专题09 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型）2026-2027学年沪教版（五四版）六年级数学上册

**基本信息** 以64道计算题构建从单一运算到规律探究的完整训练体系，通过分层题型与方法提炼培养运算能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数加减乘除乘方|各8道|基础运算法则、符号法则|从单一运算到混合运算，构建运算基础| |四则混合运算|8道|运算顺序、新定义运算|整合多运算类型，强化步骤规范性| |简便计算|8道|分离带分数法、逆用分配律|运用运算律简化计算，提升效率| |规律计算|8道|观察归纳、换元法|从特殊到一般，培养数学抽象与推理能力|

专题09 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）计算： (1) (2) 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）简便计算：． 3．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算 (1) (2) (3) (4) 5．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 7．（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26六年级上·上海嘉定·阶段检测）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算：． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 12．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是_______； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、_______； (3)请将过程补充完整． 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 18．（25-26七年级上·吉林·期中）计算：． 19．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 21．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)______；______； (2)求的值． 22．（25-26七年级上·广西柳州·期中）在□里填上合适的数字． 23．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）学习了有理数的运算后，书上有这样的一道习题．用简便方法计算：，下面是两位同学的解法： 小李：原式 小张：原式． 请写出另一种更好的解法． 24．（25-26七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①______ ； (直接写出结果) ②； (2)计算： 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 29．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 32．（2026七年级上·北京·专题练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题． 小明的解答：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由． (2)计算：． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 35．（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 37．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 38．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 39．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 40．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）计算：. 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 43．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 44．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4)        45．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）对于有理数a，b，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 46．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 47．（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）一些数字过大导致直接计算难度太大的题目，我们可以用字母替换数字，这叫做换元法！例如：计算，我们可以使用换元的想法，令，，则 原式 计算： 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（24-25七年级上·河南郑州·期中）简便计算． (1) (2) 50．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）脱式计算，能简便运算的要简便运算． (1)； (2)； (3)； (4)． 51．（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 52．（25-26七年级上·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 53．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）观察应用：利用运算律可以进行简便计算 【例1】； 【例2】． 参考上面例题，用简便方法进行计算： (1) (2) 54．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料 利用运算律进行简便计算： 例1 ； 例2 ． 请你参考上面的例题，用运算律简便计算： ① ②． 55．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 56．（25-26七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效． 例如：． 解：． (1)计算：，A同学的计算过程如下： 原式． 请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． (2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算，，的值； （2）观察上面三个式子的结果，用你观察出的规律计算：． 58．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 59．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 60．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 61．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）观察算式： ， ， … （1）按规律填空： ①＝________； ②＝________； ③如果n为正整数，那么＝________； （2）计算（由此拓展写出具体过程）：1－ － － －…－      62．（25-26七年级上·北京·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7＋2|＝ ； ②|－＋|＝ ； （2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 64．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）先去括号，然后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）简便计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的加法．利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： 3．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 【答案】(1)7 (2)0 (3)3.8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法法则运算即可． （2）先去括号，再进行加法运算即可． （3）先去括号，再进行加法运算即可． （4）根据有理数的加法法则运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)0 (3) (4)0.9 【分析】本题考查了有理数的加法运算，计算正负数加法时，需先确定结果的符号，再计算绝对值的和或差，具体分为：同号相加绝对值相加，符号不变；异号相加绝对值相减，符号取绝对值较大数的符号． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 5．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将分母相同的分数分组，简化计算. （2）将互为相反数或相加为整数的小数结合，简化计算. （3）将小数和分数分别分组，简化计算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 7．（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 参照题干的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （4）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26六年级上·上海嘉定·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，熟练掌握运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，是解题的关键． （1）先变减法为加法，然后根据有理数加法运算法则，进行计算即可； （2）先变减法为加法，然后根据有理数加法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)4 (3) (4)4 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是_______； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、_______； (3)请将过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，转化 (2)交换律；结合律 (3) 原式 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则解答即可； （2）根据运算法则解答即可； （3）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，体现了数学中的转化思想； 故答案为：有理数的减法法则，转化； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法的交换律和结合律； 故答案为：交换律；结合律； （3） 略 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．（25-26七年级上·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握多个有理数乘法的运算法则，是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 19．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据运算法则计算即可； （2）由“乘任何数都得”计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. （1）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. （2）先将绝对值求出并将带分数化成假分数后进行运算. （3）先将绝对值求出并将小数化成分数，带分数化成假分数后进行运算. （4）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 （4）解：原式 21．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)______；______； (2)求的值． 【答案】(1)29；23 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据新定义可知两个数进行新运算等于这两个数的乘积的2倍减去1，计算即可； 对于（2），根据新定义的运算要求计算即可. 【详解】（1）解：原式；原式； 故答案为：29；23； （2）解：原式. 22．（25-26七年级上·广西柳州·期中）在□里填上合适的数字． 【答案】见解析． 【分析】（）第一个因数与相乘得三百三十多，又第二个因数的十位与第一个因数的个位相乘得，所以第一个因数的个位是，，所以第一个因数是，然后计算即可； （）第一个因数的个位数字与第二个因数的十位数字相乘的积是，所以第一个因数的十位数字是，第一个因数就是，，所以第二个因数是，然后计算出结果即可； 本题考查了根据乘法的计算方法先确定因数的个位数字或十位数字是多少，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图： 23．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）学习了有理数的运算后，书上有这样的一道习题．用简便方法计算：，下面是两位同学的解法： 小李：原式 小张：原式． 请写出另一种更好的解法． 【答案】 解：原式 ． 【分析】本题考查的是有理数的乘法和乘法运算律的应用，仿照小张的简便方法先拆分乘数，再利用运算律进行计算即可得解． 【详解】略 24．（25-26七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①______ ； (直接写出结果) ②； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算； （1）①将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； ②将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； （2）将四个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为： ② ， ； （2）解： ， ； 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)7 (3)0 (4) 【分析】（1）两数相除，异号得负，并把绝对值相除即可； （2）两数相除，同号得正，并把绝对值相除即可； （3）0除以任何一个非0的数，都得0； （4）先把带分数化为假分数，两数相除，同号得正，再化除为乘，按照有理数的乘法法则计算即可； 本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【答案】，0，， 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； 根据图中左侧所给数字进行除以得出右侧数字即可． 【详解】解：， ， ， ． 综上所述，答案为：，0，，． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 利用有理数的除法法则计算各题即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 29．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）异号两数相除，把除法转化为乘倒数，约分得到结果； （2）两个负数相除，除法变乘法，计算得正数； （3）异号相除得负，把小数化为分数，再乘倒数求值； （4）正数除以，等于求这个数的相反数； （5）异号相除为负，除以分数改写为乘倒数，约分计算； （6）两个负数相除得正，小数换分数，乘倒数后约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 32．（2026七年级上·北京·专题练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题． 小明的解答：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由． (2)计算：． 【答案】(1)正确 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解： 35．（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据有理数的平方计算，先确定符号，再计算即可； （2）根据有理数的乘方计算，先确定符号，再进行计算即可； （3）把不参与运算的负号先抄下来，再进行有理数乘方的运算； （4）先把括号里的化简，再进行有理数乘方的运算； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)625 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算、积的乘方的逆用等知识点，掌握乘方的定义成为解题的关键． （1）直接根据乘方的定义计算即可； （2）直接根据乘方的定义计算即可； （3）直接根据乘方的定义计算即可； （4）直接根据乘方的定义计算即可； （5）先根据乘方的定义计算，然后去括号即可； （6）先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 37．（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 38．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 39．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 40．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）计算：. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，先把式子的利用商不变的性质整理得到，再进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 43．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 45．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）对于有理数a，b，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算； （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）先根据定义的运算法则计算出括号里的部分，然后再根据定义的运算法则计算即可. 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ 46．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 47．（2025七年级上·湖北襄阳·专题练习）一些数字过大导致直接计算难度太大的题目，我们可以用字母替换数字，这叫做换元法！例如：计算，我们可以使用换元的想法，令，，则 原式 计算： 【答案】2025 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握换元法． 令，然后进行整理求解即可． 【详解】解：令， 原式 ． 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（24-25七年级上·河南郑州·期中）简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的运算的简便运算； （1）先确定分子分母中相同的因数，再变形计算即可； （2）利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）脱式计算，能简便运算的要简便运算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)4 【分析】（1）先算除法，再提取公因数，进行计算即可得； （2）去括号，从左往右依次进行计算即可得； （3）将写成，再运用乘法分配律进行计算即可得； （4）先计算后两项，再计算减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 51．（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 52．（25-26七年级上·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 53．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）观察应用：利用运算律可以进行简便计算 【例1】； 【例2】． 参考上面例题，用简便方法进行计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律： （1）将99化为，再利用运算律即可求解； （2）先提取99，再利用运算律得，再将99化为，再利用运算律即可求解； 熟练掌握相关运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2） ． 54．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料 利用运算律进行简便计算： 例1 ； 例2 ． 请你参考上面的例题，用运算律简便计算： ① ②． 【答案】①；② 【分析】①原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； ②原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：① ； ②原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 55．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 56．（25-26七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效． 例如：． 解：． (1)计算：，A同学的计算过程如下： 原式． 请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． (2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：． 【答案】(1) ∵A同学运用乘法分配律时第二个数的符号处理错误， ∴A同学的计算是错误的， 原式=． (2)0 【分析】（1）先说明A同学的错误，再把除法变为乘法，最后运用运算律去括号计算即可； （2）先根据积不变规律变形，再根据乘法运算律可以解答本题． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数的乘法分配律的计算方法． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）（1）计算，，的值； （2）观察上面三个式子的结果，用你观察出的规律计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论可得连续4个数的和为，根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：（1），，． （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的加减、有理数的乘法运算，找到规律是解题的关键． 58．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义先计算，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 59．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 60．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 61．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）观察算式： ， ， … （1）按规律填空： ①＝________； ②＝________； ③如果n为正整数，那么＝________； （2）计算（由此拓展写出具体过程）：1－ － － －…－ 【答案】（1）①；②；③；（2） 【分析】（1） ①计算即可； ②计算即可； ③如果n为正整数，那么计算即可； （2）将原式变形为1-()计算即可． 【详解】解：① ＝1- =； ②＝1- =； ③如果n为正整数，那么 ＝1- =； 故答案为：①；    ②；     ③； （2）原式=1- - - -…- =1-（+++…-+） =1- =． 【点睛】本题考查了分式的规律问题，熟练掌握通分的技巧是解题的关键． 62．（25-26七年级上·北京·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7＋2|＝ ； ②|－＋|＝ ； （2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|． 【答案】（1）①7+2；②；（2） 【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案． 【详解】解：（1）①∵ ， ∴|7＋2|＝7+2； ②∵ ， ∴|－＋|＝； （2）原式＝ ， ， ＝． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 【答案】（1）1 ， 1；（2）无论x为何非零值，结果都是1．（3）见解析 【分析】（1）根据程序框图列出关系式，将x=-2，代入即可得到相应的结果； （2）找出规律为：（x2+x）÷x-x=1； （3）等式左边第一项利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到结果为1，右边为1，得证． 【详解】解：（1）根据题意得：（x2+x）÷x-x， 将x=-2代入得：（4-2）÷（-2）+2=2÷（-2）+2=-1+2=1； 将x=代入得：（+）÷-=×3-=1， 则填表如下： 输入x 3 2 -2 1 3 … 输出答案 1 1 1 1 … （2）得到规律为：（x2+x）÷x-x=1，即无论x为何非零值，结果都是1； （3）证明：等式左边=（x2+x）÷x-x=（x+1）-x=x+1-x=1，右边=1， 则（x2+x）÷x-x=1． 所以无论输入的数为何非零值，结果都是1．． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 64．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 学科网（北京）股份有限公司 $