第05讲 用字母表示数（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年六年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第05讲 用字母表示数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1、用字母表示数的书写规范 2、用字母表示数 题型巩固 一、用字母表示数 二、代数式书写方法 三、用代数式表示数、图形的规律 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点01、用字母表示数的书写规范 1.乘法 数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. （1） 在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如r×4写成4r,一般不写成x4. （2） 当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a. （3） 当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 2.除法 运算结果一般不出现除号，一般用分数表示.如4÷(a-1)一般写成 3. 和或差的式子后面有单位时,式子要用括号括起来,如(a+5)天 4.相同字母(或式子)的积用幂的形式表示,如a·a·a一般写成a³,(a+b)(a+b)应写成(a+b)² 知识点02、用字母表示数 1.用字母表示运算律 上一章刚刚学过的乘法运算律用字母可以表示为:乘法交换律:ab=ba(a,b表示有理数); 乘法结合律:(ab)c=a(bc)(a,b,c表示有理数); 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac(a,b,c表示有理数) 2.用字母表示公式 在用字母表示公式时要注意:一些常用公式的字母是固定的,如S表示面积,C表示周长,h表示高,v表示速度等. 对于以前学过的三角形、平行四边形、圆等图形的周长和面积都可以用字母来表示它们的计算公式 如:三角形的周长公式C=a+b+c,面积公式s=ah: 长方形的周长公式C=2(a+b),面积公式S=ab; 正方形的周长公式C=4a,面积公式 S=a²; 平行四边形的周长公式C=2(a+b),面积公式 S=ah; 梯形的面积公式S=(a+b)h; 圆的周长公式C=2πr,面积公式S=πr² 题型巩固 题型一、用字母表示数 1．算式的结果是（     ） A．等于零 B．小于零 C．大于零 D．无法确定 2．（24-25六年级上·上海·期末）现有a 千克的盐，b千克的水，混合后的盐水浓度是 ． 题型二、代数式书写方法 3．下列代数式中，书写规范的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； （5）；    （6）米． 5．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 题型三、用代数式表示数、图形的规律 6．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25六年级上·上海崇明·期末）用小木棒按如图所示的方式搭图形，那么第个图形需要小木棒 根． 8．【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 分层强化 一、单选题 1．下列是分数与字母相乘，不符合书写规范的是（　　） A．·a B．a C．1a D．－a 2．下列是一组按一定规律排列的数： ，则第2019个数是（    ） A． B． C． D．4039 3．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中的点数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将，，，，，，，按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，顶点 A，D对应的数分别为1 和0，若正方形纸板绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与1999对应的顶点是（         ） A．D B．C C．B D．A 6．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 8．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 9．下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 10．观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是 ． 11．某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第排有个座位，则、和之间的关系为 ． 12．如图是一组有规律的图案，它是由大小相等的正方形和等边三角形组成的．第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，第4个图案有10个正方形，…，以此规律，第个图案中有 个正方形． 13．观察图中图形的构成规律，根据此规律，第n个图形中有 个圆圈． 14．观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 15．如图，用正方形方框在日历中任意框出4个数，设其中最小的数为x，那么这4个数之和为 ． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 16．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是 ． 17．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表； 1       第一行 5  12     第二行 22  35  51   第三行 …  …  …  …  … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ． 三、解答题 18．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 19．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 20．用火柴棒按下面的方式搭图形： （1）填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 火柴棒根数 （2）第n个图形需要多少根火柴棒？ 21．—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 22．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.6厘米，每个铁环长4厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态． (1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少? (2)设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y； (3)若要组成1.44米长的链条，需要多少个铁环? 23．对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的： a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 L dp d vwxghqw→I am a student. 这样你就能解读它的意思了． 为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信． 24．探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…… 探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＋6＝14个部分，…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）； (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用字母表示数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1、用字母表示数的书写规范 2、用字母表示数 题型巩固 一、用字母表示数 二、代数式书写方法 三、用代数式表示数、图形的规律 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点01、用字母表示数的书写规范 1.乘法 数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. （1） 在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如r×4写成4r,一般不写成x4. （2） 当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a. （3） 当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 2.除法 运算结果一般不出现除号，一般用分数表示.如4÷(a-1)一般写成 3. 和或差的式子后面有单位时,式子要用括号括起来,如(a+5)天 4.相同字母(或式子)的积用幂的形式表示,如a·a·a一般写成a³,(a+b)(a+b)应写成(a+b)² 知识点02、用字母表示数 1.用字母表示运算律 上一章刚刚学过的乘法运算律用字母可以表示为:乘法交换律:ab=ba(a,b表示有理数); 乘法结合律:(ab)c=a(bc)(a,b,c表示有理数); 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac(a,b,c表示有理数) 2.用字母表示公式 在用字母表示公式时要注意:一些常用公式的字母是固定的,如S表示面积,C表示周长,h表示高,v表示速度等. 对于以前学过的三角形、平行四边形、圆等图形的周长和面积都可以用字母来表示它们的计算公式 如:三角形的周长公式C=a+b+c,面积公式s=ah: 长方形的周长公式C=2(a+b),面积公式S=ab; 正方形的周长公式C=4a,面积公式 S=a²; 平行四边形的周长公式C=2(a+b),面积公式 S=ah; 梯形的面积公式S=(a+b)h; 圆的周长公式C=2πr,面积公式S=πr² 题型巩固 题型一、用字母表示数 1．算式的结果是（     ） A．等于零 B．小于零 C．大于零 D．无法确定 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】根据可以表示正数，负数和0，可知，算式的结果可能大于0，可能小于0，可能等于0． 【详解】解：∵可以表示正数，负数和0， ∴算式的结果可能大于0，可能小于0，可能等于0； 故选D． 【点睛】本题考查用字母表示数．熟练掌握一个字母可以表示正数，负数和0，是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海·期末）现有a 千克的盐，b千克的水，混合后的盐水浓度是 ． 【答案】 【知识点】用字母表示数 【分析】本题主要考查比的应用，熟练掌握化简比的方法是解题的关键．首先，利用溶质的质量等于溶液的质量求出这两种溶液中溶质的质量，然后利用总的溶质的质量除以总溶液的质量，即可解答，即用盐的质量除以盐水的质量，即可计算出盐水浓度是多少． 【详解】解：混合后的盐水浓度是：， 故答案为：． 题型二、代数式书写方法 3．下列代数式中，书写规范的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写规则逐个判断即可． 【详解】解：①中书写不规范，正确写法是； ②中书写不规范，正确写法是； ③中书写不规范，正确写法是4ab； ④中书写规范； ⑤中书写不规范，正确写法是． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的书写形式．代数式的书写要求一般有： (1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写； (2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； (3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 4．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； （5）；    （6）米． 【答案】 米 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 5．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 题型三、用代数式表示数、图形的规律 6．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】解：第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 故选：． 【分析】分别归纳出该组数字分子、分母的规律． 此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 7．（24-25六年级上·上海崇明·期末）用小木棒按如图所示的方式搭图形，那么第个图形需要小木棒 根． 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到一般规律是解题的关键．根据题意可得第1个图形需要木棒根数是，第2个图形需要木棒根数是，第3个图形需要木棒根数是，，由此发现规律，第个图形需要木棒根数是，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要木棒根数是， 第2个图形需要木棒根数是， 第3个图形需要木棒根数是， 由此发现规律，第个图形需要木棒根数是根， 故答案为：． 8．【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 【答案】(1) (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律， （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． 【详解】（1）解：第一个图案中有3个“”； 第二个图案中有个“”； 第三个图案中有个“”； 第四个图案中有个“”； 第n个图案中有个“”； 故答案为：； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为个； 第2个图案中“★”的个数可表示为个； 第3个图案中“★”的个数可表示为个； 第n个图案中“★”的个数可表示为个； 故答案为：． 分层强化 一、单选题 1．下列是分数与字母相乘，不符合书写规范的是（　　） A．·a B．a C．1a D．－a 【答案】C 【分析】根据代数式的书写规范，即可得出选项． 【详解】解：根据代数式的书写规范，可得A、B、D选项正确，C选项中分数与字母相乘不能使用代分数， 故选：C． 【点睛】题目主要考查代数式的书写规范要求，理解代数式的规范形式是解题关键． 2．下列是一组按一定规律排列的数： ，则第2019个数是（    ） A． B． C． D．4039 【答案】B 【分析】找出数据的排列规律即可得． 【详解】解：根据题意可知数据的排列规律是，…，所以第2019个数是， 故选B． 【点睛】本题考查了数字排列的规律，解题的关键是找出所给数据的排列规律． 3．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中的点数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设第n个图形共有an个点，观察图形，根据各图形点的个数的变化可找出变化规律“an=6n+4（n为正整数）”，此题得解． 【详解】解:设第n个图形共有an个点（n为正整数），观察图形，可知：a1=10=6+4，a2=16=6×2+4，a3=22=6×3+4，a4=28=6×4+4，…， ∴an=6n+4（n为正整数）． 故选B． 【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，根据各图形点的个数的变化找出变化规律“an=6n+4（n为正整数）”是解题的关键． 4．如图，将，，，，，，，按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键时知道横、竖、两个圈的和都是． 根据八个数的和是4，得出两个圈的和是，横、竖的和都是，列式求解即可． 【详解】解：设小圈上的空白处为，大圈上的空白处为， ， 横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和都是， ，解得：， ，解得：， ，得：， 当时，，则， 当时，，则， 故选B． 5．正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，顶点 A，D对应的数分别为1 和0，若正方形纸板绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与1999对应的顶点是（         ） A．D B．C C．B D．A 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．先翻转一次和两次确认点、对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案． 【详解】解：翻转一次可得：点对应的数为；再翻转一次可得：点对应的数为3； 在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下： 点A对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； ， 只有点对应的数可以为，此时为非负整数，符合要求， 故选：B． 6．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4个小黑点，进而求出第n个图小黑点数量的代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形有1个小黑点，后一个图形比前一个图形多4个小黑点， ∴第n个图小黑点数量的代数式为； 故选D． 二、填空题 7．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 8．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和周长公式，用字母表示数，写出结果即可． 【详解】解：正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了列代数式用字母表示数，理解题意正确列出式子是解答本题的关键． 9．下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 10．观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是 ． 【答案】 【分析】本题规律需要从符号与分数两块分析，符号规律为第奇数个数为正，第偶数个数为负，可知符号规律为，分数规律为，由此可知该列数规律为：，将n=16代入表达式即可． 【详解】解：由题意可知，数字规律为， ∴第1 6个数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是数字规律，注意复杂的一列数可以将数分为多个部分进行逐个分析规律． 11．某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第排有个座位，则、和之间的关系为 ． 【答案】 【分析】因为后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有a个座位可得出第n排的座位数，再由第n排有m个座位可得出a、n和m之间的关系． 【详解】解：由题意得：后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有a个座位可得出第n排的座位数 第n排的座位数：a+（n-1） 又第n排有m个座位 故a、n和m之间的关系为m=a+n-1． 故答案为：m=a+n-1． 【点睛】本题考查列代数式，关键在于根据题意求出第n排的座位数． 12．如图是一组有规律的图案，它是由大小相等的正方形和等边三角形组成的．第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，第4个图案有10个正方形，…，以此规律，第个图案中有 个正方形． 【答案】/ 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题． 由图可知每个图案比前一个增加两个正方形，由此即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案有个三角形， 第2个图案有个三角形， 第3个图案有个三角形， … ∴第n个图案有个三角形． 故答案为：． 13．观察图中图形的构成规律，根据此规律，第n个图形中有 个圆圈． 【答案】/ 【分析】将第个图形中圆圈划分成两部分，左边部分为的正方形，右边部分只有个，据此规律可得答案． 【详解】解：第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第n个图形中，圆圈的个数为：个； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 14．观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【答案】 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 15．如图，用正方形方框在日历中任意框出4个数，设其中最小的数为x，那么这4个数之和为 ． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 【答案】/ 【分析】日历中任意框出4个数，设其中最小的数为x，并用x分别表示出其他三个数，然后4个数相加即可． 【详解】解：最小的数为x，则其它3个分别是，，， 这4个数之和为， 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式的应用，理解日历中任意框出4个数的关系是解题关键． 16．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出是解题的关键，根据题意，依次写出，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， …， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 17．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表； 1       第一行 5  12     第二行 22  35  51   第三行 …  …  …  …  … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ． 【答案】1335 【分析】分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律． 【详解】解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有个点，化简得，即第n个图形的五边形数为． 分析排成数表，结合图形可知： 第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数； 第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数； 第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数； 第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数； … ∴第n行从左至右第1个数，是第 个图形的五边形数． ∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数． 第30个图形的五边形数为：． 故答案为：1335． 【点睛】本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律． 三、解答题 18．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 19．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【分析】本题主要考查代数式： （1）根据常量和变量的定义即可求得答案； （2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米； （3）根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：常量：每分钟的放水量． 变量：放水时间，水池中剩余水量． （2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水， ∴． （3）根据题意，得 ． 解得 ． 答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 20．用火柴棒按下面的方式搭图形： （1）填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 火柴棒根数 （2）第n个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】（1）7，12，17，22，27，32；（2）第n个图形需要根． 【分析】（1）根据题意可以数出①②③对应图形的火柴棒根数，可以发现，后面一个图形比前面一个图形的火柴棒根数多5，由此求解即可； （2）根据（1）中得到的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：图形①有7根，图形②有12根，图形③有17根，观察可以发现，后面一个图形比前面一个图形的火柴棒根数多5， ∴可以填表如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 火柴棒根数 7 12 17 22 27 32 （2）由（1）可知，后面一个图形比前面一个图形的火柴棒根数多5， ∴第n个图形需要的火柴棒根数， ∴第n个图形需要根火柴棒． 【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律问题，解题的关键在于根据图形，找到后面一个图形比前面一个图形的火柴棒根数多5． 21．—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到式子的规律，利用有理数的运算法则进行计算是解题的关键． （1）观察等式，找到规律即可求解； （2）将（1）中的式子两边分别相加即可求解； （3）根据，，，……将以上式子两边分别相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵=1−， =−， =−， …… ∴； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， …… ∴ ． 22．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.6厘米，每个铁环长4厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态． (1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少? (2)设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y； (3)若要组成1.44米长的链条，需要多少个铁环? 【答案】(1)2个铁环组成的链条长6.8cm，3个铁环组成的链条长为9.6cm，4个铁环组成的链条长12.4cm (2)y＝2.8n＋1.2 (3)需要51个铁环 【分析】根据观察，i链条每一个连处重合的部分是两个铁环的直径，根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）由题意可得：4×2－0.6×2＝6.8cm，4×3－0.6×4＝9.6cm，4×4－0.6×6＝12.4cm． 故2个铁环组成的链条长6.8cm，3个铁环组成的链条长为9.6cm，4个铁环组成的链条长12.4cm； （2）y＝4n－2（n－1）×0.6，即y＝2.8n＋1.2； （3）1.44米＝144cm据题意有2.8n＋1.2＝144，解得：n＝51， 答：需要51个铁环． 【点睛】本题主要考查了有理数的计算和用字母表示数，准确得根据题目和图形找出等量关系列出代数式是解题的关键． 23．对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的： a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 L dp d vwxghqw→I am a student. 这样你就能解读它的意思了． 为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信． 【答案】答案见解析 【分析】可以根据自己的喜好利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，比如说，然后写上一句话，比如“study well and make progress every day”，根据题干中的方式，自己先利用秘钥x+2将这句话变成密码文字“uvwfa ygnn cpf ocmg rtqitguu gxgta fca”，然后再让同伴破译． 【详解】解：可设置秘钥， 密码为：uvwfa ygnn cpf ocmg rtqitguu gxgta fca， 破译后的文字为：study well and make progress every day． （学生可尝试自己制定，本题答案不唯一） 【点睛】本题考查探索与表达规律．能读懂题意，得出题例中制定的制定规律是解题关键． 24．探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…… 探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… 平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＋6＝14个部分，…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）； (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）． 【答案】(1)16 (2) (3)22 (4)(n2-n+2) (5)23 (6)26 (7) 【分析】（1）画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，据此解答； （2）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； （3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，据此解答； （4）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； （5）根据问题（4）中结论列方程求解； （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，据此规律解答； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分，当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分，据此解答． 【详解】（1）解：根据规律得，平面中，画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分， 即共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分 所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分， 故答案为：16； （2）根据规律，m条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+m= 故答案为：； （3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分， 即共会得到1+1+2+4+6+8=22个部分， 故答案为：22； （4）解：根据规律得，n个圆最多可以把平面分割成1+1+2+4+…+2（n-1）=(n2-n+2)个部分 故答案为：(n2-n+2)； （5）根据问题（4）结论可得，n2-n+2=508 解得n=23，或n=-22（舍去） （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，5条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5=26个部分， 故答案为：26； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分， 当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分， 故答案为： 【点睛】本题考查逻辑推理能力，涉及列代数式表示图形规律，根据已有规律进行归纳推理论证是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$