运算律等知识点，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 28．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 【经典例题五 数轴数形综合问题】 29．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，直接写出满足条件的所有整数x． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的意义是解题关键． （1）由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．根据，即可得到数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． （2）根据（1）结论得到表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为． ， 所以数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为：，； （2）解：如图所示， 因为表示数轴上表示x和的两点之间的距离，表示数轴上表示x和3的两点之间的距离， 所以表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5， 所以满足条件的所有整数为． 30．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若，求的值； (3)试用数轴探究：的最小值为_________． 【答案】(1)4；4 (2)或 (3)10 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离），解题的关键是利用表示数轴上、对应点的距离分析问题． （1）利用数轴上两点间距离公式计算； （2）根据绝对值几何意义，分析到的距离为5的两种情况； （3）探究到和6的距离之和的最小值（在两数之间时距离和最小）． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间的距离为： 表示2和6两点之间的距离：， 表示3和两点之间的距离：； （2）解：的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离为5”， 因此，的位置有两种可能： 在左侧5个单位：； 在右侧5个单位：． 故的值为或4． （3）解：的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点的距离，加上所对应的点与6所对应的点的距离之和． 当在和6之间（包括和6）时，距离之和最小， 最小值为到6的距离：． 31．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_________，数轴上表示1和的两点之间的距离是_________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为__________； (3)若x表示一个有理数，则的最小值为_________； (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数和的是_________； (5)若x表示一个有理数，当x为_________，式子有最小值为_________． 【答案】(1)3，4 (2)， (3)4 (4) (5)3，7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，准确理解题意是解题的关键． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离作答即可； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离作答即可； （3）根据表示数x的点到数的点和数1的点的距离之和，可得当距离之和最小时，x应位于和1之间，根据距离公式求解即可； （4）根据表示数x的点到数的点和数2的点的距离之和为5，x位于和2之间，根据距离公式求解即可； （5）根据表示数x的点到数的点、数3的点和数5的点的距离之和，当距离之和最小时，，再根据距离公式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为， 故答案为：，； （3）解：表示数x的点到数的点和数1的点的距离之和， ∴当距离之和最小时，x应位于和1之间， 此时距离为和1两点之间的距离，即， 故答案为：4； （4）解：∵表示数x的点到数的点和数2的点的距离之和为5， ∴x位于和2之间， ∴整数x的取值为：， ∴满足条件的所有整数和的是， 故答案为：； （5）解：表示数x的点到数的点、数3的点和数5的点的距离之和， 当距离之和最小时，， ∴式子有最小值为， 故答案为：3，7． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 33．（25-26七年级上·山西临汾·期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务： (1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知，． ①若点B表示的数为4，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． ②若点B表示的数为－2，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． ③若点B表示的数为m，则在数轴上点A表示的数为 ，点C表示的数为 ． (2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧）、那么= ． (3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为、，那么= ． (4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点Р所表示的数分别是多少？ 【答案】(1)①-4，6；②-10，0；③m-8，m+2 (2)b-a (3)3 (4)点N：3或-7；中点Р：或 【分析】（1）结合数轴便可填出①②，总结规律得出③； （2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案； （3）两点之间的距离=两点的差的绝对值，即可得到答案； （4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案． 【详解】（1）①数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：； ②数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：； ③数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：； （2）∵， 又∵点A在点B的左侧， ∴， ∴； （3）； （4）当N在M的右侧时， 点N表示是数为：；点P表示是数为：； 点N表示是数为：；点P表示是数为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，以及数轴上点所表示的数，运用数形结合思想和分类思想是本题的关键． 34．（25-26六年级上·上海青浦·阶段检测）下面是数学教材内容． 【阅读完成】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整． 9月20日星期二晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编自答了如下这个问题： 如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2，． (1)求A，B两点之间的距离． 解：因为在数轴上，点A表示的数是2，点B表示的数是， (2)点C为数轴上一点，且，请你求出点C所表示的数． 解： 【答案】(1)A，B两点之间的距离为7； (2)点C所表示的数为8或． 【分析】（1）根据题意，即可求出A，B两点之间的距离； （2）设点C所表示的数为，根据题意可得，求解即可得到点C所表示的数． 【详解】（1）解：因为在数轴上，点A表示的数是2，点B表示的数是， 所以A，B两点之间的距离为：； （2）解：设点C所表示的数为， 点C为数轴上一点，且， ， 或， 或， 即点C所表示的数为8或． 【点睛】本题考查了数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题关键． 35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【答案】（1） （2）①数轴上表示原点O的位置如下： ②数轴上表示原点O的位置如下： （3）线段的长度是定值，定值为6 【分析】本题考查了数轴上反演点的定义及应用，解题的关键是正确理解反演点的旋转中心与中点关系，结合定义推导点的坐标表达式． （1）先求数轴单位长度，计算刻度尺对应数轴上的数； （2）根据数的数量关系确定原点位置； （3）利用反演点的中点定义表示、，计算的长度． 【详解】（1）解：数轴单位长度为， 刻度尺1与原点（刻度的距离为，对应数轴上的数为． 故答案为：． （2）解：①从图中可知，a与b相距2个单位长度，且，所以原点O在a与b之间，且为三等分点； ②结合图中的格点位置，及长度关系式，在图3中标出原点． （3）解：由反演点定义：，得（是、的中点）；，是找中心使转到，该中心为，故； 则． 因、距离为6，故． 答：线段的长度是定值，定值为6． 【经典例题六 数轴中移动综合问题】 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 【答案】(1)点B所表示的数最小，是 (2) 解：要移动两点中的一个点，使这两个点所表示的数互为相反数． ①点不动，将点向右平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度． (3) 解：要移动三点中的两个点，使三个点所表示的数都相同． ①点不动，将点向左平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ③点不动，将点向右平移个单位长度，点向右平移个单位长度， 【分析】本题考查了数轴以及数轴上点的移动和数的大小改变规律：左减右加． （1）根据题意可得出三点所表示的数，再得出将点沿数轴向左移动个单位长度后表示的数，再比较出各数的大小即可； （2）分不动，移动；不动，移动两种情况讨论即可得出； （3）移动三个数中的两点，使个数重合即可；即①把两点移到点处；②把两点移到点处；③把两点移到点处． 【详解】（1）解：将点向左平移个单位长度后，点所表示的数为． ， 点所表示的数最小，是． （2）略 （3）略 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是； (2)点B表示的数最小，是； (3)1； (4) 解：有三种移动方法： ①点A向右移动7个单位长度，点B向右移动5个单位长度； ②点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度； ③点B向左移动2个单位长度，点C向左移动7个单位长度． 【分析】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． （1）根据向左移动减，求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减，求出点C表示的数，然后作出判断即可； （4）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）解：将B点向左移动3个单位长度后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）解：将A点向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （3）解：将C点向左移动6个单位长度后，表示的数是， 这时B点表示的数比C点表示的数大1； （4）略 38．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三个点分别表示什么数？它们到原点的距离分别是多少？ (2)怎样移动A、B、C三点中的两个点，才能使三个点表示的数相同？移动方法唯一吗？若不是，请任意选择一种回答． 【答案】(1)A表示的是﹣4，到原点的距离是4；B表示的是﹣2，到原点的距离是2；C表示的是3，到原点的距离是3； (2)将A向右移动2个单位，将C向左移动5个单位，移动方法不唯一． 【分析】（1）根据数轴上的点和数是一一对应关系进行作答即可； （2）根据A、B间的距离是2，A、C间的距离是7，B、C间的距离是5即可解答. 【详解】（1）解：（1）A表示的是﹣4，到原点的距离是4； B表示的是﹣2，到原点的距离是2； C表示的是3，到原点的距离是3． （2）解：将A向右移动2个单位，将C向左移动5个单位，移动方法不唯一． 【点睛】本题考查了数轴，数轴包括原点、正方向、单位长度，利用数形相结合的思想是解题的关键. 39．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，，得到、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 40．（25-26七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 【答案】(1)6 (2)小丽现在18岁，马老师现在35岁 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数形相结合是解此题的关键． （1）由数轴观察可得三根木棒长，再列式计算即可得出答案； （2）在数轴上，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，利用数形相结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 41．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2的点与表示的点之间的距离是______； (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______；的最小值为______． 【答案】(1)5 (2)或 (3) (4)； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 故答案为：5； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或； 故答案为：或； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：；． 42．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 【答案】（1），； （2）； （3），； （4）如图， ； （5）①； 【分析】（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； （3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据表示到与的距离和，即可求解； （5）根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是，数轴上表示数与6的两点之间的距离是； 故答案为：，． （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：． （3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，． （4）表示到与的距离和，数的点在与3之间移动时， 故答案为：． （5）依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 【经典例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 43．（25-26七年级上·重庆江北·期中）若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)187位 (2)882 (3)不可能，理由： 由于两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的， 所以若干次后剩余数的差和98个数的和的奇偶性相同， 因为是奇数， 不是奇数，所以没有这种可能性． 【分析】（1）前面到都是一位数，故有位，后面接下来从到每个数都是两位，总共有位数，所以到总共要位数； （2）前面到位数，是到的和，后面接下来是个的和，再接下来是到的和，再接下来是个的和，再接下来是到的和，…，最后是个的和以及到的和，所以各个位上的数字之间和为 （3）根据两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的，所以若干次后剩余数的差和个数的和的奇偶性相同，根据，，，…，的和是是奇数不是奇数，所以没有这种可能性． 【详解】（1）解： 所以，这个新数是一个位数； （2）解： （3）解：略． 【点睛】本题考查了学生对数的构成、对大数的认识以及分析能力，两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的是解（3）的关键． 44．（25-26七年级上·河南安阳·期末）某快递公司统计了某驿站连续七天每天的派件量（单位：件），以300件为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，记录如下表．已知第四天派件量为287件，第七天派件量为318件． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______； (2)求该驿站这七天平均每天的派件量； (3)若每件快递的派件费为0.8元，则该驿站这七天派件的总费用是多少元？ 【答案】(1)， (2)305件 (3)1708元 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，正负数的应用，正确理解题意是解题的关键； （1）以300件为基准，用实际派件量减去300，即可得到记录数； （2）先算出每天的实际派件量，求和得到总派件量，再除以天数7； （3）用总派件量乘以每件的派件费即可解答； 【详解】（1）解：以300件为标准， 第四天派件量为287件， 所以“■”处的数 第七天派件量为318件， 所以“●”处的数， （2）解：七天的总派件量： （件） 平均每天派件量（件）； （3）解：∵每件派件费为0.8元： ∴总费用（元） 45．（25-26七年级上·江西上饶·期中）我省宜春市的奉新大米种植、生产历史悠久，早在《宋史》和《天工开物》中就有记载，是江南优秀稻米．现有袋奉新大米，每袋以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重、记录数据如下表所示： 与基准的偏差/千克 袋数/袋 (1)这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克？ (2)若每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，求这袋奉新大米的合格率． (3)求这袋奉新大米的总质量． 【答案】(1)相差千克； (2)； (3)这袋奉新大米的总质量为千克． 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数混合运算的实际运用、绝对值.有理数的混合运算的关键是运算的顺序和运算法则． 根据正负数的意义可知最重的是记作，最轻的记作，用大数减小数即可得到最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克； 根据每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，可知只有记作的是不合格的，所以不合格的有袋，合格的有袋，根据合格的数量求出合格率； 根据统计表中记录的数据计算出总质量． 【详解】（1）解：由统计表可知最重的是记作，最轻的记作， （千克）， 这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差千克； （2）解：每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品， 其中， 不合格的有袋，合格的有袋， 合格率为； （3）解： （千克）， 这袋奉新大米的总质量为千克． 46．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）一个长，宽，高的长方体容器中装满了水．小明先把容器中的水倒满2个底面半径为，高为的杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子中．当瓶子正放时如图1，瓶内水的高度为，当瓶子倒放时如图2，空余部分的高度为．（ π 取3，容器的厚度不计） (1)求图1中瓶子里水的体积． (2)求瓶子的容积． 【答案】(1)图1瓶子里水的体积为 (2)瓶子的容积是 【分析】本题主要考查有理数四则混合运算的应用，理解题意列式计算是解答本题的关键． （1）求出长方体体积得水的总体积，再减去两个杯子的容积可得图1中瓶子里水的体积． （2）先求出图2中空白圆柱的体积，再加上图1中瓶子里水的体积即可得瓶子的容积． 【详解】（1）解： 答：图1瓶子里水的体积为 （2）解： 答：瓶子的容积是 47．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期____________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)19只 (3)14275元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减和乘法运算的实际应用．解决本题的关键是理解题意正确列式． （1）根据正负数的大小比较方法比较出记录中最大数即可判断； （2）最高一天的产量减去最少一天的产量求解即可； （3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该厂生产风筝最多的一天是星期四． 故答案为：四； （2）解：（只）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝． （3）解：∵（只）， ∴ （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是14275元． 48．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)53单 (3)1236元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． （1）用周四的送餐量减去周一的送餐量即可求解； （2）由50单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，按题意计算和即可． 【详解】（1）解：（单） 即该外卖小哥这一周送餐里最多的一天比最少的一天多22单； 故答案为：22； （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1236元． 49．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位． (1)甲、乙之间的距离为_____； (2)经过一次游戏，甲有_____种可能会移动到的位置； (3)从如图的位置开始，请计算经过多少次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位． 【答案】(1)8； (2)1； (3)3次或5次． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，理解题目中移动游戏的规律是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据移动规则，分别求出三种情况对应的甲的位置，即可得解； （3）由题意可知，甲乙相遇之前，每一次游戏，无论结果如何，甲乙之间的距离都缩小2个单位；经过次移动游戏后，甲乙相遇；甲乙相遇之后，每一次游戏，无论结果如何，甲乙之间的距离都增大2个单位，即可求解． 【详解】（1）解：因为甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上， 所以甲、乙之间的距离为， 故答案为：8； （2）解：①若甲、乙都对或都错，则甲向东移动1个单位，此时位置为，满足题意； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，此时位置为，不满足题意； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，此时位置为，不满足题意； 即经过一次游戏，甲有2种可能会移动到的位置， 故答案为：1； （3）解：甲乙相遇之前， 由移动规则可知，每一次游戏，无论结果如何，甲乙之间的距离都缩小2个单位， 当甲与乙的位置相距2个单位时，次； 经过次移动游戏后，甲乙相遇； 甲乙相遇之后，每一次游戏，无论结果如何，甲乙之间的距离都增大2个单位， 当甲与乙的位置相距2个单位时，次； 综上可知，经过3次或5次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位． 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大 (2)的最小值为，的最大值为 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握是解题的关键． 51．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 52．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 53．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值． 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或； （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4； （3）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 54．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 【答案】(1)；；不是 (2)； (3)②， 对于：   ∵，在到之间（包括和）时，最大值为、最小值为 ∴式子最大值为，最小值为． ∵且，符合要求，故②是；   【分析】本题考查了数轴上绝对值的性质、一次函数的增减性及线段“完美”式子的定义应用，解题的关键是紧扣“完美”式子的定义（在到之间，包括和时，最大值且最小值），通过分析绝对值或一次函数在该范围内的最值，判断是否满足定义． （1）确定在到之间（包括和），根据绝对值性质找的最值（端点时最大，顶点时最小），再对比“完美”式子条件；   （2）先求在在到之间（包括和）的最值（时最小，时最大），根据的最值要求列不等式，求解的范围及最值；   （3）对每个式子分别分析：①利用一次函数增减性求最值；②化简后求最值；③分段讨论绝对值表达式求最值，筛选符合“完美”定义的式子． 【详解】（1）∵在数轴上、之间（包括、）， ∴在到之间（包括和）．   对于：   当时，；当时，；当时，， ∴的最大值是，最小值是， 又∵“完美”式子要求最大值，而， ∴式子不是线段的“完美”式子．   故答案为：；；不是； （2）∵在到之间（包括和）， 对于：   当时，取最小值；当时，取最大值， ∵是“完美”式子， ∴需满足：   最大值：；   最小值： ∴在到之间（包括和），则的最大值是，最小值是． 故答案为：；； （3）∵在到之间（包括和），逐一验证式子：   ①对于：   ∵，式子随增大而增大． 当时，（最小值<-2），不符合要求，故①不是；   ②略 ③对于：   当在到之间（包括和）时， 式子（最小值），不符合要求，故③不是；   综上，是线段“完美”式子的是②．   故答案为：②； 55．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2； 最小值时a的位置如下，a的值为2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 56．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 【答案】(1)3；5或 (2)①；②；③ (3)3 (4)①或3；② 【分析】本题考查了数轴，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）①根据题意可得；②根据题意可得；③根据题意可得； （3）由（2）进行计算即可； （4）①分别讨论当时和当时进行计算即可；②根据题意可得，当时，有最小值并进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点A到点B的距离是， 由可得，x与2的距离为3， ∵， ∴或， 故答案为：3，5或； （2）解：根据题意得，当点P在点A的左侧时，， 故答案为：； ②当点P在点B的右侧时，； 故答案为：； ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，； 故答案为：； （3）解：由（2）可得，当x在和2之间时， ∴的最小值是， 故答案为：3； （4）解：①∵表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 当时，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1，表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4， ∴， ∴符合题意， 当时，表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4，表示3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1， ∴， ∴符合题意． 综上所述：当时，x的值是：或3 ②根据题意可得，当时，有最小值， 最小值为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $