专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（2个知识点+8题型+自我检测） 重难点专题提升精讲精练 2026-2027学年沪教版（五四版）六年级数学上册

该初中数学讲义以“有理数的乘方与混合运算”为核心，通过知识框架系统梳理乘方概念、混合运算法则两大知识点，结合即时训练巩固基础，再以8大基础题型（如乘方运算、符号规律）和3大提高题型（如规律探究、幻方）分层呈现，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于练习设计兼顾基础与拓展，基础题型中的“算24点”培养运算能力，提高题型中的二进制问题发展抽象能力与创新意识，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学，帮助不同层次学生提升数学思维与应用能力。

专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（2个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、含乘方的有理数混合运算 6 题型七、程序流程图与有理数计算 7 题型八、算“24”点 8 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘方中规律探究问题 1 题型二、幻方问题 2 题型三、二进制问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2026·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的定义分别计算各选项，即可判断出正确答案。 【详解】解：A、∵2027是奇数，负数的奇次幂为负数，∴，A错误； B、∵表示2的平方的相反数，∴，B错误； C、∵，∴C正确； D、∵，∴D错误． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）___________． 【答案】 【分析】本题考查乘方的运算，根据乘方的定义计算即可得答案． 【详解】解： 表示个相乘，即． 故答案为： 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆永川·阶段检测）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；按照运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，注意负数的运算规则，进而问题可求解． 【详解】解：， 故选D． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）定义一种新运算：，则的结果为______________． 【答案】24 【分析】本题考查了新定义运算． 将和代入公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）中底数是a，指数是b， 则_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方是解题的关键． 根据幂的定义确定出与的值，即可求出的值． 【详解】解：∵中，底数是，指数是，中底数是，指数是， ∴，， ∴． 故答案为． 1．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）对于式子，下列说法不正确的是（   ） A．幂为 B．底数是 C．指数是3 D．表示3个相乘 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方．中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子，底数是；指数是3；表示3个相乘；幂为； 观察四个选项，选项A符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在中，底数是 _______，指数是 _____． 【答案】 7 【分析】此题考查了有理数的乘方，原式利用幂的定义判断即可得到结果．熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：在中的底数是，指数是7． 故答案为：；7． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 【答案】 是合理的. 【分析】根据细胞分裂的规律可得分裂n次变为个，据此规律解答． 【详解】解：∵1个细胞分裂1次变为个； 分裂2次变为个； 分裂3次变为个， ∴这种细胞分裂n次变为个， 则没有分裂表示为个， ∴． 则是合理的． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 【答案】C 【分析】根据平方数的定义，判断各选项的数能否写成某个整数的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵，1是整数， ∴A是平方数； ∵，2是整数， ∴B是平方数； ∵不存在整数，使得，且， ∴8不是平方数； ∵，11是整数， ∴D是平方数． 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的运算法则，负数的奇次幂为负数，先计算底数绝对值的乘方，再确定结果的符号． 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 2．（25-26七年级上·北京通州·期末）计算的结果用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方的计算，理解题意是关键． 第一个部分表示m个3相加，根据有理数乘法意义，等于3与m的乘积；第二个部分表示n个4相乘，根据乘方意义，等于4的n次幂；因此结果为两者之差． 【详解】解： ，， ∴原式． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据，即可得． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方等于64，那么这个数是；一个数的立方等于64，那么这个数是4． 故答案为：；4． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 1．（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负． 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 2．（25-26七年级上·北京·期中）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 【例2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，将第四行和第五行的二进制数字转化为十进制数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，第四行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； 第五行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； ∴王强的工号为； 故答案为：． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 【基础题型六 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的表示十进制中的______． 【答案】48 【分析】根据十进制中的数与三进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【详解】解：. 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可，如，则十进制数66转化为二进制数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解进制之间的转化规则． 将十进制数66转化为二进制数，需将其表示为2的幂次的和，并依次写出系数1或0即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【基础题型七 程序流程图与有理数计算】 【例1】（25-26七年级上·山东日照·期中）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了程序图，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代入程序框图计算，根据结果等于6，大于0，返回，再将代入程序框图计算，判断结果小于0，即可得到输出的结果． 【详解】解：将代入程序框图计算， 得：， ， 将代入程序框图计算， 得：， ， 输出的结果是， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期中）按如图所示的运算程序运算，若开始输入x的值为1，则最终输出的结果是_________． 【答案】 【分析】本题考查代数式的代入求值，把握输出条件是解题关键． 按运算程序逐步代入计算，判断每次结果是否满足“”的输出条件，不满足则重复运算． 【详解】解：输入时， ，，不符合输出条件，继续运算； 输入时， ，，满足输出条件． 最终输出的结果是． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是小楠设计的运算程序框图．若输入的数m为2，则输出的结果n是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与有理数计算，理解程序框图的计算过程是解题的关键． 由程序框图得，输入数m后，再计算然后判断结果是否小于，即可求解． 【详解】解：输入2，则； 输入，则， 即输出的结果n是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了程序图． 输入1，根据程序图计算后得到，输出即可． 【详解】解：， 即输出的结果是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）轩轩在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，求输出的结果的值． 【答案】输出的结果的值为6 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入程序中计算，判断结果与0的大小，以此类推，得到结果大于0，输出即可 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得 ， 第二次：把代入运算程序得 ， 输出的结果的值为6． 【基础题型八 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【例2】（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【提高题型一 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（   ） A．16个 B．个 C．32个 D．个 【答案】B 【分析】题目主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 根据题意得出第个30分钟分裂为个细胞，再由8小时即为16个30分钟，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，1个小时等于2个30分钟，8个小时等于16个30分钟， 1个30分钟后分裂成个细胞， 2个30分钟后分裂成个细胞， 3个30分钟后分裂成个细胞， 个30分钟后分裂成个细胞， ∴16个30分钟后分裂成个细胞， 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】(1) 连线如图所示， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【提高题型二 幻方问题】 【例1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意，找到等量关系，正确求出，． 根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”，可以得到，，求得，，即可求解． 【详解】解：根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”， 得到，第一行与第一列的数字之和相等，即，解得， 第二行与斜向上的对角线上的数字之和相等，即，解得， 将，代入可得，， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是______． 【答案】 【分析】设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：，，变形可得：，，即可求出的值． 【详解】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q， ∴根据题意可知：，， ∴将上式变形可得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出，的值是解答本题的关键． 1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”即可求解． 【详解】解：由图可得：对角线上的数之和为： 第三行第三列的数字为： 故， 故选：D 【点睛】本题考查了幂．“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”是解题关键． 2．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，有理数乘方，中间正方形的两个数分别为，，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【答案】(1)9，1； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减运算及乘法运算，乘方运算，根据幻方特点，利用和或积相等是解题的关键． （1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值； （2）由表可求得第一横行三个数字的积为8，根据两斜对角线的三个数的积为8可分别求得n与m的值，从而求得结果． （3）设最中间的数为y，则，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则，则可得t；设第三行第二列的数为c，则，求得的值，从而得到第二列的三个数，最后可求得x的值． 【详解】（1）解：由，得； 由于，得； 故答案为：9，1； （2）解：第一横行的积为， 则，； 则，． ∴； （3）解：如图，设最中间的数为y，则，解得， 设右下角的数为t，则，． 设第三行第二列的数为c，则，解得． 则第二列3个数的和为． 所以，解得． 3 8 x y 5 c t 【提高题型三 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 【答案】B 【分析】本题主要考查十进制数与二进制数的转换，读懂题意，理解题中十进制转换为二进制的方法是解决问题的关键． 按照题中方法，先将十进制数拆分为若干个数的和，再转化为二进制数表示方法，即可判断其位数． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 则十进制是二进制下的位数， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·湖北荆州·期中）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制的数27．请问二进制中的1101011等于十进制中的数为______． 【答案】107 【分析】本题考查了数字变化中二进制的数转化为十进制的数的方法，此题的关键是找出规律，按照规定的规律进行计算． 认真观察已知给出的两个式子：等于十进制的数5；等于十进制的数27，得出规律，再计算． 【详解】解： 故答案为：107． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）校园爱心义卖活动中，志愿者设计了“二进制积分兑换”规则：每张积分券上的二进制数对应十进制数，兑换文具的数量按以下规则计算： ①若为奇数：可兑换笔的数量； ②若为偶数：可兑换笔的数量． 小明用一张积分券兑换到19支笔，则这张积分券上的二进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由兑换规则，当兑换笔数时，分别考虑D为奇数和偶数的情况，若D为奇数，则，解得，但8为偶数，矛盾；故D为偶数，则，解得；将选项中的二进制数转换为十进制，只有对应8，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴若D为奇数，则，解得：，但8为偶数，矛盾； ∴D为偶数，则，解得：， ∵， ∴二进制数为， 故选B． 2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用，先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】解：二进制数转换为十进制数：， 十进制数9转换为三进制数：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22，1001101 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，仿照二进制转十进制的方法列式计算是关键． （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：22； 将十进制数“77”转化为二进制数是 故答案为：1001101； （2）解：二进制的两个数相加：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为（天）． 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 3．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解雷劈数的定义是解题关键．根据雷劈数的定义，将四位数拆分为前两位与后两位，计算两数之和的平方，判断是否等于原数，由此即可得． 【详解】解：A、2023拆分为20和23，，，则此项不是雷劈数； B、2024拆分为20和24，，，则此项不是雷劈数； C、2025拆分为20和25，，，则此项是雷劈数； D、2026拆分为20和26，，，则此项不是雷劈数； 故选：C． 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 5．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 6．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）定义新运算∶，如．则的值为__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据新运算的定义，将 和代入公式进行计算． 【详解】解：由定义，， 当时， ． 故答案为：20． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 9．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 10．（2026·广东广州·三模）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 12．（25-26七年级上·广东深圳·期末）下列各式一定成立吗？若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举例说明． (1)； (2)． 【答案】(1) 成立，理由如下： ∵右边 左边，故成立； (2)不成立，举反例：（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的乘方，注意任何数的绝对值为非负数． （1）乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，据此求解即可判断； （2）举反例即可判断． 【详解】（1）略 （2）解：不成立，理由如下： 举反例：若，则左边， 右边，左边右边，故不成立． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 14．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 15．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（2个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、含乘方的有理数混合运算 6 题型七、程序流程图与有理数计算 7 题型八、算“24”点 8 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘方中规律探究问题 1 题型二、幻方问题 2 题型三、二进制问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2026·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）___________． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆永川·阶段检测）计算的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）定义一种新运算：，则的结果为______________． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）中底数是a，指数是b， 则_______． 1．（25-26七年级上·广东湛江·阶段检测）对于式子，下列说法不正确的是（   ） A．幂为 B．底数是 C．指数是3 D．表示3个相乘 2． （24-25七年级上·湖南怀化·期中）在中，底数是 _______，指数是 _____． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京通州·期末）计算的结果用含的代数式表示为________． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 1．（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 2．（25-26七年级上·北京·期中）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 3．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【基础题型六 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【例2】（25-26七年级上·福建福州·期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的表示十进制中的______． 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可，如，则十进制数66转化为二进制数为_____． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【基础题型七 程序流程图与有理数计算】 【例1】（25-26七年级上·山东日照·期中）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是（   ） A． B．6 C． D．4 【例2】（25-26七年级上·四川成都·期中）按如图所示的运算程序运算，若开始输入x的值为1，则最终输出的结果是_________． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是小楠设计的运算程序框图．若输入的数m为2，则输出的结果n是（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是_______． 3．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）轩轩在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，求输出的结果的值． 【基础题型八 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【例2】（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【提高题型一 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（   ） A．16个 B．个 C．32个 D．个 2．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 3．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【提高题型二 幻方问题】 【例1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【例2】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是______． 1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 2．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【提高题型三 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 【例2】（24-25七年级上·湖北荆州·期中）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制的数27．请问二进制中的1101011等于十进制中的数为______． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）校园爱心义卖活动中，志愿者设计了“二进制积分兑换”规则：每张积分券上的二进制数对应十进制数，兑换文具的数量按以下规则计算： ①若为奇数：可兑换笔的数量； ②若为偶数：可兑换笔的数量． 小明用一张积分券兑换到19支笔，则这张积分券上的二进制数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为______． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 3．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 5．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）定义新运算∶，如．则的值为__________． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 9．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 10．（2026·广东广州·三模）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 12．（25-26七年级上·广东深圳·期末）下列各式一定成立吗？若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举例说明． (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 15．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 学科网（北京）股份有限公司 $