第2章《有理数的运算》单元测试卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 《有理数的运算》单元分层测试，以北京冬奥会观众人数、结绳记数等真实情境为载体，覆盖运算核心知识，适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|科学记数法、运算正确性判断|结合冬奥情境考查数感| |填空题|6/18|底数指数、温差计算、二阶行列式|融入古代结绳记数文化| |解答题|8/72|混合运算、出租车里程应用、新定义“美丽点”|含阅读材料题与探究题，梯度分层|

第二章《有理数的运算》单元测试（分层提优） （卷面总分120分 考试用时90分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题 1．国际奥委会（IOC）发布，北京冬奥会的全球转播观众人数超过20亿．20亿这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解：20亿． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断． 【详解】解：A、0+（-2）=-2，故该项不符合题意； B、-1-2=-3，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的计算，正确掌握有理数的各计算法则是解题的关键． 3．下列各式结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、算术平方根、立方根、绝对值分别进行计算即可． 【详解】解：A、，结果为负数，不符合题意； B、，结果为正数，符合题意； C、，结果为负数，不符合题意； D、，结果为负数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查乘方，算术平方根，立方根以及绝对值，熟知相关定义以及性质是解题的关键． 4．在数轴上点A表示的数是，点B与点A相距4个单位长度，则点B表示的数为（ ） A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加减法，数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；数轴的三要素：原点，单位长度，正方向；一般来说，数轴上右边的数总比左边的数大,解题关键是牢记数轴的概念和三要素． 点B在A点左边，则点B表示的数为；若点B在A点右边，则点B表示的数为． 【详解】解：∵点A表示数，点B与点A相距4个单位， 若点B在A点左边，则点B表示的数为； 若点B在A点右边，则点B表示的数为， 即点B表示的数为或． 故选：D． 5．把写成省略加号和括号的形式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查将算式写成省略加号和括号的形式，掌握相关知识是解决问题的关键．先把减法转化成加法，再写成省略加号和括号的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 6．用四舍五入法按要求对0.05619分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.06（精确到0.01） D．0.0562（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：A、0.05619，精确到0.1是0.1，正确，故该选项不符合题意； B、0.05619中，精确到百分位是0.06，原计算错误，故该选项符合题意； C、0.05619中，精确到0.01是0.06，正确，故该选项不符合题意； D、0.05619中，精确到0.0001是0.0562，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 7．在数轴上，数a所表示的点在数b所表示的点的左边，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C．8或2 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值和平方的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得到的值即可得到答案． 【详解】解：，， ， 数a所表示的点在数b所表示的点的左边， 故， ①当时，； ②当时，． 故选D． 8．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的减法、乘法、除法，关键是熟练掌握有理数的计算法则，注意结果符号的判断．根据a、b在数轴上的位置，结合有理数的减法和乘法法则可判断出，再根据除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 则， 故选：A． 9．若，，，…，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的算式的特点得出规律，根据规律，利用裂项相加法计算即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握裂项相加法，是解题的关键． 10．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2027次输出的结果为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，数字型规律，把x的值代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可得到第2027次输出结果． 【详解】解： 第一次输出结果为， 第二次输出结果为， 第三次输出结果为， 第四次输出结果为， 第五次输出结果为， 第六次输出结果为， ……. 以此类推可知，从第三次开始，偶数次输出结果为3，奇数次输出结果为6， 因此第2027次输出的结果为6， 故选：A． 二、填空题 11．﹣32的底数是_____，指数是_____，结果是_____． 【答案】 3 2 -9 【分析】根据乘方的定义进行判断． 【详解】解：根据题意得：﹣32＝﹣9， ∴底数为3，指数为2，结果为﹣9， 故答案为3，2，﹣9． 【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 12．一天最高气温2℃，最低气温－3℃，那么这天气温的日温差是_______℃． 【答案】5 【分析】直接利用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：∵一天最高气温，最低气温， ∴这天气温的日温差是， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的减法计算法则． 13．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 14．某同学计划在假期每天做6道数学题，超过的题数记为正数，不足的题数记为负数，十天中做题记录如下：-3，5，-4，2，-1，1，0，-3，8，7，那么他十天共做的数学题有__________道． 【答案】72 【分析】七天中做题记录的数的和加上6的10倍即可求解． 【详解】 故答案为:72 【点睛】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键． 15．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是______． 【答案】308 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数×+百位上的数×+十位上的数×6+个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是． 故答案为：308． 三、解答题 17．（本题12分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先算乘法，再算加减即可求解； （3）利用乘法分配律求解即可； （4）先算乘方，再算乘法，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 18．（本题8分）已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是10，是最大的负整数． (1)__________，__________，__________，__________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)0，1，， (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据与是互为相反数，与互为倒数，是绝对值是10，是最大的负整数，可以得到，，，； （2）将（1）中的结果，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：与是互为相反数，与互为倒数，是绝对值是10，是最大的负整数， ，，，， 故答案为：0，1，，； （2）由（1）知：，，，， 当时， 当时， ． ． 19．（本题8分）出租车司机李师傅星期一上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是他上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 (1)李师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，李师傅开始营运前油箱里有7升油．若油箱里的油少于2升则需要加油，请通过计算说明李师傅这天上午中途是否可以不加油． 【答案】(1)李师傅走完第8次里程后，他在地的东面，离地有2千米 (2)李师傅这天上午中途可以不加油 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的意义，有理数运算的应用，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键． （1）将所给的正数和负数求和即可求解； （2）将所给的数的绝对值求和，即为总里程数，再求耗油量从而进行判断即可． 【详解】（1）解：（千米）． 答：李师傅走完第8次里程后，他在地的东面，离地有2千米； （2）行驶的总路程： （千米）． 耗油量为（升）． （升）． ， 李师傅这天上午中途可以不加油． 20．（本题8分）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数为． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确； (2)请你使用（1）中选择的正确解法计算：． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算算，乘法分配律： （1）根据除法没有分配律可知解法一错误； （2）模仿题干解法二计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是有误的，原因是除法没有分配律，解法二，先转化为倒数，再利用乘法的分配律简化计算，过程正确； 故答案为：二； （2）解：原式的倒数为 ， ∴原式． 21．（本题8分）小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 22．（本题8分）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题意发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，最后等于两个连续奇数分之一差的一半，即可得到第5个等式； （2）根据题目式子的规律得到，再代入计算求值即可． （3）根据规律，结合所给的等式的形式，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ∴ ； （3）解： ． 23．（本题10分）如图所示，小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出张卡片，且这个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出张卡片，且这个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ (3)若从中抽出张卡片，运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号，使得结果为，请写出运算式．（只需写出1种） 【答案】(1)抽取张卡片的数字是和6，差的最小值是 (2)抽取张卡片的数字是和，积的最大值是 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据题意和题目中的卡片，找出两张卡片，使其上的数学差最小即可； （2）根据题意和题目中的卡片，找出两张卡片，使其上的数学积最大即可； （3）根据题意和题目中的卡片，找出四张卡片，利用点游戏规律列出算式即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：当抽取张卡片的数字是和6时，它们的差值最小，差的最小值是：， ∴抽取张卡片的数字是和6，差的最小值是； （2）当抽取张卡片的数字是和时，它们的积最大，积的最大值是：， ∴抽取张卡片的数字是和，积的最大值是； （3）抽取的张卡片的数字是、、、， 算式为：． 24．（本题10分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义： 若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就把点C叫做【A，B】的美丽点． 例如：如图，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1．那么点C是【A，B】的美丽点：又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美丽点，但点D是【B，A】的美丽点． (1)当点A表示的数为，点B表示的数为8时． ①若点C表示的数为4，则点C （填“是”或“不是”）【A，B】的美丽点； ②若点D是【B，A】的美丽点，则点D表示的数是 ． (2)若A，B在数轴上表示的数分别为和8，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点C运动多少秒时，点C，A，B中恰有一个点为其余两点的美丽点？ 【答案】(1)①是   ②或0 (2)4秒或6秒或8秒或18秒或24秒或36秒 【分析】（1）①由点A，B，C表示的数，结合美丽点的定义，即可得出结论； ②设点D表示的数为x，则点D到点B的距离为，点D到点A的距离为，根据点D是【B，A】的美丽点，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设运动时间为t秒，则对应的数为，则，之间的距离为：，，之间的距离为：，而，之间的距离为，再分6种情况讨论即可：当C是【A，B】的美丽点时， 当C是【B，A】的美丽点时， 当A是【B，C】的美丽点时， 当A是【C，B】的美丽点时， 当B是【A，C】的美丽点时， 当B是【C，A】的美丽点时，再建立关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：①点C到点A的距离为，点C到点B的距离为， ∵， ∴点C是【A，B】的美丽点． ②∵点D是【B，A】的美丽点， ∴D到B的距离等于D到A的距离的2倍， 设点D表示的数为x，则点D到点B的距离为，点D到点A的距离为， ∴， 即或， 解得：或． （2）设运动时间为t秒，则对应的数为， ∴，之间的距离为：， ，之间的距离为：，而，之间的距离为， 当C是【A，B】的美丽点时，， ∴或， 解得：或（舍去）； 当C是【B，A】的美丽点时，， ∴或， 解得：或； 当A是【B，C】的美丽点时， ∴或， 解得：或； 当A是【C，B】的美丽点时，， ∴或， 解得：（舍去）或， 当B是【A，C】的美丽点时，， 解得：． 当B是【C，A】的美丽点时，， 答：点C运动4秒或6秒或8秒或18秒或24秒或36秒，C，A，B中恰有一个点为其余两点的美丽点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《有理数的运算》单元测试（分层提优） （卷面总分120分 考试用时90分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．国际奥委会（IOC）发布，北京冬奥会的全球转播观众人数超过20亿．20亿这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 4．在数轴上点A表示的数是，点B与点A相距4个单位长度，则点B表示的数为（ ） A． B． C．1或 D．或 5．把写成省略加号和括号的形式是（   ）． A． B． C． D． 6．用四舍五入法按要求对0.05619分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.06（精确到0.01） D．0.0562（精确到0.0001） 7．在数轴上，数a所表示的点在数b所表示的点的左边，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C．8或2 D．或 8．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 9．若，，，…，则（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2027次输出的结果为（    ） A．6 B．3 C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．﹣32的底数是_____，指数是_____，结果是_____． 12．一天最高气温2℃，最低气温－3℃，那么这天气温的日温差是_______℃． 13．计算：_____． 14．某同学计划在假期每天做6道数学题，超过的题数记为正数，不足的题数记为负数，十天中做题记录如下：-3，5，-4，2，-1，1，0，-3，8，7，那么他十天共做的数学题有__________道． 15．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是______． 三、解答题（共72分） 17．（本题12分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（本题8分）已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是10，是最大的负整数． (1)__________，__________，__________，__________； (2)求代数式的值． 19．（本题8分）出租车司机李师傅星期一上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是他上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 (1)李师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约升，李师傅开始营运前油箱里有7升油．若油箱里的油少于2升则需要加油，请通过计算说明李师傅这天上午中途是否可以不加油． 20．（本题8分）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数为． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确； (2)请你使用（1）中选择的正确解法计算：． 21．（本题8分）小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 22．（本题8分）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 23．（本题10分）如图所示，小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出张卡片，且这个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出张卡片，且这个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ (3)若从中抽出张卡片，运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号，使得结果为，请写出运算式．（只需写出1种） 24．（本题10分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义： 若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就把点C叫做【A，B】的美丽点． 例如：如图，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1．那么点C是【A，B】的美丽点：又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美丽点，但点D是【B，A】的美丽点． (1)当点A表示的数为，点B表示的数为8时． ①若点C表示的数为4，则点C （填“是”或“不是”）【A，B】的美丽点； ②若点D是【B，A】的美丽点，则点D表示的数是 ． (2)若A，B在数轴上表示的数分别为和8，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点C运动多少秒时，点C，A，B中恰有一个点为其余两点的美丽点？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $