第二章《有理数的运算》单元测试 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 《有理数的运算》单元复习卷，基础与创新并重，覆盖倒数、数轴等核心知识，融入三峡工程、黄果树旅游等真实情境，适配单元过关检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|倒数、数轴距离、科学记数法|结合三峡工程发电量考查科学记数法，培养数感| |填空题|5/15|四舍五入、新数“i”运算|设计“i”新运算，发展符号意识与创新意识| |解答题|8/49|新定义运算、旅游统计、除方概念|黄果树旅游统计强化应用意识，除方概念探究提升推理能力|

第二章《有理数的运算》单元测试（基础+过关） （卷面总分100分 考试用时75分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共36分） 1．的倒数为（     ） A． B． C． D． 2．数轴上点M到的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．4 B． C．4或 D．6或 3．世界上最大的水利枢纽工程——三峡工程已正式开工建设20周年．自兴建以来，三峡工程的发电效益显著发挥，累计发电量已突破800000000000千瓦时．数据800000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列各数：8，-0.08，0，，，，其中负数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．下图中的运算程序，若输入的a为2，则输出的数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．21 6．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若，则有（    ） A． B． C． D． 9．等式中，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，拉面馆的师傅把一根很粗的面条的两头捏合在一起，拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，若要拉出64根细面条，则需要这样捏合的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．有一列数：，且，则 的结果为（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题（每空3分，共15分） 13．1.4149四舍五入精确到0.01的结果是___________． 14．若，则_______． 15．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为__________． 16．我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 三、解答题（共49分） 17．（本题4分）计算：． 18．（本题6分）计算： (1) (2) 19．（本题6分）已知: a，b互为相反数，p、q互为倒数，，求的值． 20．（本题6分）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．若，求a的值． 21．（本题8分）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 22（本题6分）“白水如绵，不用弓弹花自散；红雪如锦，何须梭织天生成．”我爱多彩贵州．今年“五一”期间，黄果树瀑布及周边景区，又一次迎来旅游高峰，据统计4月28日游客总人数达70万人．现将4月29日到5月5日游客人数统计如表．（“+”为当日增加人数，“﹣”为当日减少人数，单位：万人）． 日期 4月29日 4月30日 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 人数变化 +10 +35 +20 ﹣10 ﹣15 ﹣10 ﹣15 当日人数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （1）补全表中数据． （2）计算4月29日至5月5日，7日间景区共接待游客多少人？ （3）请你估算一下，今年“五一”期间，黄果树瀑布及周边景区旅游总收入．通过大数据，谈谈你的感想（计算数据基本合理，其他言之有理即可）． 23．（本题6分）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 24．（本题7分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《有理数的运算》单元测试（基础+过关） （卷面总分100分 考试用时75分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共36分） 1．的倒数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数定义计算即可得到结果． 【详解】∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数为． 2．数轴上点M到的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．4 B． C．4或 D．6或 【答案】D 【分析】数轴上到的距离等于5的点，在的左边和右边，分两种情况讨论求解． 【详解】解：在的左边时，， 在的右边时，， ∴到的距离等于5的点表示的数是6或， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上数与距离的关系和有理数的加减运算，解决问题的关键是从点的左右两侧考虑，从而得到数． 3．世界上最大的水利枢纽工程——三峡工程已正式开工建设20周年．自兴建以来，三峡工程的发电效益显著发挥，累计发电量已突破800000000000千瓦时．数据800000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将一个大数表示成科学记数法的形式，∵，∴，又∵为原数的整数位数减1，∴，∴数据800000000000用科学记数法表示为． 4．下列各数：8，-0.08，0，，，，其中负数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的定义可直接进行求解． 【详解】解：下列各数：8，-0.08，0，，，，其中负数有-0.08，，共2个； 故选B． 【点睛】本题主要考查正负数，熟练掌握正负数的定义是解题的关键． 5．下图中的运算程序，若输入的a为2，则输出的数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图及代数式求值，掌握运算程序的规则是解题的关键．根据运算程序的规则，代入对应代数式求出输出的值即可． 【详解】解：． 故选：D． 6．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 8．若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断x，y的符号即可； 【详解】∵， ∴x，y异号， ∵， ∴，， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法和有理数的乘法，准确分析判断是解题的关键． 9．等式中，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据除以任何一个不等于的数都得，可知． 【详解】根据题意，得 ． 得 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的除法的运算性质，牢记有理数的除法的运算性质（除以任何一个不等于的数都得）是解题的关键． 10．如图，拉面馆的师傅把一根很粗的面条的两头捏合在一起，拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，若要拉出64根细面条，则需要这样捏合的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】第一次捏合后可拉出1根面条，第二次捏合后可拉出2根面条，第三次捏合后可拉出4根面条……以此类推，第n次捏合后可拉出根面条，令，可求出n的值． 【详解】解：第一次捏合后可拉出1根面条，第二次捏合后可拉出2根面条，第三次捏合后可拉出3根面条……以此类推，第n次捏合后可拉出根面条， ∴令， ∴， 可得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，找出题目中的规律是解题的关键． 11．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定、的取值范围：，．接下来依次对每个选项进行判断． 【详解】解：由数轴可得，，． ∵是负数，是正数，负数小于正数， ∴，故选项A错误； ∵数轴上表示的点到原点的距离大于表示的点到原点的距离， ∴，故选项B正确； ∵为负数，为正数，异号两数相乘结果为负， ∴，故选项C错误； ∵，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴，故选项D错误； 综上，正确答案为：B． 12．有一列数：，且，则 的结果为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数列的循环规律，熟练掌握通过计算前几项找出循环周期，并利用周期计算乘积是解题的关键． 先计算数列的前几项，找出循环规律，再根据循环周期计算总项数的循环次数和余数，进而求出乘积． 【详解】解：因为， ， ， ， …… 所以数列每项循环一次，循环节为，，． 每个循环的乘积为． ，即有个循环，余项，余下的项为． 总乘积为． 故选：． 二、填空题（每空3分，共15分） 13．1.4149四舍五入精确到0.01的结果是___________． 【答案】1.41 【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，精确到0.01，找出千分位上的数字，再通过四舍五入即可得出答案． 【详解】解：1.4149≈1.41． 故答案为：1.41． 【点睛】此题考查了近似数与有效数字，用到的知识点是四舍五入法取近似值，关键是找出末位数字． 14．若，则_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x-2027=0，y+1=0， 解得x=2027，y=-1， 所以， 故答案为：-1 【点睛】本题考查绝对值的非负性，平方数的非负性；根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 15．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，要使得值的最小，需两个三位数尽可能的接近，即百位上的数字相差，较大三位数中的十位取最小数，较小三位数中的十位取最大数，据此，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：两个三位数需尽可能的接近， 故百位上的数字相差， 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 综上，的最小值为． 故答案为：． 16．我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 三、解答题（共49分） 17．（本题4分）计算：． 【答案】-5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式利用乘法分配律计算即可求值，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：原式 ． 18．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)37 【分析】（1）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律即可解答本题； （2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题； 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 19．（本题6分）已知: a，b互为相反数，p、q互为倒数，，求的值． 【答案】-3 【分析】a与b互为相反数，则a+b=0；p、q互为倒数，则pq=1；|c|=2，则c=2，c2=4. 【详解】解：∵a，b互为相反数，p、q互为倒数， ∴a+b=0，pq=1，c2=4， ∴=0+(-1)2026-4=-3.   故答案为-3. 【点睛】本题综合考查了互为相反数、互为倒数和绝对值的知识. 20．（本题6分）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．若，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ． 21．（本题8分）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由新定义可得 再利用新定义运算法则计算即可； （2）先利用新定义运算计算再利用新定义运算可得，再计算即可. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键. 22（本题6分）“白水如绵，不用弓弹花自散；红雪如锦，何须梭织天生成．”我爱多彩贵州．今年“五一”期间，黄果树瀑布及周边景区，又一次迎来旅游高峰，据统计4月28日游客总人数达70万人．现将4月29日到5月5日游客人数统计如表．（“+”为当日增加人数，“﹣”为当日减少人数，单位：万人）． 日期 4月29日 4月30日 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 人数变化 +10 +35 +20 ﹣10 ﹣15 ﹣10 ﹣15 当日人数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （1）补全表中数据． （2）计算4月29日至5月5日，7日间景区共接待游客多少人？ （3）请你估算一下，今年“五一”期间，黄果树瀑布及周边景区旅游总收入．通过大数据，谈谈你的感想（计算数据基本合理，其他言之有理即可）． 【答案】（1）80，115，135，125，110，100，85．（2）4月29日至5月5日，7日间景区共接待游客750万人；（3）60亿元．感想：旅游是绿色产业，投入少收入巨大．所以当地应该努力改善生态环境，大力发展旅游事业． 【分析】（1）根据每天的人数变化可直接求出每天的旅游人数； （2）分别计算出每天的旅游人数，求和即可； （3）自己预估人均消费，计算当地景点大致收入，然后写出感想即可． 【详解】解：（1）4月29日人数为：70+10＝80（万人）， 4月30日人数为：80+35＝115（万人）， 5月1日人数为：115+20＝135（万人）， 5月2日人数为：135﹣10＝125（万人）， 5月3日人数为：125﹣15＝110（万人）， 5月4日人数为：110﹣10＝100（万人）， 5月5日人数为：100﹣15＝85（万人）； 故答案为80，115，135，125，110，100，85． （2）80+115+135+125+110+100+85＝750（万人）， 答：4月29日至5月5日，7日间景区共接待游客750万人； （3）若每人在黄果树瀑布周边景区平均旅游消费800元，则黄果树瀑布及周边景区旅游收入为： 800×7500000＝6000000000（元）＝60亿元． 感想：旅游是绿色产业，投入少收入巨大．所以当地应该努力改善生态环境，大力发展旅游事业． 【点睛】本题考查了正负数的意义及有理数的加减运算．题目难度不大．解决（3）需自己预估数据． 23．（本题6分）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 24．（本题7分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 【答案】（1）4；；（2）B；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义解答即可； （3）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （4）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （5）先根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方，再计算即可． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：4； （2）A． 任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，所以选项A正确； B． 因为奇数个相除都是，偶数个相除都是1，所以 ，所以选项B错误； C．，所以选项C正确； D． 负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故选：B （3） ； 故答案为： （4）； 故答案为： （5） 【点睛】考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $